總分: 150 分 時(shí)量: 120 分鐘
一、單項(xiàng)選擇題: 本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只
有一項(xiàng)是符合要求的.
1. 已知集合 ， ，則 （ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】首先通過聯(lián)立方程，求解 的元素，再根據(jù)集合的形式，判斷選項(xiàng).
【詳解】聯(lián)立 ，得 ，
所以 .
故選：C
2. 若復(fù)數(shù) 滿足 ，則其共軛復(fù)數(shù) 為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)概念即可求解.
【詳解】由 ，
可得： ，
所以 ，
故選：B
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3. 等比數(shù)列 中， ，則 （ ）
A. 2 B. 4 C. 9 D. 252
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?是等比數(shù)列，設(shè)其公比為 ，所以 ，解得 ，
所以 .
故選：B.
4. 設(shè) ， ， 是非零向量，則“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】分別判斷充分性和必要性成立情況得出結(jié)論.
【詳解】若 ，則 ， ；
若 ，則 ， 即 .
“ ”是“ ”的必要而不充分條件；
故選：B.
5. 若函數(shù) ,恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析該分段函數(shù)在各段上的零點(diǎn)情況，將問題轉(zhuǎn)化為直線 與 在 上有一個(gè)
交點(diǎn)的問題，結(jié)合函數(shù)的圖象即得參數(shù) 的范圍.
【詳解】當(dāng) 時(shí)，由 可得 ，
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依題意， 時(shí)， 有 1 個(gè)零點(diǎn)，
即方程 在 上有一個(gè)實(shí)根，
也即直線 與 在 上有一個(gè)交點(diǎn).
如圖作出函數(shù)的圖象.
因 在 上單調(diào)遞增，由圖可知，此時(shí) .
綜上，實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
故選：D
6. 過直線 上一點(diǎn) P 作⊙M： 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A，B，若使得
的點(diǎn) P 有兩個(gè)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】易得 ，根據(jù)題意可得圓心 到直線 的距離 ，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】⊙M： 的圓心 ，半徑 ，
由 ，得 ，
由題意可得圓心 到直線 的距離 ，
即 ，解得 .
故選：B.
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7. 如圖，過原點(diǎn) 的直線 交橢圓 于 兩點(diǎn)，過點(diǎn) 分別作 軸、 的
垂線 ，且分別交橢圓 于點(diǎn) ， ，連接 交 于點(diǎn) ，若 ，則橢圓 的離心
率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè) ，則 ，由 ， 共
線，點(diǎn) 在橢圓上，得坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立求解即可.
【詳解】設(shè) ，則 ，
由 ，則 ，即 ，①
由 三點(diǎn)共線，則 ，即 ，②
又因?yàn)?，即 ，③
將①②代入③得 ，則 .
故選：D.
8. 已知正數(shù) ， 滿足 ，若 恒成立，則實(shí)數(shù) 的最小值為（ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分離參數(shù)可得 ，即可得到 ，再結(jié)合二次函數(shù)的值域，
代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以 等價(jià)于 ，
又 ，所以 ，則 ，
即 ，
又 ，
所以 ，即實(shí)數(shù) 的最小值為 .
故選：A
二、選擇題:本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符 合
題目要求. 全部選對的得 6 分， 部分選對的得部分分， 有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 下面命題中是假命題的有（ ）
A 中，若 ，則
B. 若 ，則 是第一象限角或第二象限角
C. 若一個(gè)扇形所在圓的半徑為 ，其圓心角為 弧度，則扇形的周長為
D. 函數(shù) 的最小值為
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正弦定理結(jié)合大邊對大角可判斷 A 選項(xiàng)；利用三角函數(shù)值的符號與角的終邊的關(guān)系可判斷 B
選項(xiàng)；利用扇形的弧長公式可判斷 C 選項(xiàng)；取 可判斷 D 選項(xiàng).
【詳解】對于 A 選項(xiàng)， 中，若 ，則 ，所以， ，A 對；
對于 B 選項(xiàng)，若 ，則 是第一象限角或第二象限角或 角的終邊在 軸的非負(fù)半軸，B 錯(cuò)；
對于 C 選項(xiàng)，若一個(gè)扇形所在圓的半徑為 ，其圓心角為 弧度，則扇形的周長為 ，C 對；
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對于 D 選項(xiàng)，若 ，則 ，D 錯(cuò).
故選：BD.
