數(shù)學
本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答題前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在本試卷和答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知向量，且，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標表示，列出不等式，即可得答案.
【詳解】由，，可得，
解得，
故選：A.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化簡集合，，根據(jù)交集定義求.
【詳解】∵，
∴.
解，得，
∴.
∴.
故選：D.
3. 已知母線長為10的圓臺的側面積為，且其上底面的半徑與下底面的半徑滿足，則（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓臺側面積公式計算即可．
【詳解】因為該圓臺的側面積為，母線長，
所以，解得，則，
故選：C．
4. 已知復數(shù)z滿足，則（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)求出1+iz，求出iz，求出，求出.
【詳解】由，有1+iz=42+i=42?i2+i2?i=85?4i5，
∴iz=35?4i5，∴z=5i3?4i=5i3+4i3?4i3+4i=?45+3i5，
∴z=1.
故選：B．
5. 記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理進行邊角互化，結合兩角差的正弦公式求解即可.
【詳解】由正弦定理得，
即，或．
若，結合，有，故舍去．
．，，
故選：D．
6. 記拋物線的焦點為，點在上，B2,1，則AF+AB的最小值為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由拋物線的定義即可求解.
【詳解】過點作的垂線，垂足為，則AF=AD，
則AF+AB=AD+AB≥3，如圖所示.
所以AF+AB的最小值為.
故選：B．
7. 記A，B為隨機事件，已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由全概率公式及并事件的概率公式求解．
【詳解】記，由全概率公式有，
代入數(shù)據(jù)有，解得，
，
故選：D．
8. 已知（，）的部分圖象如圖所示，點是與坐標軸的交點，若是直角三角形，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦函數(shù)性質得三點坐標，再由，結合有，建立方程即可求出，最后將代入函數(shù)解析式即可得解.
【詳解】由正弦函數(shù)性質有，，，
由直角三角形，可得，
結合有，
，
，
解得或（舍去），
，
，
.
故選：C.
二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9. 北京時間2024年7月27日，我國射擊健將黃雨婷?李豪戰(zhàn)勝韓國選手，摘奪了射擊混合團體10米氣步槍金牌，通過賽后數(shù)據(jù)記錄得到其中一名選手的得分分別為，則（ ）
A. 該組數(shù)據(jù)的極差為25
B. 該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19
C. 該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17
D. 若該組數(shù)據(jù)去掉一個數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用極差、百分位數(shù)、平均數(shù)的概念逐項判斷即可.
【詳解】對于A項，極差等于，故A正確；
對于B項，，故分位數(shù)為20，故B錯誤；
對于C項，平均數(shù)等于，故C正確；
對于D項，去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確.
故選：ACD.
10. 已知首項為1的數(shù)列滿足，記的前項和為，則（ ）
A. 可能為等差數(shù)列
B.
C. 若，則
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)已知分類討論得出通項及性質判斷A,B,C,分類討論求和即可判斷D.
【詳解】由題意可得或.
注意到若存在使得，則，
對于C項，只能滿足，得，
當時也符合，此時，故數(shù)列為等差數(shù)列，故A正確；
，故C正確；
若，則，故，故B錯誤；
此時，奇偶分類討論有，則，故D正確，
故選:ACD.
11. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，點，點，點在函數(shù)的圖象上，且，記邊上的高為h，則（ ）
A. B. 函數(shù)減函數(shù)
C. 點B可能在以為直徑的圓上D. h的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用偶函數(shù)的性質求解參數(shù)判斷A，利用導數(shù)判斷B，利用圓的性質判斷C，利用不等式的取等條件判斷D即可.
