一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.[2024·開封模擬]等比數(shù)列{an}中，a3＝－4，a6＝32，則數(shù)列{an}的前6項和為( )
A.21 B.－21 C.11 D.－11
2.[2023·石家莊質(zhì)檢]在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3a13＝144，a5＝6，則a2＝( )
A.6 B.4 C.3 D.2
3.[2023·遼陽質(zhì)檢]已知{an}是等比數(shù)列，則“a4＋a7＝27(a1＋a4)”是“數(shù)列{an}的公比為3”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.[2024·洛陽模擬]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*，則以下滿足Sn＜an＋1的數(shù)列的通項是( )
A.an＝n B.an＝eq \f(1,2) C.an＝2n－1 D.an＝2－n
5.[2024·淮安模擬]已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若存在m∈N*，滿足eq \f(S2m,Sm)＝9，eq \f(a2m,am)＝eq \f(5m＋1,m－1)，則數(shù)列{an}的公比為( )
A.0 B.2 C.－3 D.3
6.[2023·南昌質(zhì)檢]已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，Sn＋1(Sn＋1－3n)＝Sn(Sn＋3n)，則S2 023＝( )
A.32 023－1 B.32 023＋1 C.eq \f(32 023＋1,2) D.eq \f(32 022＋1,2)
7.[2023·北京昌平質(zhì)檢]已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則下列結(jié)論中一定成立的是( )
A.若a6＞0，則S2n＜0 B.若a6＞0，則S2n＞0
C.若a5＞0，則S2n＋1＜0 D.若a5＞0，則S2n＋1＞0
8.[2024·福州模擬]英國數(shù)學(xué)家亞歷山大·艾利斯提出用音分來精確度量音程，音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對數(shù)標(biāo)度單位.一個八度音程為1 200個音分，它們的頻率值構(gòu)成一個等比數(shù)列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1 200個音分的頻率值構(gòu)成一個公比為eq \r(1 200,2)的等比數(shù)列.已知音分M的頻率為m，音分值為k，音分N的頻率為n，音分值為l.若m＝eq \r(2)n，則k－l＝( )
A.400 B.500 C.600 D.800
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.[2024·昆明模擬]已知a，b，c為非零實數(shù)，則下列說法一定正確的是( )
A.若a，b，c成等比數(shù)列，則eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等比數(shù)列
B.若a，b，c成等差數(shù)列，則eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差數(shù)列
C.若a2，b2，c2成等比數(shù)列，則a，b，c成等比數(shù)列
D.若a，b，c成等差數(shù)列，則2a，2b，2c成等比數(shù)列
10.[2023·唐山質(zhì)檢]如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，連接各邊中點得到△A1B1C1，再連接△A1B1C1的各邊中點得到△A2B2C2，…，如此繼續(xù)下去，設(shè)△AnBnCn的邊長為an，△AnBnCn的面積為Mn，則( )
A.Mn＝eq \f(\r(3),4)aeq \\al(2,n) B.aeq \\al(2,4)＝a3a5
C.a1＋a2＋…＋an＝2－22－n D.M1＋M2＋…＋Mn＜eq \f(\r(3),3)
11.[2023·遼陽質(zhì)檢]“內(nèi)卷”是一個網(wǎng)絡(luò)流行詞，一般用于形容某個領(lǐng)域中發(fā)生了過度的競爭，導(dǎo)致人們進(jìn)入了互相傾軋、內(nèi)耗的狀態(tài)，從而導(dǎo)致個體“收益努力比”下降的現(xiàn)象，數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個詞.螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋線便是以一個固定點開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖1.它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點E，F(xiàn)，G，H作第二個正方形，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M，N，P，Q作第3個正方形，以此方法一直循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案.設(shè)正方形ABCD邊長為a1，后續(xù)各正方形邊長依次為a2，a3，…，an，…，如圖2陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為b1，后續(xù)各直角三角形面積依次為b2，b3，…，bn，….下列說法正確的是( )
A.數(shù)列{an}是以4為首項，eq \f(\r(10),4)為公比的等比數(shù)列
B.從正方形ABCD開始，連續(xù)3個正方形的面積之和為eq \f(129,4)
C.使得不等式bn＞eq \f(1,2)成立的n的最大值為4
D.數(shù)列{bn}的前n項和Sn＜4
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.[2024·南昌模擬]已知數(shù)列{an}滿足aeq \\al(2,n＋1)＝anan＋2，若a1＝eq \f(1,3)，a4＝9，則a6＝________.
13.[2023·衡水中學(xué)模擬]已知等比數(shù)列{an}的首項a1＞0，公比q＜0，a2a4＝4，且an＋2－2an＝an＋1，則{an}的前2 023項和為______.
