第02講 解題技巧專題：特殊的因式分解法(5類熱點(diǎn)題型講練) 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc15341" 【考點(diǎn)一 利用整體法提公因式因式分解】  PAGEREF _Toc15341 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc27334" 【考點(diǎn)二 因式分解要徹底分解】  PAGEREF _Toc27334 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc10963" 【考點(diǎn)三 十字相乘法因式分解】  PAGEREF _Toc10963 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc20497" 【考點(diǎn)四 分組分解法因式分解】  PAGEREF _Toc20497 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc3736" 【考點(diǎn)五 因式分解的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc3736 \h 15  【考點(diǎn)一 利用整體法提公因式因式分解】 例題：（2024上·四川眉山·八年級統(tǒng)考期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本題考查了公式法及提公因式法分解因式，熟練掌握分解因式的方法是關(guān)鍵．按照提公因式法分解法進(jìn)行分解因式即可． 【詳解】解： ． 故答案為：． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023上·湖南衡陽·八年級?？计谀┌咽阶臃纸庖蚴?，結(jié)果是 【答案】 【分析】此題考查了因式分解的方法，先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【詳解】 ． 故答案為：． 2．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）因式分解： ． 【答案】 【解析】略 3．（2023上·陜西延安·八年級校考階段練習(xí)）因式分解：． 【答案】 【分析】用提公因式法進(jìn)行因式分解即可，此題考查了因式分解，熟練掌握提公因式法因式分解是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解： 4．（2023上·上海青浦·七年級?？计谥校┮蚴椒纸猓?【答案】 【分析】本題考查的是因式分解，熟練的利用提公因式的方法分解因式是解本題的關(guān)鍵，本題先提取公因式，分解后再次提取公因式2，從而可得答案． 【詳解】解： ； 5．（2023上·八年級課時(shí)練習(xí)）分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）利用提公因式法因式分解即可． 【詳解】（1） ． （2） ． 【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【考點(diǎn)二 因式分解要徹底分解】 例題：（2023秋·遼寧沈陽·八年級?？计谀┮蚴椒纸?(1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【詳解】（1）解： ； （2）解： ． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）因式分解：． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式化簡，再利用十字相乘進(jìn)行因式分解即可． 【詳解】解：原式 ． 【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握完全平方公式和平方差公式以及十字相乘是解題的關(guān)鍵． 2．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先提取公因式a，再根據(jù)平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式x，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可． 【詳解】（1）解：； （2）解：． 【點(diǎn)睛】本題考查公因式和公式法分解因式，掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵． 3．（2023春·四川成都·八年級成都市第二十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法分解因式即可； （2）先提公因式，然后再利用平方差公式分解因式即可． 【詳解】（1）解： ； （2）解： ． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式． 4．（2023秋·湖南永州·七年級統(tǒng)考期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【詳解】（1）解： ； （2）解： ． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了提公因式與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵． 5．（2023秋·上海靜安·七年級新中初級中學(xué)?？计谀┮蚴椒纸猓?(1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式y(tǒng)，再利用完全平方公式分解因式得出答案； （2）直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【詳解】（1）解： ； （2）解： ． 【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止． 6．（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先提取公因式y(tǒng)，再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可； （2）先運(yùn)用平方差公式分解，再提取公因式即可 【詳解】（1） = = （2） = = = 【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法，公式法分解因式．解題的關(guān)鍵是注意因式分解的步驟：先提公因式，再利用公式法分解，注意分解要徹底． 【考點(diǎn)三 十字相乘法因式分解】 例題：（2024上·北京東城·八年級統(tǒng)考期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸猓鐖D2，則． 根據(jù)閱讀材料解決下列問題： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)結(jié)合本題知識，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與運(yùn)用． （1）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可； （2）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可； （3）先分組，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可． 【詳解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 【變式訓(xùn)練】 1．