10. 已知二項(xiàng)式 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是 ，則下列說法正確的是（ ）
A. 展開式共有 6 項(xiàng)
B. 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第 4 項(xiàng)
C. 展開式的常數(shù)項(xiàng)為 540
D. 展開式 有理項(xiàng)共有 3 項(xiàng)
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法求出冪指數(shù) ，再結(jié)合展開式的通項(xiàng)，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】由二項(xiàng)式 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是 ，得當(dāng) 時(shí)， ，解得 ，
對于 A，展開式共 7 項(xiàng)，A 錯(cuò)誤；
對于 B，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第 4 項(xiàng)，B 正確；
二項(xiàng)式 展開式的通項(xiàng) ，
對于 C，由 ，得 ，則展開式的常數(shù)項(xiàng) ，C 正確；
對于 D，由 為整數(shù)，得 ，因此展開式的有理項(xiàng)共有 4 項(xiàng)，D 錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 已知等差數(shù)列 的首項(xiàng)為 ，公差為d，其前n項(xiàng)和為 ，若 ，則下列說法正確的是（
）
A. 當(dāng) 時(shí)， 最大
B. 使得 成立的最小自然數(shù)
C.
D. 數(shù)列 中的最小項(xiàng)為
【答案】ACD
【解析】
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【分析】利用等差數(shù)列及 ，判斷出 、 、 ，再利用等差數(shù)列和等差數(shù)列
前 n 項(xiàng)和的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】若 ，則 ， ，故 ，
所以 ，即等差數(shù)列 是遞減數(shù)列，
A：由上分析，數(shù)列前 7 項(xiàng)為正，其余項(xiàng)為負(fù)，故 時(shí)， 最大，對；
B：由 ， ，則 ， ，
所以 成立的最小自然數(shù) ，錯(cuò)；
C： ，則 ，對；
D：當(dāng) 或 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
由 ， ，所以數(shù)列 中的最小項(xiàng)為 ，對.
故選：ACD
三、填空題:本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布 ．質(zhì)量指標(biāo)介于 99 至 101 之間的產(chǎn)品為良品，
為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到 ，則需調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得 至多為________．(若 ，
則 )
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知， 的解集
，即可根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，從而得解．
【詳解】依題可知， ，再根據(jù)題意以及正態(tài)曲線的特征可知， 的解集
，
由 可得， ，
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所以 ，解得： ，故σ至多為 ．
故答案為： ．
13. 正方體 的棱長為 3，E，F(xiàn) 是棱 ， 上的中點(diǎn)，平面 截正方體所得截面
的周長為________
【答案】
【解析】
【分析】由直線 EF 與 分別交于 G，H，連接 AG，AH 分別交 ， 于點(diǎn) M，N，得到五邊
形 為平面 截正方體所得的截面，然后根據(jù) E，F(xiàn) 為中點(diǎn)，利用三角形相似，確定點(diǎn) M，N 的
位置求解.
【詳解】解：如圖所示：
直線 EF 與 分別交于 G，H，連接 AG，AH 分別交 ， 于點(diǎn) M，N，
則五邊形 為平面 截正方體所得的截面，
因?yàn)?E，F(xiàn) 分別是 ， 的中點(diǎn)，
所以易得 ，
所以 ，
因?yàn)?，所以 ，
可得 ，同理可得 ，
所以五邊形 的周長為 ，
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故答案為：
14. 若函數(shù) 有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】將函數(shù) 的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程 的根的問題，易知
的最大值為 ；
解法一：利用方程根的判別式求出參數(shù) 的取值范圍，并分類討論是否符合題意即可求出結(jié)果；
解法二：結(jié)合圖象對 的兩根的分布情況進(jìn)行分類討論即可求得參數(shù) 的取值范圍.
