函數(shù)過程性學(xué)習(xí)是一種以學(xué)生為中心設(shè)計(jì)執(zhí)行函數(shù)過程性學(xué)習(xí)方法．函數(shù)過程性學(xué)習(xí)要求學(xué)生從真實(shí)世界的基本問題出發(fā)，圍繞復(fù)雜的、來自真實(shí)情境的主題，在精心設(shè)計(jì)任務(wù)、活動的基礎(chǔ)上，以小組方式進(jìn)行開放性探究，并將學(xué)習(xí)結(jié)果以作品的形式表現(xiàn)出來，最終達(dá)到知識建構(gòu)與自身能力提高．這個(gè)也是落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)中的活動建議，函數(shù)過程性學(xué)習(xí)更能有效提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，此類題可以是純函數(shù)性質(zhì)探究，也可以結(jié)合幾何動點(diǎn)探究函數(shù)性質(zhì)，屬于創(chuàng)新題．
一．選擇題
1．（2023?青海）生物興趣小組探究酒精對某種魚類的心率是否有影響，實(shí)驗(yàn)得出心率與酒精濃度的關(guān)系如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．酒精濃度越大，心率越高
B．酒精對這種魚類的心率沒有影響
C．當(dāng)酒精濃度是10%時(shí)，心率是168次/分
D．心率與酒精濃度是反比例函數(shù)關(guān)系
2．（2021?蘭州）如圖，小明探究課本“綜合與實(shí)踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測試距離為5m時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的“”字高度為72.7mm，當(dāng)測試距離為3m時(shí)，最大的“”字高度為（ ）
A．121.17mmB．43.62mmC．29.08mmD．4.36mm
3．（2023?晉城模擬）觀察式子：，＝2×3＝6；＝，；，，由此猜想＝（a≥0，b≥0）．上述探究過程蘊(yùn)含的思想方法是（ ）
A．特殊與一般B．整體
C．轉(zhuǎn)化D．分類討論
4．（2023?遷安市二模）如圖1和圖2是在數(shù)學(xué)課上甲組和乙組在探究用不同方法：過直線外一點(diǎn)P作直線l的平行線，用尺規(guī)作圖保留痕跡，關(guān)于兩組的作法下列說法正確的是（ ）
A．甲組作法正確，乙組作法不正確
B．甲組作法不正確，乙組作法正確
C．甲組和乙組作法都不正確
D．甲組和乙組作法都正確
5．（2022?百色）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個(gè)直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（ ）
A．2B．2﹣3C．2或D．2或2﹣3
6．（2023?山西模擬）數(shù)學(xué)中，常對同一個(gè)量（圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系．我們把這種思想叫“算兩次”“算兩次“也稱作富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．由它可以推導(dǎo)出很多重要的公式．如圖，兩個(gè)直角邊分別為a，b的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個(gè)梯形，用“算兩次”的方法，探究a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系，可以驗(yàn)證的是（ ）
A．勾股定理B．平方差公式
C．完全平方公式D．比例的性質(zhì)
7．（2023?金昌）如圖1，漢代初期的《淮南萬畢術(shù)》是中國古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻(xiàn)，書中記載了我國古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運(yùn)用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽光線AB與地面CD所成夾角∠ABC＝50°時(shí)，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡EF與地面的夾角∠EBC＝（ ）
A．60°B．70°C．80°D．85°
8．（2022?無錫）雪花、風(fēng)車……展示著中心對稱的美，利用中心對稱，可以探索并證明圖形的性質(zhì)．請思考在下列圖形中，是中心對稱圖形但不一定是軸對稱圖形的為（ ）
A．扇形B．平行四邊形
C．等邊三角形D．矩形
9．（2023?德陽）在“點(diǎn)燃我的夢想，數(shù)學(xué)皆有可能”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動；對依次排列的兩個(gè)整式m，n按如下規(guī)律進(jìn)行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動命名為“回頭差”游戲．
則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式串各項(xiàng)之和是（ ）
A．m+nB．mC．n﹣mD．2n
10．（2023?東湖區(qū)校級二模）數(shù)學(xué)小組將兩塊全等的含30°角的三角尺按較長的直角邊重合的方式擺放，并通過平移對特殊四邊形進(jìn)行探究．如圖1，其中∠ADB＝∠CBD＝30°，∠ABD＝∠BDC＝90°，AB＝CD＝3，將Rt△BCD沿射線DB方向平移，得到Rt△B'C'D′．分別連接AB'，DC′（如圖2所示），下列有關(guān)四邊形AB′C'D的說法正確的是（ ）
A．先是平行四邊形，平移個(gè)單位長度后是菱形
B．先是平行四邊形，平移個(gè)單位長度后是矩形，再平移2個(gè)單位長度后是菱形
C．先是平行四邊形，平移個(gè)單位長度后是矩形，再平移3個(gè)單位長度后是正方形
D．在Rt△BCD平移的過程中，依次出現(xiàn)平行四邊形、矩形、菱形、正方形
二．填空題
11．（2023?福山區(qū)一模）3月28日電28日，我國首單以人民幣結(jié)算的進(jìn)口液化天然氣（LNG）采購交易達(dá)成，標(biāo)志著我國在油氣貿(mào)易領(lǐng)域的跨境人民幣結(jié)算交易探索邁出實(shí)質(zhì)性一步，數(shù)據(jù)顯示，2022年上海石油天然氣交易中心天然氣雙邊交易量達(dá)到928.58億立方米．928.58億用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
12．（2023?杭州）在“探索一次函數(shù)y＝kx+b的系數(shù)k，b與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同學(xué)們畫出了經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)中每兩個(gè)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象，并得到對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分別計(jì)算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 ．
13．（2023?杏花嶺區(qū)校級模擬）我省積極探索保障糧食安全，做強(qiáng)精品糧油，始終堅(jiān)持“藏糧于地、藏糧于技”戰(zhàn)略，穩(wěn)定糧食面積，提升基礎(chǔ)保障能力，增強(qiáng)科技支撐能力，牢牢把飯碗端在自己手中，某農(nóng)科所在相同條件下做某種作物種子發(fā)芽率的試驗(yàn)，結(jié)果如表所示：
則該作物種子發(fā)芽的概率約為 ．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