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）十字相乘法分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】本題主要考查十字法因式分解的應(yīng)用： （1），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式； （2），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式； （3），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式； （4），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式； （5），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式； （6），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式； （7），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式； （8），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式； （9），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式； （10），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式； （11），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式； （12），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式 【詳解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） （8） ； （9） ； （10） ； （11） （12） ． 2．（2023下·廣西北?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解 例如：求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)題干中解題過程，對二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項(xiàng)系數(shù)即可求解； （2）根據(jù)題干中解題過程，對二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項(xiàng)系數(shù)即可求解． 【詳解】（1）解：如圖， ∴ （2）解：如圖， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步驟是解題的關(guān)鍵． 3．（2022上·湖北恩施·八年級校考期中）閱讀與思考：我們知道，整式乘法計(jì)算：，反過來，即為因式分解．通過觀察發(fā)現(xiàn)：這個(gè)等式可以寫成，一般地，可以歸納為：，例如，分解因式：， 請仔細(xì)閱讀以上內(nèi)容并完成下面練習(xí)：分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解即可； （2）根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解即可； （3）先提取公因式，然后利用十字相乘法進(jìn)行因式分解即可． 【詳解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是掌握十字相乘法和提公因式法． 4．（2023下·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）． 第一步：二次項(xiàng)； 第二步：常數(shù)項(xiàng)，畫“十字圖”驗(yàn)算“交叉相乘之和”； ?? 第三步：發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項(xiàng)． 即． 像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 運(yùn)用結(jié)論： (1)將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以表示為_______________； (2)若可分解為兩個(gè)一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值． 【答案】(1) (2)圖見解析，，，，16 【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可； （2）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可． 【詳解】（1）解：，常數(shù)項(xiàng)， ， ， 故答案為：； （2）解：，常數(shù)項(xiàng)， 畫“十字圖”如下： ?? ，，，16． 【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)四 分組分解法因式分解】 例題：（2023上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問題： (1)因式分解：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本題考查了因式分解的新方法，及其應(yīng)用． (1)根據(jù)方法，適當(dāng)分組分解即可． (2)先因式分解，后代入求值即可． 【詳解】（1） ． （2） ， 又， 故原式． 【變式訓(xùn)練】 1．（2024上·山西長治·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù). 任務(wù)： (1)因式分解： (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2)，8 【分析】本題考查因式分解，掌握“分組分解法”是解題的關(guān)鍵． （1）仿照材料中的方法，前兩項(xiàng)為一組，后兩項(xiàng)為一組，利用“分組分解法”求解； （2）先利用“分組分解法”進(jìn)行因式分解，再將，作為整體代入求值． 【詳解】（1）解：， ． （2）解： . 將，代入，得： 原式． 2．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀下列文字與例題： 將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法稱作分組分解． 例如：以下兩個(gè)式子的分解因式的方法就稱為分組分解法． ①； ② 試用上述方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此題考查了分解因式分組分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵． （1）原式前三項(xiàng)結(jié)合，后兩項(xiàng)結(jié)合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可； （2）原式后三項(xiàng)提取，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【詳解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 3．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）八年級課外興趣小組活動時(shí)，老師提出了如下問題：將因式分解．經(jīng)過小組合作交流，得到了如下的解決方法： 解法一：原式 解法二：原式 小明由此體會到，對項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達(dá)到因式分解的目的．這種方法可以稱為分組分解法．(溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止) 請你也試一試?yán)梅纸M分解法進(jìn)行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本題考查了分組分解法因式分解； （1）先分組，然后根據(jù)提公因式法與平方差公式因式分解即可求解； （2）先分組，然后根據(jù)提公因式法以及完全平方公式因式分解，即可求解． 【詳解】（1）解： ； （2） ． 