中考數(shù)學一輪復習重點考向練習突破06 函數(shù)與幾何圖形動態(tài)探究題（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

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函數(shù)與幾何圖形動態(tài)探究題是山西中考的必考題，這類題型屬于開放探究題，考查學生綜合探究、幾何直觀和數(shù)學運算能力，在綜合探究過程中，培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S和分類討論的思想，逐步體會分類的方法和原因，逐步提高發(fā)現(xiàn)和提出問題以及分析和解決問題的能力.
?考向一線段周長問題
1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖，點D是拋物線上的一個動點，設點D的橫坐標是，過點D作直線軸，垂足為點E，交直線于點F．當D，E，F(xiàn)三點中一個點平分另外兩點組成的線段時，求線段的長；
(3)若點P是拋物線上的一個動點（點P不與頂點重合），點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N在坐標平面內(nèi)，當四邊形是矩形鄰邊之比為時，請直接寫出點P的橫坐標．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【思路點撥】（1）將點，代入解析式即可求解；
（2）可求直線的解析式為，可得，，，①當時，可求，，即可求解；②當時，，，即可求解；
（3）①當在對稱軸的左側(cè)時，得到是矩形，鄰邊之比為，即，即可求解；②當在對稱軸的右側(cè)時，同理可求．
【規(guī)范解答】（1）解：由題意得
解得，
故拋物線的表達式；
（2）解：當時，，
，
設直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為，
點D的橫坐標是，過點D作直線軸，
，，，
①如圖，當時，

，
，
，
整理得：，
解得：，，
，
不合題意，舍去，
，
；
②如圖，當時，

，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
；
綜上所述：線段的長為或．
（3）解：設點，，
當四邊形是矩形時，則為直角，
①當在對稱軸的左側(cè)時，
如圖，過作軸交軸于，交過作軸的平行線于，
，
∵為直角，
則，
∵，
∴，
∴，
∵是矩形鄰邊之比為，即或，
即和的相似比為或，
即，
由題意得：，，
∴，
則，
即，
解得：，（不符合題意，舍去）；
②當在對稱軸的右側(cè)時，

同理可得：，
解得：，
綜上，或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合體，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)等知識點，分類求解是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經(jīng)過點A，B，且對稱軸是直線．

(1)求直線l的解析式；
(2)求拋物線的解析式；
(3)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值是，此時的P點坐標是
【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)題意可設拋物線的解析式為，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）由題意易證為等腰直角三角形，即得出．設點P的坐標為，則，從而可求出．再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，有最大值是，此時最大，進而即可求解．
【規(guī)范解答】（1）解：設直線l的解析式為，
把A，B兩點的坐標代入解析式，得，
解得：，
∴直線l的解析式為；
（2）解：設拋物線的解析式為，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴．
把A，B兩點坐標代入解析式，得，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（3）解：∵ ，
∴．
∵在中，
∴．
∵軸，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
設點P的坐標為，則，
∴．
∵，
∴當時，有最大值是，此時最大，
∴，
當時，，
∴，
∴的最大值是，此時的P點坐標是．
【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識．掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
3．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標為，圖象的頂點為M．矩形的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B的坐標為．

(1)求c的值及頂點M的坐標，
(2)如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個單位得到對應的矩形．已知邊，分別與函數(shù)的圖象交于點P，Q，連接，過點P作于點G．
①當時，求的長；
②當點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，頂點M的坐標是
(2)①1；②存在，或
【思路點撥】（1）把代入拋物線的解析式即可求出c，把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點式即可求出頂點坐標；
（2）①先判斷當時，，的坐標分別是，，再求出，時點Q的縱坐標與點P的縱坐標，進而求解；
②先求出，易得P，Q的坐標分別是，，然后分點G在點Q的上方與點G在點Q的下方兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．
【規(guī)范解答】（1）∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標為，
∴，
∴，
∴頂點M的坐標是．
（2）①∵A在x軸上，B的坐標為，
∴點A的坐標是．
當時，，的坐標分別是，．
當時，，即點Q的縱坐標是2，
當時，，即點P的縱坐標是1．
∵，
∴點G的縱坐標是1，
∴．
②存在．理由如下：
∵的面積為1，，
∴．
根據(jù)題意，得P，Q的坐標分別是，．
如圖1，當點G在點Q的上方時，，
此時（在的范圍內(nèi)），

如圖2，當點G在點Q的下方時，，
此時（在的范圍內(nèi)）．
∴或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；
(3)若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【思路點撥】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）在中，，則，得到直線的表達式為：，進而求解；
（3）作，證明且相似比為，故當、、共線時，為最小，進而求解．
【規(guī)范解答】（1）解：設拋物線的表達式為：，
即，則，
故拋物線的表達式為：①；
（2）解：在中，，
，
則，
故設直線的表達式為：②，
聯(lián)立①②得：，
解得：（不合題意的值已舍去）；
（3）解：作，

設，
，
且相似比為，
則，
故當、、共線時，為最小，
在中，設邊上的高為，
則，
即，
解得：，
則，
則，
過點作軸于點，
則，
即點的縱坐標為：，
同理可得，點的橫坐標為：，
即點，
由點、的坐標得，，
即的最小值為．
【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
5．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側(cè)），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，過點作軸平行線交于點，過點作軸平行線交軸于點，求的最大值及點的坐標；
(3)如圖2，設點為拋物線對稱軸上一動點，當點，點運動時，在坐標軸上確定點，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點的坐標．
【答案】(1)
(2)的最大值為，點的坐標為
(3)符合條件的點坐標為：或
【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先求得直線的解析式，設，則，，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）先求得拋物線的頂點，對稱軸為，分當點在軸上和點在軸負半軸上時，兩種情況討論，當點在軸負半軸上時，證明，求得，再證明，求得點的坐標為，由點在拋物線上，列式計算求解即可．
【規(guī)范解答】（1）解：∵拋物線與軸交于點，與軸交于點
解得
拋物線的解析式為：；
（2）解：當時，，
解得，，
∴，
設直線的解析式為：，
把，代入得：，
解得
∴直線的解析式為，

設，
∵軸，
∴點的縱坐標為，
又∵點在直線上，
∴，，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵，，
∴當時，有最大值，最大值為，
當時，，
∴點的坐標為；
答：的最大值為，點的坐標為；
（3）解：，
則拋物線的頂點，對稱軸為，
情況一：當點在軸上時，為拋物線的頂點，