【詳解】令 ，得 ；
設(shè) ，則方程 ，即 ，
易知 ，所以 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，可得 ，
易知當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，且當(dāng) 趨近于 時(shí)， 趨近于 0，當(dāng) 趨近于
時(shí)， 趨近于 ，
作出 的大致圖象如圖所示．
數(shù)形結(jié)合可得 ，且方程 在 上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
解法一：
由 ，得 或 ．
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當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)方程 在 上至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，
當(dāng) 時(shí)，設(shè)方程 在 上的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 ，則 ，
所以需 ，得 ，故實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
解法二：
設(shè)方程 的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根分別為 ，
則 ， 或 ， ．
①當(dāng) ， 時(shí)，由 ，得 ，
則 在 上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即 在 上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)
根，
由 ，得 或 ，與 ， 矛盾．
②當(dāng) ， 時(shí)，若方程 在 上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則 ，解得 ．
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類問題需注意以下幾點(diǎn)，
（1）會(huì)轉(zhuǎn)化，即會(huì)將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題；
（2）會(huì)作圖，即會(huì)根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象或利用導(dǎo)數(shù)畫出相關(guān)函數(shù)的大致圖象；
（3）會(huì)觀察，即會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想得到參數(shù)的取值范圍．
四、解答題: 本題共 5 小題， 共 77 分， 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步
驟.
15. 在 中，內(nèi)角 所對的邊分別為 ．已知 ．
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（1）求 ；
（2）若 ，求 的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，邊轉(zhuǎn)角得到 ，再利用正弦的和角公式得
到 ，即可求角；
（2）利用（1）中結(jié)果及條件，結(jié)合正弦定理，得到 ，再利用三角形的面積公式，即可求
解.
【小問 1 詳解】
由 ，得到 ，
即 ，得到 ，
又 ， ，所以 ，
又 ，得到 .
【小問 2 詳解】
由（1）知 ，因?yàn)?br>又 ，
所以
，
即 ，又由正正弦定理得 ，即 ，其中 為 外接圓的半徑，
所以 ，
所以 的面積為 .
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16. 隨著“雙十一購物節(jié)”的來臨，某服裝店準(zhǔn)備了抽獎(jiǎng)活動(dòng)回饋新老客戶，活動(dòng)規(guī)則如下：獎(jiǎng)券共 3 張，分
別可以再店內(nèi)無門檻優(yōu)惠 10 元?20 元和 30 元，每人每天可抽 1 張獎(jiǎng)券，每人抽完后將所抽取獎(jiǎng)券放回，以
供下一位顧客抽取.若某天抽獎(jiǎng)金額少于 20 元，則下一天可無放回地抽 2 張獎(jiǎng)券，以優(yōu)惠金額更大的作為所
得，否則正常抽取.
（1）求第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學(xué)期望；
（2）記“第 天抽取 1 張獎(jiǎng)券”的概率為 ，寫出 與 的關(guān)系式并求出 .
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）根據(jù)乘法公式求解概率，即可由期望公式求解，
（2）由題意得 ，即可利用構(gòu)造法求解 為等比數(shù)列，即可由等比數(shù)列的通項(xiàng)求解.
【小問 1 詳解】
設(shè)第二天獲得的優(yōu)惠券金額為 的可能取值為 ，第二天抽 1 張獎(jiǎng)券的概率為 ，抽 2 張獎(jiǎng)券
的概率為 ，
若抽 2 張獎(jiǎng)券，優(yōu)惠金額 20 元 概率為 ，優(yōu)惠金額 30 元的概率為 ，
，
，
，
故第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學(xué)期望 .
【小問 2 詳解】
記“第 天抽取 1 張獎(jiǎng)券”的概率為 ，則“第 天抽取 2 張獎(jiǎng)券”的概率為 ，
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則“第 天抽取 1 張獎(jiǎng)券”的概率為 ，
，
設(shè) ，則 ，
又 ，則 ，
所以數(shù)列 是公比為 的等比數(shù)列，
.
17. 已知函數(shù) ．
（1）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的最小值；
（2）若關(guān)于 x 的不等式 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．
【答案】（1）0； （2） .
【解析】
【分析】（1）當(dāng) 時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，求出最小值.
（2）由（1）的信息，利用不等式性質(zhì)可得當(dāng) 時(shí)，不等式恒成立，當(dāng) 時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)探討存在
實(shí)數(shù)使得 得解.
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的定義域?yàn)?，求導(dǎo)得 ，
顯然函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，而 ，
則當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
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所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 取得最小值 .
【小問 2 詳解】
函數(shù) 的定義域?yàn)?，
當(dāng) 時(shí)， ， ，則 ，
由（1）知， ， ，而 ，即有 ，
因此 恒成立，此時(shí) ；
當(dāng) 時(shí)， ，由（1）知，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
則 ，而 恒成立，不等式 不恒成立，
所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 .