【詳解】對于A選項，由是偶函數(shù)得到，
則，解得，故A正確；
對于B選項，，
故，且恒成立，
故得為減函數(shù)，故B正確；
對于C選項，由B知，即，
由對稱性，可設，則．
若點B在以為直徑的圓上，則有，
帶入即，
即．
若，則，不滿足題意；
若，，而，
，
故B不可能在以為直徑的圓上，故C錯誤；
對于D選項，過點B作x軸的垂線交于點D，則（當且僅當時取等），
而，記，
則，
當且僅當?shù)臅r候取等，即時取等，所以兩個不等號能同時取等，
故h的最大值為，故D正確．
故答案選：ABD
【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)，解題關鍵是找到不等式的取等條件，然后得到參數(shù)值，得到所要求的最值即可．
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則______.
【答案】
【解析】
【分析】由求得，進而利用二倍角公式可得的值.
【詳解】因為，所以，
所以。
故答案為：.
13. 寫出一個同時具有下列性質的函數(shù)的解析式：__________.
①不是常函數(shù)
②的最小正周期為2
③不存在對稱中心
【答案】（不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)所具有的性質，結合正弦函數(shù)的性質，即可確定答案.
【詳解】根據(jù)題中函數(shù)需滿足的條件，可取函數(shù)為正弦型函數(shù)，
即可取，其圖象為：
結合圖象可知滿足題意，
故答案為：（不唯一）
14. 已知雙曲線（，）的左，右焦點為，，過的直線交C的右支于點（點A在點B上方），，過點作直線，交C于點E（點E在第二象限），若直線與直線的交點在直線上，則C的離心率為__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用給定條件分別求出邊長，利用余弦定理表示同角的三角函數(shù)，建立齊次方程求解離心率即可.
【詳解】如圖記直線與直線的交點為P，且連接，則，

由對稱性有過坐標原點O且．
由有，，
又，，，
，，，即，，
在中，，
在中，，解得，
故答案為：．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查求解析幾何，解題關鍵是利用給定條件求出各個三角形的邊長，然后利用余弦定理表示同一個角，得到所要求的離心率即可．
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知橢圓過點和.
（1）求的離心率；
（2）若直線與有且僅有一個交點，求的一般式方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由橢圓過點和，求得，進而求得，即可得到的離心率；
（2）聯(lián)立和的方程，得到關于的一元二次方程，由，可求得，即可得到的一般式方程.
【小問1詳解】
因為橢圓過點和，
所以，解得，
由，得，
所以的離心率.
【小問2詳解】
由（1）可得的方程為，，
聯(lián)立，得，
由，得，
直線的一般式方程為：.
16. 中國能源生產量和消費量持續(xù)攀升，目前已經成為全球第一大能源生產國和消費國，能源安全是關乎國家經濟社會發(fā)展的全局性?戰(zhàn)略性問題，為了助力新形勢下中國能源高質量發(fā)展和能源安全水平提升，發(fā)展和開發(fā)新能源是當務之急.近年來我國新能源汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，新能源汽車不僅對環(huán)境保護具有重大的意義，而且還能夠減少對不可再生資源的開發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向.“保護環(huán)境，人人有責”，在政府和有關企業(yè)的努力下，某地區(qū)近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：
（1）計算與的相關系數(shù)（保留三位小數(shù)）；
（2）求關于的線性回歸方程，并預測該地區(qū)2025年新能源汽車購買數(shù)量.
參考公式.
參考數(shù)值：.
【答案】（1）
（2）線性回歸方程是，該地區(qū)年新能源汽車購買數(shù)量約為萬輛.
【解析】
【分析】（1）利用所提供數(shù)據(jù)求，，，，代入?yún)⒖脊角蠹纯桑?br>（2）結合公式求，，由此可得回歸方程，再利用回歸方程進行預測.
【小問1詳解】
，
，
，
.
【小問2詳解】
由（1）知，
，
所以關于的線性回歸方程是，
當時，（萬輛），
該地區(qū)年新能源汽車購買數(shù)量約為萬輛.
17. 如圖，三棱柱中，側面是邊長為2的正方形，，．
（1）證明：；
（2）若二面角的余弦值為，求的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）側面是邊長為2的正方形得到和的關系，、和的長度，根據(jù)側面是平行四邊形得到和，在中，由余弦定理得，判斷的形狀，證明平面，證明；
（2）取的中點，記為D，連接，．證明，，平面，求出二面角的平面角，證明平面，記二面角為，表示出與的關系，找到和的關系，求出，求出，證明，求出.
