北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高三(上)期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷(解析版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 已知集合，集合，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，又?br>所以，
故選：D.
2. 設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的特征求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故C正確.
故選：C
3. 下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】選項(xiàng)A和D，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)A和D的正誤，選項(xiàng)B和C，根據(jù)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)A正確，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，由，得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：A.
4. 已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，以及，求得，再求即可.
【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，故可得，
則.
故選：A.
5. 設(shè)，為非零向量，則“”是“”的（）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】，為非零向量，“”平方后展開(kāi)，進(jìn)而判斷出結(jié)論.
【詳解】，為非零向量，“”展開(kāi)為：
∴“”是“”的充要條件.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.
6. 在中，，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形的性質(zhì)得到，由正弦的和角公式得，再利用正弦定理，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，得到?br>又，，
由正弦定理得，所以，
故選：D.
7. 沙漏也叫做沙鐘，是一種測(cè)量時(shí)間的裝置.現(xiàn)有一個(gè)沙漏（如圖）上方裝有的細(xì)沙，細(xì)沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過(guò)時(shí)剩余的細(xì)沙量為，且（b為常數(shù)），經(jīng)過(guò)時(shí)，上方還剩下一半細(xì)沙，要使上方細(xì)沙是開(kāi)始時(shí)的，需經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依題意有，解得，，由此能得出結(jié)果．
【詳解】依題意有，即，
兩邊取對(duì)數(shù)得，所以，得到，
當(dāng)容器中只有開(kāi)始時(shí)的時(shí)，則有，所以，
兩邊取對(duì)數(shù)得，所以，
故選：C．
8. 設(shè)函數(shù)，已知，，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用的性質(zhì)，得到和，從而得到，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，得到①
又，則，得到②，
由①②得到，，即，又，所以的最小值為，
故選：B.
9. 設(shè)集合，則（）
A. 對(duì)任意實(shí)數(shù)a，B. 對(duì)任意實(shí)數(shù)a，
C. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，D. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
【答案】C
【解析】
【分析】利用的取值，反例判斷是否成立即可．
【詳解】對(duì)A，若，則，
將代入不全部滿足，此時(shí)可知，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，則，
將代入全部滿足，此時(shí)可知，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若，，解之可得，所以C正確；
對(duì)D，當(dāng)，則，將代入不全滿足，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：C
10. 已知是的重心，過(guò)點(diǎn)作一條直線與邊，分別交于點(diǎn)，（點(diǎn)，與所在邊的端點(diǎn)均不重合），設(shè)，，則的最小值是（）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量的基本定理得到的等式，再用基本不等式求得最小值.
【詳解】如圖：
取中點(diǎn)，則，，
，
∵三點(diǎn)共線，∴，即，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；
故選：B
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 函數(shù)的定義域是___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用具體函數(shù)的定義域的求法求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，則且，
故的定義域是.
故答案為：.
12. 已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，得到，且，再利用數(shù)積的定義及運(yùn)算律，即可求解.
【詳解】由圖知，，且，
所以，
故答案：.
13. 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，設(shè)其前項(xiàng)和為，且，則過(guò)點(diǎn)和，且滿足的直線的斜率是________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解通項(xiàng)公式，再結(jié)合斜率公式求解即可.
【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，所以，解得?br>所以，，
故直線斜率為.
故答案為：2
14. 設(shè)函數(shù)
①若，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有________個(gè).
②若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】①，由來(lái)求得零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
②，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.
【詳解】①，當(dāng)時(shí)，，
由解得；
由，解得或.
綜上所述，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有個(gè).
②，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
值域?yàn)椋瑹o(wú)最值.
當(dāng)時(shí)，，
開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，，
當(dāng)時(shí)，，
則，①，
的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，
，則①不成立.
當(dāng)時(shí)，，
則，解得.
綜上所述，.
故答案為：；
15. 已知無(wú)窮數(shù)列滿足，，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①，；
②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；
③，使得；
④，均有.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根據(jù)以及即可得，進(jìn)而得，即可判斷①②③，利用，利用累加法求和即可判斷④.
【詳解】由，，
進(jìn)而可得，結(jié)合，以此類推可得，
故，故，故①②正確，③錯(cuò)誤，
由可得，故
由于，故，進(jìn)而可得，故，
因此，
累加，故，
當(dāng)時(shí)，，故，故④正確，
故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：，利用累加法求和.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.
16. 已知函數(shù)，.
（1）求的最小正周期及的值；
（2）直線與函數(shù)，的圖象分別交于兩點(diǎn)，求的最大值.
【答案】（1）最小正周期為，
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，求解最小正周期和函數(shù)值即可.
（2）利用題意把線段長(zhǎng)度表示為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.
小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，的最小正周期為.
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
則，即，
故
，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以MN在時(shí)的最大值為.
17. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，.
（1）求及；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一，求的面積.
條件①：；
條件②：；
條件③：.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和邊長(zhǎng)即可.
（2）首先證明條件①不符合題意，選擇條件②和條件③時(shí)利用余弦定理結(jié)合給定條件求解面積即可.
【小問(wèn)1詳解】
由和余弦定理可得.
因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，故，
由變形得，由正弦定理得.
【小問(wèn)2詳解】
選擇條件①：，
由正弦定理得，解得，
因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，故，
與相互矛盾，故不存在這樣的三角形，
所以我們不選擇條件①，
選擇條件②：，
因?yàn)?，，所以?br>解得，由余弦定理得，
化簡(jiǎn)得，解得或（舍），
所以.
選擇條件③：，
因?yàn)?，所?
因?yàn)椋裕?br>由余弦定理得，化簡(jiǎn)得.
解得或，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，與題干不符，故排除，
所以.
18. 已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，且，．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先由數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)的關(guān)系式求出相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，
判斷出數(shù)列的類型，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；
（2）利用分組求和法及公式法進(jìn)行求和即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)?，，?br>所以有，．②
②①得．
所以數(shù)列成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．
所以．
又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，且，．
所以，．
所以．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?br>設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以
．
19. 設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值8.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值，以及相應(yīng)x的值；
（3）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形.
【答案】（1），.
（2），最小值為8，，最大值為24.
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)及極值可求的值；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論其符號(hào)后可得單調(diào)性，從而可求何時(shí)取何最值；
（3）可證曲線上任意點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱的點(diǎn)仍在曲線上，從而可得曲線的對(duì)稱性.
【小問(wèn)1詳解】
，
由題意函數(shù)在處取得極小值8得，
解得，.
此時(shí)，
當(dāng)或時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f'x

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