18. 如圖所示，四邊形 為正方形，四邊形 ， 為兩個(gè)全等的等腰梯形， ，
， ， ．
（1）當(dāng)點(diǎn) 為線段 的中點(diǎn)時(shí)，求證： ；
（2）當(dāng)點(diǎn) 在線段 上時(shí)（包含端點(diǎn)），求平面 和平面 的夾角的余弦值的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間角的向量求法求出平面 和平面 的夾角的余弦值的表達(dá)式，
進(jìn)行合理變形，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得余弦的最值，即可求得答案．
【小問 1 詳解】
因?yàn)辄c(diǎn) 為線段 的中點(diǎn)，且 ，
所以 ，
因?yàn)?，且四邊形 為正方形，故 ，
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所以 ，而 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，
所以 ；
【小問 2 詳解】
設(shè)正方形 的中心為 ，分別取 的中點(diǎn)為 ，
設(shè)點(diǎn) 為線段 的中點(diǎn)，由（1）知 四點(diǎn)共面，且 平面 ，
連接 ， 平面 ，故 ，
又 平面 ，故平面 平面 ，
且平面 平面 ，
由題意可知四邊形 為等腰梯形，故 ，
平面 ，故 平面 ，
故以 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，則 ，又 ，故 ，
設(shè) 到底面 的距離為 ，
四邊形 ， 為兩個(gè)全等的等腰梯形，且 ，
故 ，又 ，
故 ，則 ，
，
設(shè) ，
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
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則 ，令 ， ，
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
則 ，令 ， ，
故 ，
令 ，則 ，
令 ，則 ，
令 ，則 在 上單調(diào)遞增，
故當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
故 ，
即平面 和平面 的夾角的余弦值得取值范圍為 ．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于求出平面夾角的余弦值之后，要對其表達(dá)式進(jìn)行變形，從而結(jié)合二
次函數(shù)的單調(diào)性求得余弦的最值，從而得到其取值范圍.
19. 在平面內(nèi)，若直線 將多邊形分為兩部分，多邊形在 兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線 的距離之和相等，則稱 為多
邊形的一條“等線”．雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 、 ，其離心率為 ，
且點(diǎn) 為雙曲線 右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線 與曲線 相切于點(diǎn) ，且與 的漸近線交于 、 兩點(diǎn)，且點(diǎn) 在
點(diǎn) 上方．當(dāng) 軸時(shí)，直線 為 的等線．已知雙曲線 在其上
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一點(diǎn) 處的切線方程為 ．
（1）求雙曲線 的方程；
（2）若 是四邊形 的等線，求四邊形 的面積；
（3）已知 為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) ，點(diǎn) 的軌跡為曲線 ，證明： 在點(diǎn) 處的切線 為
的等線．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）在雙曲線 的方程中，令 ，結(jié)合已知條件求出點(diǎn) 的坐標(biāo)，根據(jù)“等線”的定義可得出
關(guān)于 、 、 的方程組，解出 、 的值，即可得出雙曲線 的方程；
（2）利用給定定義，求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，最后得到四邊形面積即可.
（3）利用給定條件和新定義證明即可.
【小問 1 詳解】
解：在雙曲線 的方程中，令 ，解得 ，
因?yàn)橹本€ 為 的等線，顯然點(diǎn) 在直線 的上方，故有 ，
又 、 ，有 ， ， ，
解得 ， ，
所以 的方程為 ．
【小問 2 詳解】
解：設(shè) ，由題意有 方程為 ，①
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漸近線方程為 ，聯(lián)立得 ， ，
故 ，
所以 是線段 的中點(diǎn)，因?yàn)?、 到過原點(diǎn) 的直線距離相等，
則過原點(diǎn) 點(diǎn)的等線必定滿足： 、 到該等線距離相等，且分居兩側(cè)，
所以該等線必過點(diǎn) ，即直線 的方程為 ，
由 ，解得 ，故 ．
所以 .
所以 ，
所以 ，所以 ．
【小問 3 詳解】
證明：設(shè) ，由 ，所以 ， ，
故曲線 的方程為 ，
由①知切線為 ，也為 ，即 ，即 ．
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易知 與 在 的右側(cè)， 在 的左側(cè)，分別記 、 ，
到 的距離為 、 、 ，
由（2）知 ， ，
所以 ，
由 得 ，
因?yàn)?，
所以直線 為 的等線．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是利用給定定義和條件，然后結(jié)合前問結(jié)論，得到
，證明即可．
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湖南省長沙市麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

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