∵四邊形為矩形，
∴與縱坐標相同，
∴；
情況二：當點在軸負半軸上時，四邊形為矩形，
過作軸的垂線，垂足為，過作軸的垂線，垂足為，

設，則，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵拋物線對稱軸為，點在對稱軸上，，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴點的坐標為，
∵點在拋物線上，
∴，
解得，（舍去），
∴，
綜上所述：符合條件的點坐標為：或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是方程思想的應用．
6．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．已知點的坐標是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點的坐標；
(2)在對稱軸上找一點，使的值最?。簏c的坐標和的最小值；
(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點，過點作軸，垂足為，連接交于點．依題意補全圖形，當?shù)闹底畲髸r，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)點，的最小值為
(3)
【思路點撥】（1）根據(jù)拋物線的對稱性，進行求解即可；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性，得到，得到當三點共線時，的值最小，為的長，求出直線的解析式，解析式與對稱軸的交點即為點的坐標，兩點間的距離公式求出的長，即為的最小值；
（3）根據(jù)題意，補全圖形，設，得到，，將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解．
【規(guī)范解答】（1）解：∵點關(guān)于對稱軸的對稱點為點，對稱軸為直線，
∴點為；
（2）當時，，
∴，
連接，

∵，
∴，
∵點關(guān)于對稱軸的對稱點為點，
∴，
∴當三點共線時，的值最小，為的長，
設直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
∵點在拋物線的對稱軸上，
∴；
∴點，的最小值為；
（3）過點作軸，垂足為，連接交于點，如圖所示，

∵，
設拋物線的解析式為：，
∵，
∴，
∴，
∴，
設，則：，
由（2）知：直線：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當時，有最大值，此時．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用．正確的求出函數(shù)解析式，利用拋物線的對稱性以及數(shù)形結(jié)合的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．
?考向二面積問題
1．（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線交x軸于A，兩點，交y軸于點．點P是拋物線上一動點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)當點P的坐標為時，求四邊形的面積；
(3)當動點P在直線上方時，在平面直角坐標系是否存在點Q，使得以B，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
(4)如圖2，點D是拋物線的頂點，過點D作直線軸，交x軸于點H，當點P在第二象限時，作直線，分別與直線交于點G和點I，求證：點D是線段的中點．
【答案】(1)
(2)9
(3)在平面直角坐標系內(nèi)存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，此時點Q的坐標為或
(4)證明過程見解析
【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）連接，過點P作于點E，利用點的坐標表示出線段、、、、的長度，再根據(jù)，進行計算即可；
（3）當為矩形的邊時，畫出符合題意的矩形，交y軸于點E，交x軸于點F，連接，過點P作軸于點M，過點Q作軸于點N，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)得到，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求得點P的坐標，則，進而得到、的長度，即可得出結(jié)果；當為對角線時，畫出相應的圖形，求出結(jié)果即可；
（4）利用配方法求得拋物線的頂點坐標、對稱軸，再利用待定系數(shù)法求得直線、的解析式，進而求得點I、G的坐標，利用點的坐標表示出線段、的長度，即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】（1）解：由題意可得，，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：連接，過點P作于點E，如圖，
∵點P的坐標為，
∴，，
令，則，
解得或，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
；
（3）解：在平面直角坐標系內(nèi)存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，理由如下：
如圖，當為邊時，四邊形為符合條件的矩形，交y軸于點E，交x軸于點F，連接，過點P作軸于點M，過點Q作軸于點N，
∵，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴和為等腰直角三角形，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，，
∴和為全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立方程組得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖，當為對角線時，四邊形為矩形，過點Q作軸于點D，軸于點E，
則，，
∵，
∴，
∴，
∴，
設點P的坐標為：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
分解因式得：，
解得：（舍去），（舍去），，
∴此時點Q的坐標為：．
綜上所述，在平面直角坐標系內(nèi)存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是矩形，此時點Q的坐標為或；
（4）證明：∵，
∴拋物線的頂點D的坐標為，對稱軸為直線，
設，直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴，
∴，
∴，
∴點D是線段的中點．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，，．動點P從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，動點Q從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．以為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點E．設運動時間為，解答下列問題：

(1)當點M在上時，求t的值；
(2)連接．設的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；
(3)是否存在某一時刻t，使點B在的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)；的最大值為
(3)
【思路點撥】（1）證明，則，即可求解；
（2）由即可求解；
（3）當點在的平分線上時，則，在中，，即可求解．
【規(guī)范解答】（1）∵平行四邊形，
∴，，，
由題意得∶，，
如下圖，點在上時，

∵，，，
∴，
∴，
則即
解得：
（2）如上圖，
∵，
∴，
∵四邊形是菱形，
則，
∴，
∴為等腰三角形，則
過點作于點，
則
即解得∶ ，
則，
設中邊上的高為，則
即：
，故有最大值，
當時，的最大值為；
（3）存在，理由∶
如下圖，過點作于點，

當點在的平分線上時，則
，
在中，
，
解得：
【點睛】本題為四邊形綜合題，涉及到特殊四邊形性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形、函數(shù)的表達式確定等，綜合性強，難度適中．
3．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條拋物線經(jīng)過的三個頂點，其中為坐標原點，點，點在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線，且的面積為18

(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式；
(2)求點的坐標；
(3)設為線段的中點，為直線上的一個動點，連接，，將沿翻折，點的對應點為．問是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點的坐標為或或或
【思路點撥】（1）根據(jù)對稱軸為直線，將點代入，進而待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）設，過點作軸交于點，過點作交于點，繼而表示出的面積，根據(jù)的面積為，解方程，即可求解．
（3）先得出直線的解析式為，設，當為平行四邊形的對角線時，可得，當為平行四邊形的對角線時，，進而建立方程，得出點的坐標，即可求解．
【規(guī)范解答】（1）解：∵對稱軸為直線，
∴①，
將點代入得，
∴②，
聯(lián)立①②得，，
∴解析式為；
（2）設，如圖所示，過點作軸交于點，過點作交于點，

∴，，
則，
∴
解得：或（舍去），
（3）存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：
∵，
∴，
設直線的解析式為，
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
設，
如圖所示，當BP為平行四邊形的對角線時，，

，
∵，
∴，
由對稱性可知，，
∴，
∴
解得：
∴點的坐標為或
如圖3，當為平行四邊形的對角線時，，，

由對稱性可知，，
∴，
∴，
解得：或，
∴點的坐標為或
綜上所述，點的坐標為或或或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點和點，交軸于點．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；
(2)設二次函數(shù)圖象的頂點為，對稱軸與軸交于點，求四邊形的面積（請在圖1中探索）；
(3)二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖中探索）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，
【思路點撥】（1）將，兩點坐標代入拋物線的解析式，進一步求解得出結(jié)果；
（2）連接，將二次函數(shù)的解析式配方求得頂點的坐標，鄰求得的坐標，從而求得，，的長，再根據(jù)求得結(jié)果；
（3）設，，表示出和，根據(jù)列出方程求得的值，進而求得結(jié)果．
【規(guī)范解答】（1）解：由題意得，
，
∴，
∴；
（2）解：如圖，連接，