14．（2023?榆樹市校級模擬）在“探索函數(shù)y＝ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系“活動中，師給出了直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同學(xué)們探索了經(jīng)過這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)運(yùn)些圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中a的最大值為 ．
15．（2020?安徽）在數(shù)學(xué)探究活動中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形紙片ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得點(diǎn)B落在CD上的點(diǎn)Q處．折痕為AP；再將△PCQ，△ADQ分別沿PQ，AQ折疊，此時(shí)點(diǎn)C，D落在AP上的同一點(diǎn)R處．請完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小為 °；
（2）當(dāng)四邊形APCD是平行四邊形時(shí)，的值為 ．
16．（2023?臨淄區(qū)一模）華羅庚說過：“復(fù)雜的問題要善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅．”可見，復(fù)雜的問題有時(shí)要“退”到本質(zhì)上去研究．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x﹣1的圖象與f的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，我們把探索線的變化規(guī)律“退”到探索點(diǎn)的變化規(guī)律上去研究，可以得到圖象f所對應(yīng)的關(guān)于x與y的關(guān)系式為x＝﹣y2+2y﹣1．若拋物線y＝﹣x2+2x﹣1與g的圖象關(guān)于y＝﹣x對稱，則圖象g所對應(yīng)的關(guān)于x與y的關(guān)系式為 ．
17．（2022?鋼城區(qū)）利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個(gè)正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a＝4，b＝2，則矩形ABCD的面積是 ．
18．（2023?十堰）在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別AB，AC，BC的中點(diǎn)，G，H分別為DE，BF的中點(diǎn)），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為 ，最大值為 ．
19．（2021?大慶）已知，如圖①，若AD是△ABC中∠BAC的內(nèi)角平分線，通過證明可得＝，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：
如圖②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的內(nèi)角平分線，則△ABC的BC邊上的中線長l的取值范圍是 ．
三．解答題
20．（2023?廣西）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．
【動手操作】如圖1，將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF：折疊紙片，使點(diǎn)B落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A，得到折痕AM，點(diǎn)B，E的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′，E′展平紙片，連接AB′，BB′，BE′．請完成：
（1）觀察圖1中∠1，∠2和∠3，試猜想這三個(gè)角的大小關(guān)系；
（2）證明（1）中的猜想；
【類比操作】如圖2，N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，連接BN，在AB上取一點(diǎn)P，折疊紙片，使B，P兩點(diǎn)重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點(diǎn)B，P分別落在EF，BN上，得到折痕l，點(diǎn)B，P的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′，P′，展平紙片，連接BB′，P′B′．請完成：
（3）證明BB′是∠NBC的一條三等分線．
21．（2023?綿陽）如圖，拋物線經(jīng)過△AOD的三個(gè)頂點(diǎn)，其中O為原點(diǎn)，A（2，4），D（6，0），點(diǎn)F在線段AD上運(yùn)動，點(diǎn)G在直線AD上方的拋物線上，GF∥AO，GE⊥DO于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)I，AH平分∠OAD，C（﹣2，﹣4），AH⊥CH于點(diǎn)H，連接FH．
（1）求拋物線的解析式及△AOD的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動至拋物線的對稱軸上時(shí)，求△AFH的面積；
（3）試探究的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請說明理由．
22．（2023?甘孜州）如圖，在Rt△ABC中，，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD，將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接BE，DE．
（1）求證：△CAD≌△CBE；
（2）若AD＝2時(shí)，求CE的長；
（3）點(diǎn)D在AB上運(yùn)動時(shí)，試探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，請說明理由．
23．（2023?淄博）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動．
（1）操作判斷
小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為 ．
（2）深入探究
小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB＝2，AD＝4．
探究一：當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AD的延長線上時(shí)，設(shè)CG與DF相交于點(diǎn)M，如圖②．求△CMF的面積．
探究二：連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，如圖③．求線段DH長度的最大值和最小值．
24．（2023?青海）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C（1，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P，對稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，求四邊形AOBP的面積（請?jiān)趫D1中探索）；
（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△AMB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（請?jiān)趫D2中探索）．
25．（2023?鹽城）綜合與實(shí)踐
【問題情境】
如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對角線BD折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)B落在對角線BD上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)記為B′，折痕與邊AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
