一、單選題（3*12）
1. 如圖，△ABC中，點D在線段AB上，且△ABC∽△ACD,則下列結(jié)論一定正確的是
A. AC2=AB·ADB. AC2=BC·ADC. AC·CD=AB·ADD. AC·CD=CD·BD
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應邊成比例，可由△ABC∽△ACD得，可得AC2=AB·AD.
故選A.
2. 如圖，在正方形網(wǎng)格上有相似三角形△A1B1C1和△A2B2C2，則△A1B1C1和△A2B2C2的面積比為（ ）
A. 2B. 0.5C. 4D. 0.25
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于邊長比的平方可以得解．
【詳解】解：，
故選C．
【點睛】本題考查相似三角形的面積比，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比（或邊長比）的平方是解題關鍵．
3. 如圖，在△ABC中，點D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. BC=3DEB. C. △ADE～△ABCD. S△ADE=S△ABC
【答案】D
【解析】
【詳解】解：∵BD=2AD，∴AB=3AD，∵DE∥BC，∴=，∴BC=3DE，A結(jié)論正確；
∵DE∥BC，∴，B結(jié)論正確；
∵DE∥BC，∴△ADE～△ABC，C結(jié)論正確；
∵DE∥BC，AB=3AD，∴S△ADE=S△ABC，D結(jié)論錯誤，
故選D．
【點睛】本題考查平行線分線段成比例及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關性質(zhì)定理是本題的解題關鍵．
4. 如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上．若測得BE=20m，EC=10m，CD=20m，則河的寬度AB等于（ ）
A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m
【答案】B
【解析】
【詳解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥DC．
∴△EAB∽△EDC．
∴．
又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，
∴，
解得：AB＝40（m）．
故選：B．
5. 如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點F，AB=9，BD=3，則CF等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【詳解】試題分析：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故選B．
考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．等邊三角形的性質(zhì)．
6. 已知α為銳角，且sin（α﹣10°）＝，則α等于（ ）
A. 70°B. 60°C. 50°D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得α﹣10°＝60°，進而可得α的值．
【詳解】解：∵sin（α﹣10°）＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故選A．
【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值的計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．
7. 在平面直角坐標系中，已知點，，以原點為位似中心，相似比為，把縮小，則點的對應點的坐標是( )
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了圖形的位似，分點和點在原點的同側(cè)和異側(cè)兩種情況求解．
【詳解】如圖，當點和點在原點的同側(cè)時，
點，原點為位似中心，相似比為，
點的即；
當點和點在原點的異側(cè)時，
因為第二象限時坐標為，
所以，異側(cè)時，恰好是其原點的對稱點即為，

故選：C．
8. 如圖，正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點M，N分別為OB，OC的中點，則cs∠OMN的值為( )

A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【詳解】∵正方形對角線相等且互相垂直平分
∴△OBC等腰直角三角形，
∵點M，N分別為OB，OC的中點，
∴MN//BC
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴∠OMN=45°
∴cs∠OMN=
9. 如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為，點都在格點上，則的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了正弦的定義，勾股定理，作于點，利用勾股定理求得和的長，根據(jù)正弦的定義即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：作于點，
∴，
由網(wǎng)格可知：，，，
則點三點共線，
則，
故選：．
10. 如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，則壩底AD的長度為( )
A 26米B. 28米C. 30米D. 46米
【答案】D
【解析】
【詳解】∵壩高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，
∴AE=1.5BE=18米，
∵BC=10米，
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，
故選D．
11. 如圖，為安全起見，萌萌擬加長滑梯，將其傾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的長為3m，點D、B、C在同一水平地面上，那么加長后的滑梯AD的長是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：根據(jù)AB=3m，∠ABC=45°可得：AC=，根據(jù)∠D=30°可得：AD=2AC=2×=3m．
考點：三角函數(shù)
12. 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連接BD，若，則BC的長是（ ）
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出BD=AD，再利用，即可求出CD的長，再利用勾股定理求出BC的長．
【詳解】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8cm，
∵，
∴，
解得：CD=3cm，BD=5cm，
∴BC=4cm．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及解直角三角形等知識，得出AD=BD，進而用CD表示出BD是解決問題的關鍵．
二、填空題（4*5）
13. 要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的三邊長分別為、、，另一個三角形框架的一條短邊長為，則另外一個三角形的周長為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的三邊長是4、5、6,即可求得此三角形的周長,又由相似三角形周長的比等于相似比,即可求得另一個三角形的周長.
