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“閱讀與思考”是近年中考出現(xiàn)的新題型，設(shè)題背景常結(jié)合數(shù)學文化考查，這類題改變傳統(tǒng)的“由條件求結(jié)果”模式，集閱讀、理解、思考、應(yīng)用于一體.通常是以一個新概念、新公式的形式、推導(dǎo)與應(yīng)用的形式出現(xiàn)，或提供材料，給出一定的操作程序、數(shù)學思想方法，然后運用從中學到的知識解決有關(guān)問題，考查學生的閱讀思考能力和解決問題的能力.數(shù)學閱讀因其語言的高度抽象，以及文字語言、符號語言和圖形語言并存，有別于其他學科的閱讀，要掌握數(shù)學閱讀的方法，養(yǎng)成良好的數(shù)學閱讀習慣，提高閱讀素養(yǎng).
?考向一 與代數(shù)有關(guān)問題
1．（2023?寧夏）解不等式組 ．
下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務(wù)：
解：由①得：
4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步
4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步
﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2
﹣7x＞﹣7…第3步
中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）
重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）
?考向一 與代數(shù)有關(guān)問題
?考向二 與三角形有關(guān)問題
?考向三 與四邊形有關(guān)問題
?考向四 與圓有關(guān)問題
x＞1…第4步
任務(wù)一：該同學的解答過程第 步出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是 ；
不等式①的正確解集是 ；
任務(wù)二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．
2．（2023?通遼）閱讀材料：
材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
則 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，完成下列問題：
（1）應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的兩個實數(shù)根為m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知實數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
3．（2022?黃石）閱讀材料，解答問題：
材料1
為了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我們把x2看作一個整體，然后設(shè)y＝x2，則原方程可化為y2﹣13y+36＝0，經(jīng)過運算，原方程的解為x1，2＝±2，x3，4＝±3．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．
材料2
已知實數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，顯然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根據(jù)上述材料，解決以下問題：
（1）直接應(yīng)用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解為 x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣ ；
（2）間接應(yīng)用：
已知實數(shù)a，b滿足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展應(yīng)用：
已知實數(shù)m，n滿足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
4．（2022?寧夏）下面是某分式化簡過程，請認真閱讀并完成任務(wù)．
（﹣）÷
＝（﹣）?…第一步
＝…第二步
＝…第三步
＝﹣…第四步
任務(wù)一：填空
①以上化簡步驟中，第 步是通分，通分的依據(jù)是 ．
②第 步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是 ．
任務(wù)二：直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果．
5．（2022?安順）閱讀材料：被譽為“世界雜交水稻之父”的“共和國勛章”獲得者袁隆平，成功研發(fā)出雜交水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的畝產(chǎn)量的2倍．現(xiàn)有兩塊試驗田，A塊種植雜交水稻，B塊種植普通水稻，A塊試驗田比B塊試驗田少4畝．
（1）A塊試驗田收獲水稻9600千克、B塊試驗田收獲水稻7200千克，求普通水稻和雜交水稻的畝產(chǎn)量各是多少千克？