∵，
∴，
∴，，
由得，，
∴，
∴；
（3）解：設，，
∵，
∴，
由得，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎知識．
5．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式．
(2)如圖1，點是軸上方拋物線上一點，射線軸于點，若，且，請直接寫出點的坐標．
(3)如圖2，點是第一象限內(nèi)一點，連接交軸于點，的延長線交拋物線于點，點在線段上，且，連接，若，求面積．
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路點撥】（1）將點，代入拋物線得到，解方程組即可得到答案；
（2）設，，則，則，，從而表示出點的坐標為，代入拋物線解析式，求出的值即可得到答案；
（3）求出直線的表達式，利用，得到，求出點的坐標，再根據(jù)進行計算即可得到答案．
【規(guī)范解答】（1）解：拋物線與軸交于點，，
，
解得：，
拋物線的解析式為：；
（2）解：，
設，，
，
，
，
點，
，
，
點的坐標為，
點是軸上方拋物線上一點，
，
解得：（舍去）或，
；
（3）解：設點，直線的解析式為，
，
，
解得：，
直線的解析式為，
當時，，
，
，
，
在拋物線中，當時，，
，
，
，
設點的坐標為，
，，
，
，
，
，
解得：，
點的坐標為，
．
【點睛】本題為二次函數(shù)綜合，主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的應用、銳角三角函數(shù)、三角形面積的計算，確定關(guān)鍵點的坐標是解本題的關(guān)鍵．
6．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與y軸交于點C．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式．
(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點D，若點M是直線上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值．
(3)如圖2，點是直線上的一個動點，過點的直線與平行，則在直線上是否存在點，使點與點關(guān)于直線對稱？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【思路點撥】（1）根據(jù)拋物線的交點式直接得出結(jié)果；
（2）作于，作于，交于，先求出拋物線的對稱軸，進而求得，坐標及的長，從而得出過的直線與拋物線相切時，的面積最大，根據(jù)的△求得的值，進而求得的坐標，進一步求得上的高的值，進一步得出結(jié)果；
（3）分兩種情形：當點在線段上時，連接，交于，設，根據(jù)求得的值，可推出四邊形是平行四邊形，進而求得點坐標；當點在的延長線上時，同樣方法得出結(jié)果．
【規(guī)范解答】（1）解：由題意得，
；
（2）解：如圖1，
作于，作于，交于，
，，
，
，
拋物線的對稱軸是直線：，
，
，
，
，
故只需的邊上的高最大時，的面積最大，
設過點與平行的直線的解析式為：，
當直線與拋物線相切時，的面積最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖2，
當點在線段上時，連接，交于，
點和點關(guān)于對稱，
，
設，
由得，，
，（舍去），
，
∵，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
∴；
如圖3，
當點在的延長線上時，由上可知：，
同理可得：，
綜上所述：或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是分類討論．
?考向三特殊三角形問題
1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點在拋物線上，點E在直線上，若，則點E的坐標是．

【答案】和
【思路點撥】先根據(jù)題意畫出圖形，先求出點坐標，當點在線段上時:是△DCE的外角，，而，所以此時，有，可求出所在直線的解析式，設點坐標，再根據(jù)兩點距離公式，，得到關(guān)于的方程，求解的值，即可求出點坐標；當點在線段的延長線上時，根據(jù)題中條件，可以證明，得到為直角三角形，延長至，取，此時，，從而證明是要找的點，應為，為等腰直角三角形，點和關(guān)于點對稱，可以根據(jù)點坐標求出點坐標．
【規(guī)范解答】解：在中，當時，，則有，
令，則有，
解得：，
∴，
根據(jù)點坐標，有
所以點坐標

設所在直線解析式為，其過點、
有，
解得
∴所在直線的解析式為：
當點在線段上時，設
而
∴
∴
因為：，，
有
解得：，
所以點的坐標為:
當在的延長線上時，
在中，，,
∴
∴
如圖延長至，取，

則有為等腰三角形，，
∴
又∵
∴
則為符合題意的點，
∵
∴
的橫坐標：，縱坐標為；
綜上E點的坐標為：或，
故答案為：或
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應用，熟練掌握一次函數(shù)根二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分情況找到點的位置，是求解此題的關(guān)鍵．
2．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖甲，在y軸上找一點D，使為等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；
(3)如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、Q兩點使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【思路點撥】（1）將，代入，求出,即可得出答案；
（2）分別以點為頂點、以點為頂點、當以點為頂點，計算即可；
（3）拋物線的對稱軸為直線，設，，求出，，，分三種情況：以為對角線或以為對角線或以為對角線．
【規(guī)范解答】（1）解：（1）∵，兩點在拋物線上，
∴
解得，，
∴拋物線的解析式為：；
（2）令，
∴，
由為等腰三角形，如圖甲，

當以點為頂點時，，點與原點重合，
∴；
當以點為頂點時，，是等腰中線，
∴，
∴；
當以點為頂點時，
∴點D的縱坐標為或，
∴綜上所述，點D的坐標為或或或．
（3）存在，理由如下：
拋物線的對稱軸為：直線，
設，，
∵，
則，
，
，
∵以為頂點的四邊形是菱形，
∴分三種情況：以為對角線或以為對角線或以為對角線，
當以為對角線時，則，如圖1，

∴，
解得：，
∴或
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與的中點重合，
當時，
∴，
解得：，
∴
當時，
∴，
解得：，
∴
以為對角線時，則，如圖2，

∴，
解得：，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與中點重合，
∴，
解得：，
∴；
當以為對角線時，則，如圖3，

∴，
解得：，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與的中點重合，
∴，
解得：
∴，
綜上所述，符合條件的點P、Q的坐標為：，或，或，或或
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)、分類討論等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和坐標與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點，其頂點是C．

(1)_______；
(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點D，過點作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；
(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點P的坐標．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【思路點撥】（1）把代入即可求解；
（2）過點D作DM⊥OA于點M，設，由，解得，進而求得平移后得拋物線，
平移后得拋物線為，根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解；
（3）先設出平移后頂點為，根據(jù)原拋物線，求得原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，進而得，再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程即可得解．
【規(guī)范解答】（1）解：把代入得，
，
解得，
故答案為；
（2）解：過點D作DM⊥OA于點M，

∵，
∴二次函數(shù)的解析式為
設，
∵D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，，
∴，
解得m=或m=8（舍去），
當m=時，，
∴，
∵，
∴設將原拋物線向左平移后的拋物線為，
把代入得，
解得a=3或a=（舍去），
∴平移后得拋物線為
∵過點作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，
在的對稱軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而減小，此時原拋物線也是y隨x的增大而減小，
∴；
（3）解：由，設平移后的拋物線為，則頂點為，
∵頂點為在上，
∴，
∴平移后的拋物線為，頂點為，
∵原拋物線，
∴原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，
∵平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，
∴，
∵點Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點P在原拋物線頂點C的上方，兩拋物線的交點Q在頂點P的上方，
∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，
∵是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴，
∴化簡得，
∴p=1（舍去），或p=3或p=，
當p=3時，，
當p=時，，
∴點P坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．
(2)點是拋物線上的動點
①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)①當時，的面積由最大值，最大值為；
②當點的坐標為或時，為等腰直角三角形
【思路點撥】（1）將將、代入拋物線即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過點P作軸，交于點E，交軸于點，易得，根據(jù)的面積，可得的面積，即可求解；
②由題意可知拋物線的對稱軸為，則，分兩種情況：當點在對稱軸左側(cè)時，即時，當點在對稱軸右側(cè)時，即時，分別進行討論求解即可．
【規(guī)范解答】（1）解：將、代入拋物線中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
當時，，即，
設的解析式為：，
將，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式為：，
過點P作軸，交于點E，交軸于點，