【詳解】設另外一個三角形的周長是x,
∵一個三角形的三邊長是4、5、6,
∴這個三角形的周長為:4+5+6=15,
∵與它相似的另一個三角形最短的一邊長是2,
∴,
解得:x=7.5,
∴另一個三角形的周長是7.5.故答案為7.5.
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì).解題的關鍵是注意掌握相似三角形周長的比等于相似比定理的應用.
14. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanA＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件設出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長，運用三角函數(shù)的定義解答．
【詳解】由sinA＝45知，可設a＝4x，則c＝5x，b＝3x，
∴tanA＝=43．
故答案為43．
【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關系．求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關系式求三角函數(shù)值．
15. 將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8．若以點B′，F(xiàn)，C為頂點的三角形與△ABC相似，則BF的長度是______
【答案】4或．
【解析】
【詳解】設BF=，則由折疊的性質(zhì)可知：B′F=，F(xiàn)C=，
（1）當△B′FC∽△ABC時，有，
即：，解得：；
（2）當△B′FC∽△BAC時，有，
即：，解得：；
綜上所述，可知：若以點B′，F(xiàn)，C為頂點的三角形與△ABC相似，則BF的長度是4或.
故答案為4或.
【點睛】解本題時，由于題目中沒有指明△B′FC和△ABC相似時頂點的對應關系，所以根據(jù)∠C是兩三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；兩種情況分別進行討論，不要忽略了其中任何一種.
16. 如圖，是小瑩設計用手電來測量某古城墻高度的示意圖．在點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻CD的頂端C處．已知AB⊥BD，．且測得米，米，PD=12米，那么該古墻的高度是__________米．
【答案】8
【解析】
【分析】由光學知識反射角等于入射角不難分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到代入數(shù)值求解即可．
【詳解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP
∴，
即
解得：CD=8米．
故答案為：8．
【點睛】本題考查了相似三角形的應用：利用入射與反射的原理構建相似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應邊的比相等解決．
17. 如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，則S△ABC＝__．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，過點C作CD⊥AB于點D．通過解直角△ACD求得CD、AD的長度，通過解直角△BCD求得BD的長度；則易求AB＝AD＋BD；然后由三角形面積公式進行解答．
【詳解】如圖，過點C作CD⊥AB于點D．
∵在直角△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴AD＝AC?cs30°＝2×＝3，CD＝AC＝．
∵在直角△BCD中，∠B＝45°，CD＝，
∴BD＝CD＝，
∴AB＝AD＋BD＝3＋，
∴S△ABC＝AB?CD＝×（3＋）×＝．
故答案是：．
【點睛】本題考查了解直角三角形．對于此類題目，不是直角三角形，要利用三角函數(shù)必須構筑直角三角形，知道三個元素（至少有一個是邊），就能求出其余的邊和角．進而求面積，在轉(zhuǎn)化時，盡量不要破壞所給條件．
三、解答題
18. 求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】此題考查了實數(shù)的運算；
（1）原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果；
（2）原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果．
（4）原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果．
小問1詳解】
解：原式
【小問2詳解】
解：原式
【小問3詳解】
解：原式
【小問4詳解】
解：原式
19. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，且E為AD的中點，，連接EF并延長交BC的延長線于點G
（1）求證：：
（2）若正方形的邊長為4，求的面積．
【答案】(1)詳見解析;(2)20.
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得，根據(jù)有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得BG的長．
【詳解】（1）證明：設正方形的邊長為4，
為AD的中點，
，．
，
，，
，，
，
又，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
的面積．
【點睛】此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識的綜合應用．解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應用．
20. 如圖，是一塊銳角三角形余料，其中，高，現(xiàn)在要把它裁成一塊正方形材料備用，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點，分別在AB，上，問這塊正方形材料的邊長是多少?
