同構(gòu)函數(shù)問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題.同構(gòu)函數(shù)問(wèn)題是指在不等式、方程、函數(shù)中,通過(guò)等價(jià)變形形成相同形式,再構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題,常見(jiàn)的同構(gòu)有雙變量同構(gòu)和指對(duì)同構(gòu),一般都是壓軸題,難度較大.
同構(gòu)的概念：通過(guò)觀察式子結(jié)構(gòu)，對(duì)式子進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，找到式子兩邊對(duì)應(yīng)的同一個(gè)函數(shù)，將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)。像這種找到函數(shù)模型的方法，我們就稱為同構(gòu)法.同構(gòu)法可解決求參數(shù)的取值范圍、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、證明不等式等問(wèn)題。
在遇到指對(duì)混合的函數(shù)問(wèn)題中，如何進(jìn)行同構(gòu)變形？
一般地，當(dāng)指數(shù)，對(duì)數(shù)出現(xiàn)在同一個(gè)式子中，矛盾無(wú)法調(diào)和時(shí)，常利用對(duì)數(shù)恒等式，做到指數(shù)或?qū)?shù)的相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一，從而構(gòu)造函數(shù)解決。
指對(duì)同構(gòu)的本質(zhì)：指、冪、對(duì)三種函數(shù)的互相轉(zhuǎn)化
指對(duì)兩邊分，同指又同真，指冪冪對(duì)型，同構(gòu)得真身。
角度一 雙變量同構(gòu)型
例1(1)若實(shí)數(shù)a,b滿足4a+lg3a=8b+3lg27b,則(　　)C.a>b3 D.a0,b>0,∵4a=22a,8b=23b,3lg27b=lg3b,∴22a+lg3a=23b+lg3b,∴22a+lg3a+lg32=23b+lg3b+lg32,即22a+lg32a=23b+lg32b,∵y=lg3x在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,∴l(xiāng)g32b0.
(2)(2024遼寧大連模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+2x+ex+1+e-x-1+k有且只有一個(gè)零點(diǎn),則k的值為(　　)A.-1B.0C.1D.2
解析 f(x)定義域?yàn)镽,且f'(x)=2x+2+ex+1-e-x-1=x+1+ex+1-[-(x+1)+e-(x+1)],令g(x)=x+ex,則g'(x)=1+ex>0恒成立,故g(x)=x+ex在R上單調(diào)遞增,當(dāng)x+1>-(x+1),即x>-1時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x+10,g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(0)=e0-0-1=0,所以ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立).
設(shè)g(x)=ex-x-1,則g'(x)=ex-1,當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)x

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