【小問1詳解】
側面是邊長為2的正方形，
，，，
側面是平行四邊形，
，
在中，由余弦定理有，
解得，是直角三角形，
，，，平面，
平面，又平面，
；
【小問2詳解】
取的中點，記為D，連接，，
，，
，，
，，平面，
平面，為二面角的平面角．
又平面，，
平面，記二面角為，
則，，
，．
平面，，
，，，
的值為．
18. 已知函數(shù)，．
（1）求的極值；
（2）討論的單調性；
（3）若存在兩個極值點，，討論和的大小關系．
【答案】（1）極小值為，沒有極大值
（2）
答案見詳解 （3）答案見詳解
【解析】
【分析】（1）對求導，令求得，f′x的零點把定義域劃分為0,1和1,+∞判斷各個區(qū)間的單調性，從而判斷是極大值點還是極小值點，再求出對應的極值即可；
（2）對求導，并對導函數(shù)進行整理，整理成因式乘積的形式，然后根據(jù)不同的對的導函數(shù)正負的影響進行討論，從而得到的單調性；
（3）由（2）可以得到，，結合，得到取不同范圍時的范圍，再結合函數(shù)的單調性，從而判斷和的大小關系．
【小問1詳解】
，x∈0,1時f′x0，
∴fx在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，
∴fx在處取到極小值，沒有極大值．
【小問2詳解】
情形一 若，可得恒成立，且，
時，，故在單調遞減；
時，，故在單調遞增；
情形二 若，，則，
在單調遞增；
情形三 若，令，解得或，
又由（1）知當時，可得，
時，，故在單調遞減；
和時，，故和單調遞增．
綜上所述，若，時，單調遞減，時，單調遞增；
若，，在單調遞增；
若，時，單調遞減，和時，單調遞增．
【小問3詳解】
由（2）知，只能是，，
由，則，解得且，
又當時，，，由在0,1上單調遞減可知；
當時，，，由在1,+∞上單調遞增可知．
綜上所述，時，；時，．
19. 對于一個非零整數(shù)和質數(shù)，我們稱中含冪次為定義為最大的非負整數(shù)，使得存在非零整數(shù)，有，例如等．定義一個非零有理數(shù)的，如，且規(guī)定．現(xiàn)在對于任意一個有理數(shù)，我們定義其“示數(shù)”為，其中，規(guī)定．記兩個有理數(shù)的“示數(shù)距離”為．
（1）直接寫出的值；
（2）證明：對于一個正整數(shù)，存在一列非整數(shù)的正有理數(shù)使；
（3）給定質數(shù)，若一個無窮集合中任意一數(shù)列，對于任意，則我們稱集合是“緊致的”，是否存在質數(shù)，使得整數(shù)集是“緊致的”？若存在，求出所有；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）不存在質數(shù)，使得整數(shù)集是“緊致的”，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義分別計算即可；
（2）取，，則為非整數(shù)的正有理數(shù)，結合定義及指數(shù)函數(shù)單調性即可證明；
（3）取，，則，故，結合定義及指數(shù)函數(shù)單調性即可說明理由．
【小問1詳解】
由已知得，，，
所以；
，，；
由，，
所以．
【小問2詳解】
取，，則為非整數(shù)的正有理數(shù)，
有，
因為函數(shù)在0,+∞上單調遞減，且，
所以成立．
【小問3詳解】
不存在，理由如下：
取，，
則，故，
則，其中，
故，
因為為質數(shù)，所以在0,+∞單調遞減，且時，，
所以，
所以不存在質數(shù)，使得整數(shù)集是“緊致的”．
【點睛】關鍵點睛：第（2）問中，解題關鍵是取，，則；第（3）問中，解題關鍵是取，，則．
年份
2019
2020
2021
2022
2023
新能源汽車購買數(shù)量（萬輛）
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80

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