∵，則，
∴點E的橫坐標也為，則縱坐標為，
∴，
的面積
，
∵，
∴當時，的面積有最大值，最大值為；
②存在，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由題意可知拋物線的對稱軸為直線，
∵軸，
∴，，則，
當點在對稱軸左側(cè)時，即時，

，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時，即點；
當點在對稱軸右側(cè)時，即時，

，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時：，即點；
綜上所述，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
【點睛】本題二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象上的點的特點，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是表示出點的坐標，進行分類討論．
5．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線過點，對稱軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達式及頂點M的坐標；
(2)若點B在拋物線上，過點B作x軸的平行線交拋物線于點C、當是等邊三角形時，求出此三角形的邊長；
(3)已知點E在拋物線的對稱軸上，點D的坐標為，是否存在點F，使以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在點F，當或或或時，以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形．
【思路點撥】（1）根據(jù)對稱軸和過點列二元一次方程組求解即可；
（2）如圖：過點M作交于D，設點，則；然后表示出，再根據(jù)是等邊三角形可得,，根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形可得，進而求得即可解答；
（3）如圖可知：線段為菱形的邊和對角線，然后通過作圖、結(jié)合菱形的性質(zhì)和中點坐標公式即可解答．
【規(guī)范解答】（1）解：由題意可得：
，解得：，
所以拋物線的函數(shù)表達式為；
當時，，則頂點M的坐標為．
（2）解：如圖：過點M作交于D
設點，則,
∴，
∵是等邊三角形,
∴,
∴,即，解得：或（舍去）
∴，，
∴該三角形的邊長．
（3）解：存在點F，使以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形
①如圖：線段作為菱形的邊，
當為菱形的對角線時，作關(guān)于直線的對稱線段交于E，連接,作點E關(guān)于的對稱點F，即為菱形，由對稱性可得F的坐標為，故存在點F，使以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形，此時．
當為菱形對角線時，，
設，，
則，解得：或，
∴或
②線段作為菱形的對角線時，
如圖：設
∵菱形,
∴,的中點G的坐標為，點G是的中點，
∴，解得，
∴，
設，
則有：，解得：，
∴．

綜上，當或或或時，以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形．
【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、菱形的判定等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵．
6．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；
(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由；
(3)點是對稱軸上一點，且點的縱坐標為，當是銳角三角形時，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或或
(3)或．
【思路點撥】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)，可得到的距離等于到的距離，進而作出兩條的平行線，求得解析式，聯(lián)立拋物線即可求解；
（3）根據(jù)題意，求得當是直角三角形時的的值，進而觀察圖象，即可求解，分和兩種情況討論，分別計算即可求解．
【規(guī)范解答】（1）解：將點，代入，得
解得：
∴拋物線解析式為；
（2）∵，
頂點坐標為，
當時，
解得：
∴，則
∵，則
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距離等于到的距離，
∵，，設直線的解析式為
∴
解得：
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點作的平行線，交拋物線于點，

設的解析式為，將點代入得，
解得：
∴直線的解析式為，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如圖所示，延長至，使得，過點作的平行線，交軸于點，則，則符合題意的點在直線上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
設直線的解析式為
∴
解得：
∴直線的解析式為
聯(lián)立
解得：或
∴或
綜上所述，或或；
（3）①當時，如圖所示，過點作交于點，
當點與點重合時，是直角三角形，
當時，是直角三角形，

設交于點，
∵直線的解析式為，
則，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
設，則
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是銳角三角形
∴；
當時，如圖所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得時，

∴
綜上所述，當是銳角三角形時，或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，面積問題，角度問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；
(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或或或
(3)，理由見解析
【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求得拋物線的對稱軸為直線，設與交于點，當點F在x軸上方時，過點作于點，證明，設，則，，進而得出點的坐標，代入拋物線解析式，求得的值即可求出點F的坐標；當點F在x軸上方，且點E與點A重合時，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，即可求出點F的坐標；同理可求得當點F在x軸下方時的坐標；當點與點重合時，求得另一個解，進而即可求解；
（3）設，直線的解析式為，的解析式為，求得解析式，然后求得，即可求解．
【規(guī)范解答】（1）解：將點，，代入中得，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：∵點，，
∴拋物線的對稱軸為直線：，
如圖所示，當點F在x軸上方時，設與交于點，過點作于點，

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∵點在拋物線上
∴
解得：（舍去）或,
∴；
如圖所示，當點F在x軸上方時，且點E與點A重合時，設直線l與x軸交于G，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴；
如圖所示，當點F在x軸下方時，，設與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∵點在拋物線上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
如圖所示，當點F在x軸上方，當點與點重合時，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
∴，
綜上所述，或或或；
（3）解：設，直線的解析式為，的解析式為，
∵點，，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，的解析式為，
對于，當時，，即，
對于，當時，，即，
∵在拋物線上，則
∴
∴為定值．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸交點問題，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的最大值為，
(3)或
【思路點撥】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；
（2）可求直線的解析式為，設（），可求，從而可求，即可求解；
（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設，可求，，由，可求，進而求出直線的解析式，即可求解．
【規(guī)范解答】（1）解：由題意得
，
解得：，
拋物線的解析式為．
（2）解：設直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為；
設（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
當時，的最大值為，
，
．
故的最大值為，．
（3）解：存在，
如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，
∵拋物線的對稱軸為直線，
設，
，
，
，
，
，
解得：，
；
設直線的解析式為，則有
，
解得，
直線解析式為，
，且經(jīng)過，
直線解析式為，
當時，，
；
綜上所述：存在，的坐標為或．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點坐標滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線過點，和，連接，點為拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，交軸于點．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；
(2)如圖2，連接，當為等腰三角形時，求的值；
(3)當點在運動過程中，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似（其中點與點相對應），若存在，直接寫出點和點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線：；直線：
(2)或或
(3)，或，或，
【思路點撥】（1）由題得拋物線的解析式為，將點代入求，進而得拋物線的解析式；設直線的解析式為，將點，的坐標代入求，，進而得直線的解析式．
（2）由題得，分別求出，，，對等腰中相等的邊進行分類討論，進而列方程求解；
（3）對點在點左側(cè)或右側(cè)進行分類討論，設法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解，進而可得，的坐標．
【規(guī)范解答】（1）解：拋物線過點，，
拋物線的表達式為，
將點代入上式，得，
．
拋物線的表達式為，即．
設直線的表達式為，
將點，代入上式，
得，
解得．
直線的表達式為．
（2）解：點在直線上，且，
點的坐標為．
，，．
當為等腰三角形時，
①若，則，
即，
解得．
②若，則，
即，
解得或（舍去）．
③若，則，
即，
解得（舍去）或．
綜上，或或．
（3）解：點與點相對應，
或．
①若點在點左側(cè)，
則，，．
當，即時，
直線的表達式為，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
當，即時，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若點在點右側(cè)，
則，．
當，即時，
直線的表達式為，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
當，即時，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
綜上，，或，或，．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合應用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標系中兩點距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
?考向四特殊四邊形問題
1．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖，點D是拋物線上的一個動點，設點D的橫坐標是，過點D作直線軸，垂足為點E，交直線于點F．當D，E，F(xiàn)三點中一個點平分另外兩點組成的線段時，求線段的長；
(3)若點P是拋物線上的一個動點（點P不與頂點重合），點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N在坐標平面內(nèi)，當四邊形是矩形鄰邊之比為時，請直接寫出點P的橫坐標．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【思路點撥】（1）將點，代入解析式即可求解；
（2）可求直線的解析式為，可得，，，①當時，可求，，即可求解；②當時，，，即可求解；
（3）①當在對稱軸的左側(cè)時，得到是矩形，鄰邊之比為，即，即可求解；②當在對稱軸的右側(cè)時，同理可求．
【規(guī)范解答】（1）解：由題意得
解得，
故拋物線的表達式；
（2）解：當時，，
，
設直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為，
點D的橫坐標是，過點D作直線軸，
，，，
①如圖，當時，