【考點(diǎn)五 因式分解的應(yīng)用】 例題：（2023下·四川達(dá)州·八年級統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、添項(xiàng)拆項(xiàng)法、十字相乘法等等． ①分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法． 例如： ②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項(xiàng)式的分解因式． 分解步驟： 1．分解二次項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的左上角和左下角； 2．分解常數(shù)項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角； 3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)； 4．觀察得出原二次三項(xiàng)式的兩個(gè)因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法． 例如：????????分析： ?? 觀察得出：兩個(gè)因式分別為與 解：原式 ③添項(xiàng)拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項(xiàng)法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分組分解法）______； ②（十字相乘法）______； (2)已知：a、b、c為的三條邊，，判斷的形狀． 【答案】(1)①；② (2)是直角三角形 【分析】（1）①把原式分組成，然后提公因式法分解因式即可；②直接利用十字相乘法分解即可； （2）把原式進(jìn)行因式分解得到，進(jìn)而求出，再利用勾股定理的逆定理求解即可． 【詳解】（1）解：① ， 故答案為：； ② ， 故答案為：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的方法及其在幾何圖形問題中的應(yīng)用，讀懂題中的分解方法并熟練掌握整式乘法公式是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練】 1．（2024上·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：，，2，，，，分別對應(yīng)下列六個(gè)字：華、我、愛、美、游、中，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（????） A．愛我中華 B．我游中華 C．中華美 D．我愛美 【答案】A 【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，綜合利用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，即可求解． 【詳解】解：， 2，，，對應(yīng)的漢字分別為：愛、我、中、華， 呈現(xiàn)的密碼信息可能是“愛我中華”， 故選A． 2．（2024·全國·八年級競賽）已知，則的值（????）． A．一定是負(fù)數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是正數(shù) D．不能確定 【答案】B 【分析】本題考查了整式的加減，完全平方公式．此題可直接用多項(xiàng)式M減去多項(xiàng)式N，然后化簡，最后把得出的結(jié)果與零比較確定的正負(fù)． 【詳解】解：∵， ∴ ． 故選：B 3．（2024上·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶方便．原理是：如對于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若取，，則各個(gè)因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對于多項(xiàng)式，取，，用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是（????） A．528024 B．522824 C．248052 D．522480 【答案】B 【分析】本題主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．先提公因式，然后根據(jù)平方差公式因式分解，進(jìn)而代入字母的值即可求解． 【詳解】解：∵ ， ∵，，則各個(gè)因式的值為，，， ∴產(chǎn)生的密碼不可能是522824， 故選：B． 4．（2024上·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）［閱讀材料］ 將四項(xiàng)及四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，我們一般使用分組分解法．分組分解法有兩種分法：一是“”分組．二是“”分組．兩種分組的主要區(qū)別就在于多項(xiàng)式中是否存在三項(xiàng)可以構(gòu)成完全平方，若可以構(gòu)成完全平方，則采用“”分組；若無法構(gòu)成，則采用“”分組． 例如：； ． ［應(yīng)用知識］ （1）因式分解：． （2）因式分解：． ［拓展應(yīng)用］ （3）已知一三角形的三邊長分別是，且滿足：．試判斷這個(gè)三角形的形狀，并說明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）這個(gè)三角形為等邊三角形．理由見解析 【分析】本題考查了因式分解以及因式分解的應(yīng)用． （1）利用“”分組，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分組，先利用完全平方公式計(jì)算，再利用平方差公式分解即可； （3）整理后，利用“”分組，再利用完全平方公式分解得到，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可． 【詳解】解：（1） ； （2） ； （3）這個(gè)三角形為等邊三角形． 理由：， ， ， ， ． ， ， ， 這個(gè)三角形是等邊三角形． 5．（2024上·廣東汕頭·八年級校聯(lián)考期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法，運(yùn)用配方法及平方差公式能對一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解． 例如：． 即：． 根據(jù)以上材料，解答下列問題： (1)因式分解：； (2)已知，，是的三邊長，且滿足，求的最長邊的取值范圍； (3)已知，，是的三邊長，且滿足，求的周長． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本題考查因式分解應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系，平方得非負(fù)性． （1）根據(jù)題意進(jìn)行求解即可； （2）利用完全平方公式將所給式子變形，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解； （3）將式子變形利用平方非負(fù)性即可計(jì)算出，，三邊長，再計(jì)算周長即可． 【詳解】（1）解：根據(jù)題意列式： ∴， 即：； （2）解：∵， ∴， 即：， ∴， ∵，，是的三邊長， ∴，即：， ∵是的最長邊， ∴； （3）解：∵， ∴， 即：， ∴， ∴的周長為：． 數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，如“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可以提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，其過程如下：. 此種因式分解的方法叫做“分組分解法”.

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