（2）為了增加產(chǎn)量，明年計劃將種植普通水稻的B塊試驗田的一部分改種雜交水稻，使總產(chǎn)量不低于17700千克，那么至少把多少畝B塊試驗田改種雜交水稻？
6．（2022?涼山州）閱讀材料：
材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，完成下列問題：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個根為x1，x2，則x1+x2＝ ．x1x2＝ ﹣ ．
（2）類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩根分別為m、n，求的值．
（3）思維拓展：已知實數(shù)s、t滿足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
7．（2023?泰州）閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
小麗學習了方程、不等式，函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式x2﹣x﹣6＜0的解集？
通過思考，小麗得到以下3種方法：
方法1 方程x2﹣x﹣6＝0的兩根為x1＝﹣2，x2＝3，可得函數(shù)y＝x2﹣x﹣6的圖象與x軸的兩個交點橫坐標為﹣2、3，畫出函數(shù)圖象，觀察該圖象在x軸下方的點，其橫坐標的范圍是不等式x2﹣x﹣6＜0的解集．
方法2 不等式x2﹣x﹣6＜0可變形為x2＜x+6，問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y＝x2與y＝x+6的圖象關(guān)
任務(wù)：
（1）不等式x2﹣x﹣6＜0 的解集為 ；
（2）3種方法都運用了 的數(shù)學思想方法（從下面選項中選1個序號即可）；
A．分類討論
B．轉(zhuǎn)化思想
C．特殊到一般
D．數(shù)形結(jié)合
（3）請你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖象的簡圖，并結(jié)合圖象作出解答．
8．（2023?鄂州）某數(shù)學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點P到定點F（0，）的距離PF，始終等于它到定直線l：y＝﹣的距離PN（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，y＝﹣叫做拋物線的準線方程．準線l與y軸的交點為H．其中原點O為FH的中點，F(xiàn)H＝2OF＝．例如，拋物線y＝2x2，其焦點坐標為F（0，），準線方程為l：y＝﹣，其中PF＝PN，F(xiàn)H＝2OF＝
系．畫出函數(shù)圖象，觀察發(fā)現(xiàn)；兩圖象的交點橫坐標也是﹣2、3；y＝x2的圖象在y＝x+6的圖象下方的點，其橫坐標的范圍是該不等式的解集．
方法3 當x＝0時，不等式一定成立；當x＞0時，不等式變?yōu)閤﹣1＜；當x＜0時，不等式變?yōu)閤﹣1＞．問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y＝x﹣1與y＝的圖象關(guān)系…
．
【基礎(chǔ)訓練】
（1）請分別直接寫出拋物線y＝x2的焦點坐標和準線l的方程： ， ；
【技能訓練】
（2）如圖2，已知拋物線y＝x2上一點P（x0，y0）（x0＞0）到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，求點P的坐標；
【能力提升】
（3）如圖3，已知拋物線y＝x2的焦點為F，準線方程為l．直線m：y＝x﹣3交y軸于點C，拋物線上動點P到x軸的距離為d1，到直線m的距離為d2，請直接寫出d1+d2的最小值；
【拓展延伸】
該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）內(nèi)有一定點F（h，k+），直線l過點M（h，k﹣）且與x軸平行．當動點P在該拋物線上運動時，點P到直線l的距離PP1始終等于點P到點F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線y＝2（x﹣1）2+3上的動點P到點F（1，）的距離等于點P到直線l：y＝的距離．
請閱讀上面的材料，探究下題：
（4）如圖4，點D（﹣1，）是第二象限內(nèi)一定點，點P是拋物線y＝x2﹣1上一動點．當PO+PD取最小值時，請求出△POD的面積．
9．（2022?永州）已知關(guān)于x的函數(shù)y＝ax2+bx+c．
（1）若a＝1，函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，﹣4）和點（2，1），求該函數(shù)的表達式和最小值；
（2）若a＝1，b＝﹣2，c＝m+1時，函數(shù)的圖象與x軸有交點，求m的取值范圍．
（3）閱讀下面材料：
設(shè)a＞0，函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點A，B，若A，B兩點均在原點左側(cè)，探究系數(shù)a，b，c應(yīng)滿足的條件，根據(jù)函數(shù)圖象，思考以下三個方面：
①因為函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；
②因為A，B兩點在原點左側(cè)，所以x＝0對應(yīng)圖象上的點在x軸上方，即c＞0；
③上述兩個條件還不能確保A，B兩點均在原點左側(cè)，我們可以通過拋物線的對稱軸位置來進一步限制拋物線的位置：即需﹣＜0．