，
，
，
整理得：，
解得：，，
，
不合題意，舍去，
，
；
②如圖，當時，

，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
；
綜上所述：線段的長為或．
（3）解：設點，，
當四邊形是矩形時，則為直角，
①當在對稱軸的左側(cè)時，
如圖，過作軸交軸于，交過作軸的平行線于，
，
∵為直角，
則，
∵，
∴，
∴，
∵是矩形鄰邊之比為，即或，
即和的相似比為或，
即，
由題意得：，，
∴，
則，
即，
解得：，（不符合題意，舍去）；
②當在對稱軸的右側(cè)時，

同理可得：，
解得：，
綜上，或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合體，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)等知識點，分類求解是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖甲，在y軸上找一點D，使為等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；
(3)如圖乙，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、Q兩點使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【思路點撥】（1）將，代入，求出,即可得出答案；
（2）分別以點為頂點、以點為頂點、當以點為頂點，計算即可；
（3）拋物線的對稱軸為直線，設，，求出，，，分三種情況：以為對角線或以為對角線或以為對角線．
【規(guī)范解答】（1）解：（1）∵，兩點在拋物線上，
∴
解得，，
∴拋物線的解析式為：；
（2）令，
∴，
由為等腰三角形，如圖甲，

當以點為頂點時，，點與原點重合，
∴；
當以點為頂點時，，是等腰中線，
∴，
∴；
當以點為頂點時，
∴點D的縱坐標為或，
∴綜上所述，點D的坐標為或或或．
（3）存在，理由如下：
拋物線的對稱軸為：直線，
設，，
∵，
則，
，
，
∵以為頂點的四邊形是菱形，
∴分三種情況：以為對角線或以為對角線或以為對角線，
當以為對角線時，則，如圖1，

∴，
解得：，
∴或
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與的中點重合，
當時，
∴，
解得：，
∴
當時，
∴，
解得：，
∴
以為對角線時，則，如圖2，

∴，
解得：，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與中點重合，
∴，
解得：，
∴；
當以為對角線時，則，如圖3，

∴，
解得：，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與的中點重合，
∴，
解得：
∴，
綜上所述，符合條件的點P、Q的坐標為：，或，或，或或
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)、分類討論等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和坐標與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線上有兩點、，其中點的橫坐標為，點的橫坐標為1，拋物線過點、．過作軸交拋物線另一點為點．以、長為邊向上構(gòu)造矩形．

(1)求拋物線的解析式；
(2)將矩形向左平移個單位，向下平移個單位得到矩形，點的對應點落在拋物線上．
①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
②直線交拋物線于點，交拋物線于點．當點為線段的中點時，求的值；
③拋物線與邊、分別相交于點、，點、在拋物線的對稱軸同側(cè)，當時，求點的坐標．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線上有兩點，其中點的橫坐標為，點的橫坐標為，拋物線過點．過作軸交拋物線另一點為點．以長為邊向上構(gòu)造矩形．
【答案】(1)
(2)①；②；③或
【思路點撥】（1）根據(jù)題意得出點，，利用待定系數(shù)法求解析式即可求解．
（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)得出，根據(jù)點的對應點落在拋物線上，可得，即可求解．
②根據(jù)題意得出，，求得中點坐標，根據(jù)題意即可求解．
③作輔助線，利用勾股定理求得，設出點，點坐標，將點代入，求得點坐標，進而根據(jù)點的對應點落在拋物線上，即可求解．
【規(guī)范解答】（1）根據(jù)題意，點的橫坐標為，點的橫坐標為1，代入拋物線，
當時，，則，
當時，，則，
將點，代入拋物線，
，
解得，
拋物線的解析式為．
（2）①軸交拋物線另一點為，
當時，，
，
矩形向左平移個單位，向下平移個單位得到矩形，點的對應點落在拋物線上．
，，
整理得，
，，
，
；
②如圖，

，，
，
，
，
由①可得，，
，的橫坐標為，分別代入，，
，，
，
的中點坐標為，
點為線段的中點，
，
解得或（大于4，舍去）．
③如圖，連接，過點作于點，

則，
，
，
設，則，，
將點代入，
得，
解得，
當，，
，
將代入，
解得，
或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及掌握復雜運算屬于中考壓軸題．
4．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于點和，交軸于點，頂點為．

(1)求拋物線的表達式；
(2)若點在第一象限內(nèi)對稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點的坐標；
(3)在（2）的條件下，若點是對稱軸上一點，點是坐標平面內(nèi)一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點G的坐標為或
【思路點撥】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）方法一：連接，過點作軸交于點．先求得直線的表達式為：．再設，，則，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；方法二：令拋物線的對稱軸與軸交于點，過點作軸于點，設，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；
（3）如下圖，連接，，由菱形及等邊三角形的性質(zhì)證明得．從而求得直線的表達式為：．聯(lián)立方程組求解，又連接，，，證．得，又證．得．進而求得直線的表達式為：．聯(lián)立方程組求解即可．
【規(guī)范解答】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，，
∴，解得．
∴拋物線的表達式為：．
（2）解：方法一：如下圖，連接，過點作軸交于點．