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查的是正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)設這塊正方形材料的邊長為，根據(jù)四邊形是正方形，得出，則，即可證明；利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應高的比等于相似比，列方程，然后解方程即可．
【詳解】解：設這塊正方形材料的邊長為，
則的邊上的高為，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵正方形的一邊在上，
∴，
∴，，
∴
∴，即，
解得：，
答：這塊正方形邊長為．
21. 如圖，路燈（點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？
【答案】從點走到點，身影的長度是變短了
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，根據(jù)平行得，列出比例式，代入數(shù)據(jù)計算即可
【詳解】如圖，
即
解得
即
解得
從點走到點，身影的長度是變短了
【點睛】本題考查了相似三角形的應用，找到相似三角形是解題的關鍵．
22. 如圖，根據(jù)道路管理規(guī)定，在某筆直的大道AB上行駛的車輛，限速60千米/時，已知測速站點M距大道AB的距離MN為30米，現(xiàn)有一輛汽車從A向B方向勻速行駛，測得此車從A點行駛到B點所用時間為6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．
（1）計算AB的長度（結(jié)果保留整數(shù)）．
（2）通過計算判斷此車是否超速．（溫馨提示：≈1.732，≈1.414）
【答案】（1）82米；（2）不超速
【解析】
【分析】（1）由MN的長度及直角三角形的應用可以求得AB的長度；
（2）用AB的長度除以汽車通過AB的時間即可得到汽車的速度，把求得的速度與限速60千米/時比較即可知道汽車是否超速．
【詳解】解：（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，
∴AN=MN?tan∠AMN=303．
在Rt△BMN中，∵∠BMN=45°，∴BN=MN=30．
∴AB=AN+BN=（30+303）米≈82米；
（2）∵此車從A點行駛到B點所用時間為6秒，
∴此車的速度為：（30+303）÷6=5+53≈13.66，
∵60千米/時≈16.67米/秒，13.66＜16.67
∴不會超速．
【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關鍵．
23. 【項目式活動探究】光岳樓位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），被譽為中國十大名樓，光岳樓為中國既古老又雄偉的木構樓閣，是宋元建筑向明清建筑過渡的代表作，在中國古代建筑史上有著重要地位，1988年光岳樓被列為全國重點文物保護單位，享有“雖黃鶴、岳陽亦當望拜”之譽，某校數(shù)學實踐小組利用所學數(shù)學知識測量光岳樓的高度，他們制訂了兩個測量方案，并利用課余時間完成了實地測量.在測量仰角的度數(shù)以及有關長度時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果.下面是兩個方案及測量數(shù)據(jù)（不完整）
【問題解決】
（1）“方案一”兩次測量塔影長DB的平均值是
（2）根據(jù)“方案一”的測量數(shù)據(jù)，可求得光岳樓AB的高度為
（3）根據(jù)“方案二”的測量數(shù)據(jù)，求出光岳樓AB的高度；（參考數(shù)據(jù)：，，）注：結(jié)果保留1位小數(shù)
（4）請對本次實踐活動進行評價（一條即可）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）兩種方案均可測量出光岳樓的近似高度，測量時取平均值是減少誤差的方式（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查了關于求塔高的實踐與探究，相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的實際應用．
（1）根據(jù)平均值的公式求解即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）設，在中和在中，分別表示出，即可求解；
（4）根據(jù)題目求解即可．
【小問1詳解】
解：由題意得：“方案 ”兩次測量塔影長的平均值是
【小問2詳解】
解：由題意得：，
∴，
∵，，，
∴；
【小問3詳解】
解：設，
∵，
∴，
在中，，
∴，
中，，
∴，
∴，解得，
∴，
答：光岳樓的高度約為
【小問4詳解】
項目
測量光岳樓的高度
方案
方案一：標桿垂直立于地面，借助平行的太陽光線構成相似三角形測量：標桿長CD，影長及同一時刻塔影長DB
方案二：利用銳角三角函數(shù).測量：距離CD，仰角，仰角
說明
、、三點在同一條直線上
、、三點在同一條直線上
測量示意圖
測量數(shù)據(jù)
測量項目
第一次
第二次
平均值
測量項目
第一次
第二次
平均值
CD
30°
DB
CD

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