14.[2023·撫順質(zhì)檢]英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛.若數(shù)列{xn}滿足xn＋1＝xn－eq \f(f（xn）,f′（xn）)，則稱數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列.若f(x)＝eq \f(1,x)，數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列，且x1＝1，xn≠0，數(shù)列{xn}的前n項和為Sn，則滿足Sn≤2 023的最大正整數(shù)n的值為________.
等比數(shù)列
1.A [由題意，n∈N*，在等比數(shù)列{an}中，a3＝－4，a6＝32，
設(shè)公比為q，前n項和為Sn，
∴a6＝a3q3＝－4q3＝32，
解得q＝－2，∴an＝a3qn－3＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1，
∴a1＝－(－2)1－1＝－1，Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(－1[1－（－2）n],1－（－2）)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（－2）n－1))，
∴S6＝eq \f(1,3)×[(－2)6－1]＝21，故選A.]
2.C [等比數(shù)列{an}中，an＞0，
由aeq \\al(2,8)＝a3a13＝144，得a8＝12，
由a2a8＝aeq \\al(2,5)＝36，得a2＝3，所以a2＝3.故選C.]
3.B [由a4＋a7＝27(a1＋a4)，
得a1(1＋q3)(q3－27)＝0，
解得q＝－1或q＝3，故充分性不滿足；
由{an}的公比為3，可得a4＋a7＝(a1＋a4)·q3＝27(a1＋a4)，故必要性滿足，則“a4＋a7＝27(a1＋a4)”是“數(shù)列{an}的公比為3”的必要不充分條件.故選B.]
4.C [對于A，S2＝a3，與題意矛盾，A選項錯誤；
對于B，S1＝a2，與題意矛盾，B選項錯誤；
對于C，Sn＝2n－1＜2n＝an＋1，故C正確；
對于D，S1＝eq \f(1,2)＞a2＝eq \f(1,4)，與題意矛盾，故D錯誤.故選C.]
5.B [設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，若q＝1，則eq \f(S2m,Sm)＝2，與題中條件矛盾，故q≠1，
所以eq \f(S2m,Sm)＝eq \f(\f(a1（1－q2m）,1－q),\f(a1（1－qm）,1－q))＝qm＋1＝9，
解得qm＝8，
又因為eq \f(a2m,am)＝eq \f(a1q2m－1,a1qm－1)＝qm＝8＝eq \f(5m＋1,m－1)，
解得m＝3，即q3＝8，所以q＝2.故選B.]
6.C [因為Sn＋1(Sn＋1－3n)＝Sn(Sn＋3n)，
所以Seq \\al(2,n＋1)－3nSn＋1＝Seq \\al(2,n)＋3nSn，
即Seq \\al(2,n＋1)－Seq \\al(2,n)＝3nSn＋1＋3nSn，
所以(Sn＋1＋Sn)(Sn＋1－Sn)＝3n(Sn＋1＋Sn).
因為數(shù)列{an}的各項都是正項，
即Sn＋1＋Sn＞0，
所以Sn＋1－Sn＝3n，即an＋1＝3n，
所以當(dāng)n≥2時，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3n,3n－1)＝3，
所以數(shù)列{an}從第二項起，構(gòu)成以a2＝3為首項，公比q＝3的等比數(shù)列.
所以S2 023＝a1＋eq \f(a2（1－q2 022）,1－q)
＝2＋eq \f(3×（1－32 022）,1－3)＝eq \f(32 023＋1,2).故選C.]
7.D [由數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
若a6＝a1q5＞0，則可知a1，q同號，
由S2n＝eq \f(a1（1－q2n）,1－q)知，當(dāng)q＝－1時，S2n＝0，故A，B錯誤；
若a5＝a1q4＞0，則可知a1＞0，當(dāng)q＝1時，該等比數(shù)列為常數(shù)列，則S2n＋1＞0，故C錯誤；
當(dāng)q≠1時，S2n＋1＝eq \f(a1（1－q2n＋1）,1－q)，
q＞1時，1－q2n＋1＜0，1－q＜0，
當(dāng)q＜1時，1－q2n＋1＞0，1－q＞0，
所以由a1＞0且1－q2n＋1，1－q同號，可知S2n＋1＞0，故D正確.故選D.]
8.C [由題意可知，1 200個音分的頻率值構(gòu)成一個公比為eq \r(1 200,2)的等比數(shù)列，
設(shè)第一個音分為a1，所以an＝a1(eq \r(1 200,2))n－1，
故m＝a1(eq \r(1 200,2))k－1，n＝a1(eq \r(1 200,2))l－1，
因為m＝eq \r(2)n，所以eq \f(m,n)＝eq \f(a1（\r(1 200,2)）k－1,a1（\r(1 200,2)）l－1)＝(eq \r(1 200,2))k－l＝eq \r(2)?2eq \f(k－l,1 200)＝2eq \f(1,2)?eq \f(k－l,1 200)＝eq \f(1,2)?
k－l＝600. 故選C.]