綜上所述，系數(shù)a，b，c應(yīng)滿足的條件可歸納為：
請根據(jù)上面閱讀材料，類比解決下面問題：
若函數(shù)y＝ax2﹣2x+3的圖象在直線x＝1的右側(cè)與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．
10．（2022?株洲）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，b＝3，且該二次函數(shù)的圖象過點（1，1），求c的值；
（2）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，該二次函數(shù)的圖象與x軸相交于不同的兩點A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且該二次函數(shù)的圖象的頂點在矩形ABFE的邊EF上，其對稱軸與x軸、BE分別交于點M、N，BE與y軸相交于點P，且滿足tan∠ABE＝．
①求關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判別式的值；
②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．
閱讀材料：十六世紀的法國數(shù)學家弗朗索瓦?韋達發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，可表述為
“當判別式Δ≥0時，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根x1、x2有如下關(guān)系：x1+x2＝，x1x2＝”．此關(guān)系通常被稱為“韋達定理”．
?考向二 與三角形有關(guān)問題
11．（2022?吉林）下面是王倩同學的作業(yè)及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整．
【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，△ABC與△DBC的面積相等嗎？為什么？
解：相等．理由如下：
設(shè)l1與l2之間的距離為h，
則S△ABC＝BC?h，S△DBC＝BC?h．
∴S△ABC＝S△DBC．
【探究】（1）如圖②，當點D在l1，l2之間時，設(shè)點A，D到直線l2的距離分別為h，h′，則＝
．
證明：∵S△ABC＝ BC?h ．
（2）如圖③，當點D在l1，l2之間時，連接AD并延長交l2于點M，則＝．
證明：過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM＝∠DFM＝90°．
∴AE∥ ．
∴△AEM∽ ．
∴＝．
由【探究】（1）可知＝ ，
∴＝．
（3）如圖④，當點D在l2下方時，連接AD交l2于點E．若點A，E，D所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，則的值為 ．
12．（2023?孝義市三模）閱讀與思考：下面是小宇同學寫的一篇數(shù)學小論文，請你認真閱讀并完成相應(yīng)學習任務(wù)：
怎樣作直角三角形的內(nèi)接正方形
如果一個正方形的四個頂點都在直角三角形的三條邊上，我們把這樣的正方形叫做該直角三角形的內(nèi)接正方形．那么，怎樣作出一個直角三角形的內(nèi)接正方形呢？我們可以用如下方法：
如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作
（依據(jù)1）容易證明四邊形DFCE是正方形．
用上面方法所作出的正方形，有一個頂點恰好是直角三角形的直角頂點．
如圖2，如果Rt△ABC的內(nèi)接正方形的一邊恰好在斜邊AB上，我就可用如下方法，
第一步：過直角頂點C作CD⊥AB，垂足為D；
第二步，延長AB到M，使得BM＝AD，連接CM；
第三步：作∠BDC的平分線，交MC于點E；
第四步：過點E分別作DC，DB的垂線，垂足分別為P，K，EP交BC于點F，EP的延長線交AC交于G；
第五步：分別過點F，G作AB的垂線，垂足分別為N，H．
則四邊形NFGH就是Rt△ABC的內(nèi)接正方形，并且NH恰好在該直角三角形的斜邊上．
理由如下：易證四邊形EPDK是正方形，EG∥AM．
（依據(jù)2）
∴；．
學習任務(wù)：
（1）材料中畫橫線部分的依據(jù)分別是：
依據(jù)1： ；依據(jù)2： ．
（2）請完成圖2說理過程的剩余部分．
（3）分析圖2的作圖過程，不難看出是將圖2轉(zhuǎn)化成圖1去完成的，即先作圖形EPDK，再將正方形EPDK轉(zhuǎn)化為正方形NFGH，轉(zhuǎn)化的過程可以看作是一種圖形變換，這種圖形變換是 B （填出字母代號即可）．
A．旋轉(zhuǎn)B．平移C．軸對稱
?考向三 與四邊形有關(guān)問題
13．（2023?徐州）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．
【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB＝a，BC＝b，則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．
【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB＝a，BC＝b，AC＝c．
求證：．
【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，點P在邊AD上，則PB2+PC2的最小值為 ．