∵
，
∴．
令中，則，
解得或，
∴，
設直線為，
∵過點，，，
∴，
解得，
∴直線的表達式為：．
設，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
方法二：
如下圖，

拋物線的對稱軸與軸交于點，過點作軸于點，
設，
∴，
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
（3）解：存在，點的坐標為或．
如下圖，連接，，

∵四邊形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形．
∴，
∵，，，
∴，，點與點關(guān)于對稱軸對稱，
∴，，
∴是等邊三角形，，
∴，
∴即，，
∴．
∴．
∴直線的表達式為：．
與拋物線表達式聯(lián)立得．
∴點坐標為．
如下圖，連接，，，

同理可證：是等邊三角形，是等邊三角形，．
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴直線的表達式為：．
與拋物線表達式聯(lián)立得．
∴點坐標為．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，一元二次方程的應用，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點在第一象限內(nèi)，過點作軸，交于點，作軸，交拋物線于點，點在點的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當矩形的周長為11時，求線段的長；
(3)點在直線上，點在平面內(nèi)，當四邊形是正方形時，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)；
(3)點的坐標為或或或
【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先求得直線的解析式為，設，則，利用對稱性質(zhì)求得，推出，，利用矩形周長公式列一元二次方程計算即可求解；
（3）先求得直線的解析式為，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，證明，推出，，設，則，由點M在直線上，列式計算，可求得m的值，利用平移的性質(zhì)可得點N的坐標；設點，則點，當繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到時，當點M繞點O逆時針得到點E時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得點N的坐標．
【規(guī)范解答】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點和，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵點和，
設直線的解析式為，則，
解得，
∴直線的解析式為，
設，且，則，
∴，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴，
依題意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，則，
解得或，
∴，
同理，直線的解析式為，
∵四邊形是正方形，
∴，，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，如圖，

，，
∴，
∴，，
設，
∴，，
則，
∵點M在直線上，
∴，
解得或，
當時，，，
即點M與點C重合，點E與點B重合時，四邊形是正方形，此時；
當時，，，
點O向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點M，
則點E向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點N，
∴，即；
設點，則點，
當繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到時，如圖，
∵點E在的圖象上，
∴，
∴點，
∵點E在的圖象上，
∴，
解得：或0，
∴，，
當點M繞點O逆時針得到點E時，點，，
∵點E在的圖象上，
∴，
解得：，
∴點，，，，
∴點N的坐標為或；
綜上，點的坐標為或或或．
【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩點之間的距離公式和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性較強的題，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論．
6．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點，，矩形的邊在線段上（點B在點A的左側(cè)），點C，D在拋物線上，設，當時，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)當t為何值時，矩形的周長有最大值？最大值是多少？
(3)保持時的矩形不動，向右平移拋物線，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．
【答案】(1)
(2)當時，矩形的周長有最大值，最大值為
(3)4
【思路點撥】（1）設拋物線的函數(shù)表達式為，求出點C的坐標，將點C的坐標代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）由拋物線的對稱性得，則，再得出，根據(jù)矩形的周長公式，列出矩形周長的表達式，并將其化為頂點式，即可求解；
（3）連接A，相交于點P，連接，取的中點Q，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)推出四邊形是平行四邊形，則，．求出時，點A的坐標為，則，即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】（1）解：設拋物線的函數(shù)表達式為．
∵當時，，
∴點C的坐標為．
將點C坐標代入表達式，得，
解得．
∴拋物線的函數(shù)表達式為．
（2）解：由拋物線的對稱性得：，
∴．
當時，．
∴矩形的周長為
．
∵，
∴當時，矩形的周長有最大值，最大值為．
（3）解：連接，相交于點P，連接，取的中點Q，連接．

∵直線平分矩形的面積，
∴直線過點P．．
由平移的性質(zhì)可知，四邊形是平行四邊形，
∴．
∵四邊形是矩形，
∴P是的中點．
∴．
當時，點A的坐標為，
∴．
∴拋物線平移的距離是4．
【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達式的方法和步驟，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩形的性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)．
7．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點，交軸負半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若，當為何值時，四邊形是平行四邊形？
(3)若，設直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；
（3）分3種情況求解：當時；當時；當時；根據(jù)，確定點坐標，從而利用一次函數(shù)圖象上點的特征計算求解．
【規(guī)范解答】（1）解：在直線中，當時，，當時，，
∴點，點，
設拋物線的解析式為，
把點，點代入可得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由題意，，
∴，
當四邊形是平行四邊形時，，
∴，
∴，，
設直線的解析式為，
把代入可得，
解得，
∴直線的解析式為，
又∵過點作軸的平行線交拋物線于另一點，且拋物線對稱軸為，
∴
∴，
解得（不合題意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下．
由題意，，
∴，．
當時，點P在x軸的上方，
∵，
∴點E為線段的中點，
∴，，
∴，
代入整理得，，
解得（不合題意，舍去），．
當時，點P在x軸上，此時點E與點M重合，所以此種情況不存在；
當時，點P在x軸的下方，點E在射線上，
如圖，設線段的中點為R，

∴，，
∴．
∵，
∴M為的中點，
∴，，
∴，
代入整理得，，
解得（不合題意，舍去），．
綜上可知，存在或，使．
【點睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想解題是關(guān)鍵．
?考向五相似三角形問題
1．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過坐標原點，且頂點為．

(1)求拋物線的表達式；
(2)設拋物線與軸正半軸的交點為，點位于拋物線上且在軸下方，連接、，若，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)，
【思路點撥】（1）設拋物線的表達式為，將代入可得；
（2）過作軸于，過作軸于，設，求出；根據(jù)，，得，故，從而，即可解得答案．
【規(guī)范解答】（1）解：設拋物線的表達式為，
將代入得：，
解得，
；
（2）過作軸于，過作軸于，如圖：

設，
在中，令得或，
；
，，
，
，
，
，
，
，
解得或（此時與重合，舍去），
，．
【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法，三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明，用對應邊成比例列式求出的值．
2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點，點E為第一象限內(nèi)拋物線上一動點．

(1)求拋物線的解析式．
(2)直線與x軸交于點A，與y軸交于點D，過點E作直線軸，交于點F，連接．當時，求點E的橫坐標．
(3)如圖2，點N為x軸正半軸上一點，與交于點M．若，，求點E的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法，把已知點坐標代入解析式即可求解函數(shù)的解析式；
（2）分別過，向軸作垂線，垂足為，，根據(jù)證得，從而，設點坐標，分別表示出，坐標，再列方程求解即可；
（3）將平移到，連接，則；過作于，過作軸于，過作交延長線于，延長交軸于，設，則，，，由可得，從而，設由可得，，，再求出點坐標為，代入拋物線解析式中即可求得或，從而可得點坐標．
【規(guī)范解答】（1）解：把和代入到解析式中可得
，解得，
拋物線的解析式為：；
（2）直線中，令，則，所以，
直線中，令，則，所以，
分別過，向軸作垂線，垂足為，，