【活動猜想】
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B′與點(diǎn)D重合時(shí)，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答： ．
【問題解決】
（2）如圖3，當(dāng)AB＝4，AD＝8，BF＝3時(shí)，求證：點(diǎn)A′，B′，C在同一條直線上．
【深入探究】
（3）如圖4，當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有A′B′與對角線AC平行？請說明理由．
（4）在（3）的情形下，設(shè)AC與BD，EF分別交于點(diǎn)O，P，試探究三條線段AP，B′D，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．
26．（2023?呼和浩特）探究函數(shù)y＝﹣2|x|2+4|x|的圖象和性質(zhì)，探究過程如下：
（1）自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：
其中，m＝ .根據(jù)如表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，通過描點(diǎn)畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（2）點(diǎn)F是函數(shù)y＝﹣2|x|2+4|x|圖象上的一動點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（﹣2，0），當(dāng)S△FAB＝3時(shí)，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）在圖2中，當(dāng)x在一切實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，拋物線y＝﹣2x2+4x交x軸于O，A兩點(diǎn)（點(diǎn)O在點(diǎn)A的左邊），點(diǎn)P是點(diǎn)Q（1，0）關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對稱點(diǎn)，不平行y軸的直線l分別交線段OP，AP（不含端點(diǎn)）于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，PM與PN的和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．
27．（2023?樂山）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活動．
【問題情境】
劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內(nèi)容：
如圖1，將一個(gè)三角形紙板△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ到達(dá)的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：
AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；
∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）
劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué)．
【問題解決】
（1）上述問題情境中“（_____）”處應(yīng)填理由： ；
（2）如圖2，小王將一個(gè)半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板A′B′C′的位置．
①請?jiān)趫D中作出點(diǎn)O；
②如果BB′＝6cm，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長為 ；
【問題拓展】
小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時(shí)靜止．此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖3所示，請你幫助小李解決這個(gè)問題．
28．（2023?淮安）綜合與實(shí)踐
定義：將寬與長的比值為（n為正整數(shù)）的矩形稱為n階奇妙矩形．
（1）概念理解：
當(dāng)n＝1時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（AD）與長（CD）的比值是 ．
（2）操作驗(yàn)證：
用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：
第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；
第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，展開，折痕為CG；
第三步：過點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK．
試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．
（3）方法遷移：
用正方形紙片ABCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標(biāo)注．
（4）探究發(fā)現(xiàn)：
小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)n階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值．請寫出這個(gè)定值，并說明理由．
29．（2023?常州）如圖1，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫出矩形ABCD和矩形EFGH，點(diǎn)E、F在邊AB上（EF＜AB），且點(diǎn)C、D、G、H在直線AB的同側(cè)；第二步，設(shè)＝m，＝n，矩形EFGH能在邊AB上左右滑動；第三步，畫出邊EF的中點(diǎn)O，射線OH與射線AD相交于點(diǎn)P（點(diǎn)P、D不重合），射線OG與射線BC相交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q、C不重合），觀測DP、CQ的長度．
（1）如圖2，小麗取AB＝4，EF＝3，m＝1，n＝3，滑動矩形EFGH，當(dāng)點(diǎn)E、A重合時(shí)，CQ＝ ；
（2）小麗滑動矩形EFGH，使得O恰為邊AB的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對于任意的m≠n，DP＝CQ總成立．請說明理由；
（3）經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定m、n的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動矩形EFGH，DP＝CQ總成立．小麗的猜想是否正確？請說明理由．
種子個(gè)數(shù)n
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
發(fā)芽種子個(gè)數(shù)m
899
1365
2245
3644
7272
13680
18160
27300
發(fā)芽種子頻率
0.899
0.910
0.898
0.911
0.909
0.912
0.908
0.910
x
…
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
…
y
…
﹣
0
m
0
2
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