14．（2023?涼山州）閱讀理解題：閱讀材料：
如圖1，四邊形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，記∠BAE為α、∠FAD為β，若tanα＝，則tanβ＝．
證明：設(shè)BE＝k，
∵tanα＝，
∴AB＝2k，
易證△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tanβ＝＝＝，
若α+β＝45°時，當tanα＝，則tanβ＝．
同理：若α+β＝45°時，當tanα＝，則tanβ＝．
根據(jù)上述材料，完成下列問題：
如圖2，直線y＝3x﹣9與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A，與x軸交于點B．將直線AB繞點
A順時針旋轉(zhuǎn)45°后的直線與y軸交于點E，過點A作AM⊥x軸于點M，過點A作AN⊥y軸于點N，已知OA＝5．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直線AE的解析式．
15．（2022?南通）【閱讀材料】
老師的問題：
已知：如圖，AE∥BF．
求作：菱形ABCD，使點C，D分別在BF，AE上．
小明的作法：
（1）以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AE于點D；
（2）以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交BF于點C；
（3）連接CD．
四邊形ABCD就是所求作的菱形．
【解答問題】
請根據(jù)材料中的信息，證明四邊形ABCD是菱形．
16．（2022?黔東南州）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：
如圖1，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點A在DE上．
求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．
【探究發(fā)現(xiàn)】（1）小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC＝AE，∠ADC＝120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．
請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
【拓展遷移】（2）如圖2，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點A在EG上．
①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若AE2+AG2＝10，試求出正方形ABCD的面積．
16．（2023?通榆縣模擬）下面是小明同學的作業(yè)及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整．
【作業(yè)】
如圖①，已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF＝45°，求證：EF＝AE+CF．
證明：如圖，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，則DE＝DM，∠A＝∠DCM，∠ADE＝∠MDC．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，
∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．
∵∠EDF＝45°，
∴∠MDF＝∠EDF＝45°，
又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，
∴點B，F(xiàn)，C，M在一條直線上．
∵DF＝DF，
∴△EDF≌ ，
∴EF＝MF＝CM+CF＝ +CF．
【探究】
（1）在圖①中，若正方形ABCD的邊長為3，AE＝1，其他條件不變，求EF的長．
解：∵正方形ABCD的邊長為3，AE＝1，
∴BE＝2，CM＝1．
設(shè)EF＝x，則FM＝EF＝x，F(xiàn)C＝FM﹣CM＝x﹣1，
∴BF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．
在Rt△BEF中，由22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝ ，即EF＝ ；
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝6，BC＝4，E是AB邊上的點，且∠CDE＝45°，則CE＝ ．
（3）如圖③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD為BC邊上的高．若BD＝2，CD＝3，則AD的長為 ．
17．（2023?芝罘區(qū)一模）閱讀下列材料：
如圖1，點A、D、E在直線l上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC，
則：∠CAE+∠BAC+∠BAD＝180°，
又∠ABD+∠BDA+∠BAD＝180°，
故∠CAE＝∠ABD．
像這樣一條直線上有三個等角頂點的圖形我們把它稱為“一線三等角”圖形．
請根據(jù)以上閱讀解決下列問題：