根據(jù)題意可得，
軸，軸，
和為直角三角形，
在和中，
，
，
，
設，
則，
，，
從而，，
則有，解得（舍去），或，
故點的橫坐標為：；
（3）將平移到，連接，則四邊形為平行四邊形，，過作于，過作軸于，過作交延長線于，延長交軸于，
，
可設，則，
∴，
則，

設，
軸，
，
，
，，，
，，，
，
，，
，
，
，，則，
，，
，
代入拋物線解析式中有：，
解得：或，
當時，，
當時，．
【點睛】本題是二次函數(shù)與相似三角形綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正切的定義等知識，解題關(guān)鍵是在坐標系中利用等線段構(gòu)造全等進行計算，構(gòu)造相似三角形解決問題．
3．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；
(2)P是拋物線上一動點（不與點A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．
①如圖，若點P在第三象限，且，求點P的坐標；
②直線交直線于點E，當點E關(guān)于直線的對稱點落在y軸上時，請直接寫出四邊形的周長．
【答案】(1)
(2)①②或
【思路點撥】（1）將A，C兩點坐標代入拋物線的解析式，從而求得a，c，進而求得結(jié)果；
（2）①設，過點作于點，求出，根據(jù)列出方程求出的值即可；
②可推出四邊形是菱形，從而得出，分別表示出和，從而列出方程，進一步求得結(jié)果．
【規(guī)范解答】（1）∵拋物線與x軸交于點，與y軸交于點，
∴把，代入得，
，
解得，，
∴拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）①設，過點作于點，如圖，

∴
∵
∴
∵軸，
∴
又
∴四邊形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴（不合題意，舍去）
∴
∴；
②設，
對于，當時，
解得，
∴
∵
由勾股定理得，
當點在第三象限時，如圖，過點作軸于點，

則四邊形是矩形，
∵點與點關(guān)于對稱，
∴
∵軸，
∴
∴
∴
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形，
∵
∴
∴
∴
∴
設直線的解析式為，
把代入得，，
解得，，
∴直線的解析式為，
∴，
∴,
又且
∴
解得，（舍去）
∴
∴四邊形的周長；
當點在第二象限時，如圖，

同理可得：
解得，（舍去）
∴
∴四邊形的周長；
綜上，四邊形的周長為或．
【點睛】本題考查了求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，作輔助線，表示出線段的數(shù)量．
4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與探究
如圖，拋物線上的點A，C坐標分別為，，拋物線與x軸負半軸交于點B，點M為y軸負半軸上一點，且，連接，．

(1)求點M的坐標及拋物線的解析式；
(2)點P是拋物線位于第一象限圖象上的動點，連接，，當時，求點P的坐標；
(3)點D是線段(包含點B，C)上的動點，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點Q，交直線于點N，若以點Q，N，C為頂點的三角形與相似，請直接寫出點Q的坐標；
(4)將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應點為點，點C的對應點為點，在拋物線平移過程中，當?shù)闹底钚r，新拋物線的頂點坐標為______，的最小值為______．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
(4)，
【思路點撥】（1）根據(jù)點M在y軸負半軸且可得點M的坐標為，利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；
（2）過點P作軸于點F，交線段AC于點E，用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為，設點P的橫坐標為，則，，故，先求得，從而得到，解出p的值，從而得出點P的坐標；
（3）由可知，要使點Q，N，C為頂點的三角形與相似，則以點Q，N，C為頂點的三角形也是直角三角形，從而分和兩種情況討論，①當，可推導B與點Q重合，，即此時符合題意，利用求拋物線與x軸交點的方法可求出點Q的坐標；②當時，可推導，即此時符合題意，再證明，從而得到，再設點的橫坐標為q，則，，從而得到，解得q的值，從而得到點Q的坐標，最后綜合①②即可；
（4）設拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，將點M右平移m個單位長度得到點，由平移的性質(zhì)可知，，的值最小就是最小值，作出點C關(guān)于直線對稱的對稱點，連接交直線于點，連接則此時取得最小值，即為的長度，利用兩點間的距離公式求這個長度，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而確定的坐標，繼而確定平移距離，將原拋物線的解析式化為頂點式，從而得到其頂點，繼而確定新拋物線的頂點．
【規(guī)范解答】（1）解：∵點M在y軸負半軸且，
∴
將，代入，得
解得
∴拋物線的解析式為
（2）解：過點P作軸于點F，交線段AC于點E，

設直線的解析式為，
將，代入，得
，解得，
∴直線AC的解析式為
設點P的橫坐標為
則，，
∴
∵，∴，解得，
∴
（3），，
補充求解過程如下：
∵在中，，以點Q，N，C為頂點的三角形與相似，
∴以點Q，N，C為頂點的三角形也是直角三角形，
又∵軸，直線交直線于點N，
∴，即點N不與點O是對應點．
故分為和兩種情況討論：
①當時，由于軸，
∴軸，即在x軸上，
又∵點Q在拋物線上，
∴此時點B與點Q重合，
作出圖形如下：

此時，
又∵
∴，即此時符合題意，
令，
解得：(舍去)
∴點Q的坐標，也即點B的坐標是．
②當時，作圖如下：

∵軸，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，即此時符合題意，
∵，
∴，即
∵，，
∴
∴，
設點的橫坐標為q，則，，
∴，
∴，
解得：(舍去)，
∴，
∴點Q的坐標是
綜上所述：點Q的坐標是，；
（4），，
補充求解過程如下：
設拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，
將點M向右平移m個單位長度得到點，作出圖形如下：

由平移的性質(zhì)可知，，
∴的值最小就是最小值，
顯然點在直線上運用，
作出點C關(guān)于直線對稱的對稱點，連接交直線于點，連接則此時取得最小值，即為的長度，

∵點C關(guān)于直線對稱的對稱的點是點，
∴，
∴，
設直線的解析式是：
將點，代入得：
解得：
直線的解析式是：
令，解得：，
∴，
∴平移的距離是
又∵，
∴平移前的拋物線的坐標是
∴新拋物線的頂點坐標為即
故答案是：，．
【點睛】本題考查求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何變換綜合，二次函數(shù)與相似三角形綜合，最短路徑問題，三角形面積公式等知識，難度較大，綜合性大，作出輔助線和掌握轉(zhuǎn)換思想是解題的關(guān)鍵，第二問的解題技巧是使用鉛錘公式計算面積，第三問的技巧是轉(zhuǎn)化成直角三角形的討論問題，如果直接按相似討論，則有四種情況，可以降低分類討論的種類，第四問的技巧，是將點M向反方向移動，從而將兩個動點轉(zhuǎn)化成一個動點來解決．
5．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）拋物線交軸于兩點（在的左邊），交軸于點．