9.AD [A.若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac，則(eq \f(1,b))2＝eq \f(1,a)·eq \f(1,c)，所以eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等比數(shù)列，故A正確；
B.數(shù)列1，2，3是等差數(shù)列，但數(shù)列eq \f(1,1)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)不是等差數(shù)列，故B錯誤；
C.若a2，b2，c2成等比數(shù)列，則b4＝a2c2，b2＝ac或b2＝－ac，若b2＝－ac，則a，b，c不成等比數(shù)列，故C錯誤；
D.若a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c，
則(2b)2＝22b＝2a·2c＝2a＋c成立，
所以2a，2b，2c成等比數(shù)列，故D正確.
故選AD.]
10.ABD [顯然△AnBnCn是正三角形，因此Mn＝eq \f(\r(3),4)aeq \\al(2,n)，A正確；
由中位線性質(zhì)易得an＝eq \f(1,2)an－1，
即{an}是等比數(shù)列，公比為eq \f(1,2)，
因此aeq \\al(2,4)＝a3a5，B正確；
a1＝eq \f(1,2)AB＝1，a1＋a2＋…＋an＝eq \f(1－（\f(1,2)）n,1－\f(1,2))＝2－21－n，C錯誤；
M1＝eq \f(\r(3),4)×12＝eq \f(\r(3),4)，{an}是等比數(shù)列，
公比為eq \f(1,2)，則{Mn}也是等比數(shù)列，
公比是eq \f(1,4)，M1＋M2＋…＋Mn＝eq \f(\f(\r(3),4)×[1－（\f(1,4)）n],1－\f(1,4))＝eq \f(\r(3),3)(1－eq \f(1,4n))＜eq \f(\r(3),3)，D正確.故選ABD.]
11.ABD [對于A選項，由題意知，
aeq \\al(2,n＋1)＝(eq \f(an,4))2＋(eq \f(3an,4))2＝eq \f(5,8)aeq \\al(2,n)且an＞0，
所以an＋1＝eq \f(\r(10),4)an，
又因為a1＝4，所以數(shù)列{an}是以4為首項，eq \f(\r(10),4)為公比的等比數(shù)列，故A正確；
對于B選項，由上知，an＝4×(eq \f(\r(10),4))n－1，a1＝4，a2＝eq \r(10)，a3＝eq \f(5,2)，
所以aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3)＝42＋(eq \r(10))2＋(eq \f(5,2))2＝eq \f(129,4)，故B正確；
對于C選項，bn＝eq \f(1,2)·eq \f(an,4)·eq \f(3an,4)＝eq \f(3aeq \\al(2,n),32)＝
eq \f(3,32)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4×（\f(\r(10),4)）n－1))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,2)×(eq \f(5,8))n－1，
易知{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列，且b3＝eq \f(3,2)×(eq \f(5,8))2＝eq \f(75,128)＞eq \f(1,2)，b4＝eq \f(3,2)×(eq \f(5,8))3＝eq \f(375,1 024)＜eq \f(1,2)，故使得不等式bn＞eq \f(1,2)成立的n的最大值為3，故C錯誤；
對于D選項，由C中分析知，{bn}是以eq \f(3,2)為首項，eq \f(5,8)為公比的等比數(shù)列，
所以Sn＝eq \f(\f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－（\f(5,8)）n)),1－\f(5,8))
＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－（\f(5,8)）n))，且n∈N*，
所以0＜1－(eq \f(5,8))n＜1，所以Sn＜4，
故D正確，故選ABD.]
12.81 [因為aeq \\al(2,n＋1)＝anan＋2，
所以{an}為等比數(shù)列，
設(shè)公比為q，又a1＝eq \f(1,3)，a4＝9，
所以a4＝a1q3，解得q＝3，
所以a6＝a1q5＝81.]
13.2 [因為an＋2－2an＝an＋1，
所以anq2－2an＝anq，
化為q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，
又因為q＜0，所以q＝－1，
又因為a2a4＝4，所以aeq \\al(2,1)q4＝aeq \\al(2,1)(－1)4＝4，
得到a1＝2或a1＝－2，
又a1＞0，所以a1＝2，故an＝2×(－1)n－1，
所以S2 023＝eq \f(2×[1－（－1）2 023],1－（－1）)＝2.]
14.10 [因為f(x)＝eq \f(1,x)，所以f′(x)＝－eq \f(1,x2)，
則xn＋1＝xn－eq \f(f（xn）,f′（xn）)＝xn－eq \f(\f(1,xn),－\f(1,xeq \\al(2,n)))＝2xn，
又x1＝1，xn≠0，所以{xn}是首項為x1＝1，公比q＝2的等比數(shù)列，則Sn＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1.
令Sn＝2n－1≤2 023，則2n≤2 024，
又因為y＝2x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且210＝1 024＜2 024，211＝2 048＞2 024，
所以n≤10，
所以最大正整數(shù)n的值為10.]

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