（1）如圖2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．求證：△BEC≌△CDA．
（2）如圖3，在△ABC中，點D在BC上，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求點C到AB邊的距離．
（3）如圖4，在平行四邊形ABCD中，E為邊BC上一點，F(xiàn)為邊AB上一點．若∠DEF＝∠B，AB＝
10，BE＝4，EF＝6，求DE的長．
?考向四 與圓有關(guān)問題
18．（2022?金華）如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：
作法 如圖2．
1．作直徑AF．
2．以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點M，N．
3．連接AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度數(shù)．
（2）△AMN是正三角形嗎？請說明理由．
（3）從點A開始，以DN長為邊長，在⊙O上依次截取點，再依次連接這些分點，得到正n邊形，求n的值．
19．（2023?鹽都區(qū)三模）【閱讀理解】
在平面直角坐標系xOy中，把點P沿縱軸或橫軸方向到達點Q的最短路徑長記為d（P，Q）．
例如：如圖1，點A（1，1），點B（3，4），則d（A，B）＝5．
（1）①已知點C（﹣1，4）和點D（3，2），則d（C，D）＝ ．
②點E是平面直角坐標系xOy中的一點，且d（0，E）＝2，則所有滿足條件的點E組成的圖形是 ．
A．一條線段
B．一個等邊三角形
C．一個正方形
D．一個圓
【新知運用】
（2）已知點P（1，0），點Q在線段MN上．
①如圖2，已知點M（3，2）和點N（0，2），則d（P，Q）的最大值是 ；
②如圖3，已知點M（3，2）和點N（0，4），求d（P，Q）的最小值．
（3）如圖4，已知點P（1，0），點G（3，3），以點G為圓心，5為半徑作⊙G，點Q在⊙G上，則d（P，Q）的取值范圍是 ．
【尺規(guī)作圖】
（4）如圖5，請用無刻度直尺和圓規(guī)在直線l上找一點K，使得d（K，E）＝d（K，F(xiàn)）．
20．（2023?西陵區(qū)模擬）閱讀以下材料，完成課題研究任務(wù)：
【研究課題】設(shè)計公園噴水池
【素材1】某公園計劃修建一個圖1所示的噴水池，水池中心O處立著一個高為2m的實心石柱OA，水池周圍安裝一圈噴頭，使得水流在各個方向上都沿形狀相同的拋物線噴出，并在石柱頂點A處匯合．為使水流形狀更漂亮，要求水流在距離石柱0.5m處能達到最大高度，且離池面的高度為2.25m．
【素材2】距離池面1.25米的位置，圍繞石柱還修了一個小水池，要求小水池不能影響水流．
【任務(wù)解決】
（1）小張同學設(shè)計的水池半徑為2m，請你結(jié)合已學知識，判斷他設(shè)計的水池是否符合要求．
（2）為了不影響水流，小水池的半徑不能超過多少米？
21．（2023?靈寶市二模）閱讀與思考
請閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．
彌勒是德國著名數(shù)學家，他在1471年提出了著名的彌勒定理：
如圖1，已知A，B是∠MON的邊ON上的定點，當且僅當△ABC的外接圓與OM相切（⊙P與OM相切于點C）時∠ACB最大，此時OC2＝OA?OB．
小明思考后給出如下證明：
證明：如圖2，在OM上任取一點C′，連接AC′，BC′，BC′與⊙P相交于點D，連接AD．
∵點C，D在⊙P上，
∴∠ACB＝∠ADB（依據(jù)①），
又∵∠ADB是△AC′D的一個外角，
∴∠ADB＞∠AC′B，
∴∠ACB＞∠AC′B，
即當且僅當△ABC的外接圓與OM相切（⊙P與OM相切于點C）時∠ACB最大．
如圖3，過切點C作⊙P的直徑CQ，連接BQ，則∠CBQ＝90°，CQ⊥OM，
∴∠Q+∠BCQ＝90°，∠BCQ+∠OCB＝90°
∴∠Q＝∠OCB，（依據(jù)②）
又∵∠Q＝∠OAC，
…
∴OC2＝OA?OB．
任務(wù)：
（ 1）寫出小明證明過程中的依據(jù)：
依據(jù)①： ，依據(jù)②： ；
（2）請你將小明的證明過程補充完整；
（3）結(jié)論應(yīng)用：如圖4，已知點A，B的坐標分別是（0，1）和（0，4），C是x軸正半軸上一個動點，當∠ACB最大時，點C的坐標為 ．
22．（2023?朔州模擬）下面是小寧同學的數(shù)學日記，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
x年×月×日 星期日
只用無刻度的直尺也能作出已知角的余角
問題一：今天，在數(shù)學課上，老師提出了一個問題．如果要在如圖1所示的⊙O中作∠ABC的余角∠ABD，然而手上只有一把無刻度的直尺，該怎么辦呢？
任務(wù)：
（1）“方法”所依據(jù)的數(shù)學原理是
（2）請在圖1中完成問題二，并說明理由．
（3）請直接寫出問題三的答案．
問題一
方法：如圖2，過點C作⊙O的直徑CD，連接BD，則∠ABD即為所求．
問題二：小明在老師提出問題的基礎(chǔ)上進一步思考，如果以A為頂點作∠ABC的余角，應(yīng)該如何完成？
問題三：如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，連接OA，OB，設(shè)AB與CD交于點E．若∠ABC＝30°，ABO＝15°，OA＝+1，求線段OE的長．

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