(1)直接寫出三點的坐標；
(2)如圖（1），作直線，分別交軸，線段，拋物線于三點，連接．若與相似，求的值；
(3)如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點．直線與拋物線交于兩點，過的中點作直線（異于直線）交拋物線于兩點，直線與直線交于點．問點是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)的值為2或
(3)點在定直線上
【思路點撥】（1）令，解一元二次方程求出值可得、兩點的坐標，令求出值可得點坐標，即可得答案；
（2）分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)分別列方程求出值即可得答案；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得解析式，聯(lián)立直線與解析式可得點坐標，即可得出中點的坐標，設，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，同理得出直線的解析式為，聯(lián)立兩直線解析式可得，設點在直線上，把點代入，整理比較系數(shù)即可得出、的值即可得答案，也可根據(jù)點的縱坐標變形得出橫坐標與縱坐標的關(guān)系，得出答案．
【規(guī)范解答】（1）∵拋物線解析式為，
∴當時，，當時，，
解得：，，
∴，，．
（2）解：是直線與拋物線的交點，
，
①如圖，若時，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如圖，若時．過作軸于點．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．

綜上，符合題意的的值為2或．
（3）解：∵將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點，
∴，
∵直線的解析式為，
∴聯(lián)立直線與解析式得：，
解得：（舍去），，
∴，
∵是的中點，
∴，
∴，
設，直線的解析式為，
則，
解得，，
∴直線的解析式為，
∵直線經(jīng)過點，
∴
同理，直線的解析式為；直線的解析式為．
聯(lián)立，得，
解得：．
∵直線與相交于點，
．
設點在直線上，則，①
整理得，，
比較系數(shù)得：，
解得：，
∴當時，無論為何值時，等式①恒成立．
∴點在定直線上．
【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合、二次函數(shù)圖象的平移及相似三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
6．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線過點，和，連接，點為拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，交軸于點．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；
(2)如圖2，連接，當為等腰三角形時，求的值；
(3)當點在運動過程中，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似（其中點與點相對應），若存在，直接寫出點和點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線：；直線：
(2)或或
(3)，或，或，
【思路點撥】（1）由題得拋物線的解析式為，將點代入求，進而得拋物線的解析式；設直線的解析式為，將點，的坐標代入求，，進而得直線的解析式．
（2）由題得，分別求出，，，對等腰中相等的邊進行分類討論，進而列方程求解；
（3）對點在點左側(cè)或右側(cè)進行分類討論，設法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解，進而可得，的坐標．
【規(guī)范解答】（1）解：拋物線過點，，
拋物線的表達式為，
將點代入上式，得，
．
拋物線的表達式為，即．
設直線的表達式為，
將點，代入上式，
得，
解得．
直線的表達式為．
（2）解：點在直線上，且，
點的坐標為．
，，．
當為等腰三角形時，
①若，則，
即，
解得．
②若，則，
即，
解得或（舍去）．
③若，則，
即，
解得（舍去）或．
綜上，或或．
（3）解：點與點相對應，
或．
①若點在點左側(cè)，
則，，．
當，即時，
直線的表達式為，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
當，即時，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若點在點右側(cè)，
則，．
當，即時，
直線的表達式為，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
當，即時，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
綜上，，或，或，．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合應用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標系中兩點距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）【建立模型】(1)如圖，點是線段上的一點，，，，垂足分別為，，，．求證：；
【類比遷移】(2)如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點、與軸交于點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到、直線交軸于點．
①求點的坐標；
②求直線的解析式；
【拓展延伸】(3)如圖，拋物線與軸交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸交于點，已知點，，連接．拋物線上是否存在點，使得，若存在，求出點的橫坐標．

【答案】（1）見解析；（2）①；②直線的解析式為；（3）或
【思路點撥】[建立模型]（1）根據(jù)題意得出，，證明，即可得證；
[類比遷移] （2）①過點作軸于點，同（1）的方法，證明，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與軸交于點、與軸交于點，求得，，進而可得點的坐標；
②由，設直線的解析式為，將點代入得直線的解析式為；
[拓展延伸]（3）根據(jù)解析式求得，；①當點在軸下方時，如圖所示，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作，于點，證明，根據(jù)得出，設，則，求得點，進而求得直線的解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可求解；②當點在軸的上方時，如圖所示，過點作，于點，過點作軸，交軸于點，過點作于點，同①的方法即可求解．
【規(guī)范解答】[建立模型]（1）證明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
[類比遷移]（2）如圖所示，過點作軸于點，

∵將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點、與軸交于點，
當時，，即，
當時，，即，
∴，
∴，
∴；
②∵，設直線的解析式為，
將代入得：
解得：
∴直線的解析式為，
（3）∵拋物線與軸交于，兩點點在點的左側(cè)，
當時，，
解得：，
∴，；
①當點在軸下方時，如圖所示，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作，于點，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
設，則，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
設直線的解析式為，
代入，得：，
解得：，
∴直線解析式為，
聯(lián)立，
解得：（舍去），；
②當點在軸的上方時，如圖所示，過點作于點，過點作軸，交軸于點，過點作于點，

同理可得，
∴，
設，則，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
設直線的解析式為，
代入，得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：（舍去），，
綜上所述，的橫坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與坐標軸分別相交于點A，B，三點，其對稱軸為．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線分別與軸，直線交于點，．
①當時，求的長；
②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)①；②
【思路點撥】（1）根據(jù)拋物線對稱軸為，可得，求得，再將代入拋物線，根據(jù)待定系數(shù)法求得，即可解答；
（2）①求出點，點的坐標，即可得到直線的解析式為，設，則，求得的解析式，列方程求出點的坐標，最后根據(jù)列方程，即可求出的長；
②過分別作的垂線段，交于點，過點D作的垂線段，交于點I，根據(jù)，可得，即，證明，設，得到直線的解析式，求出點D的坐標，即可得到點的坐標，將點E的坐標代入解方程，即可解答．
【規(guī)范解答】（1）解：根據(jù)拋物線的對稱軸為，
得，
解得，
將代入拋物線可得，
拋物線的解析式為；
（2）解：當時，得，
解得，，
，，
設的解析式為，將，代入，
得，
解得，
的解析式為，
設，則，
設的解析式為，將，代入，
得，
解得，
的解析式為，
聯(lián)立方程，
解得，
根據(jù)，得，
解得，，
經(jīng)檢驗，，是方程的解，
點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，
在軸正半軸，
，
即的長為；
②解：如圖，過分別作的垂線段，交于點，過點D作的垂線段，交于點I，

，
，
，
設，則，
，
，
，
，
，
，
，即點D的橫坐標為，
，
設的解析式為，將，，
代入得，
解得，
的解析式為，
，即，
，
四邊形是矩形，
，
，即，
將代入，
得，
解得，（舍去），
．
【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)，二次函數(shù)與一元二次方程，兩點之間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）
重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）
?考向一線段周長問題
?考向二面積問題
?考向三特殊三角形問題
?考向四特殊四邊形問題
?考向五相似三角形問題

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