一、單選題（每小題5分，共40分）
1. 設(shè)是等差數(shù)列，且，，則等于
A. 13B. 35C. 49D. 63
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)求解可得.
【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，所以.
故選：C
2. 已知在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列通項(xiàng)求出及.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，得，因此，
所以.
故選：B
3. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）
A. 16B. 32C. 48D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】利用計算即可.
【詳解】.
故選：C.
4. 已知等比數(shù)列滿足，，則（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，設(shè)出公比，從而得到，得到答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>設(shè)的公比為，則，
則，負(fù)值舍去，
故.
故選：C
5. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求數(shù)列的解析式，再結(jié)合數(shù)列的解析式，以及條件，判斷數(shù)列和的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】由條件可知，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
驗(yàn)證，當(dāng)時，，
所以，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，此時，故A錯誤；
，單調(diào)遞增，所以，故B錯誤；
當(dāng)時，，成立，
當(dāng)時，，故C錯誤；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，數(shù)列取得最大值，，
當(dāng)時，，
所以，故D正確.
故選：D
6. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】當(dāng)時，可得，知充分性成立；由數(shù)列單調(diào)性可知，從而得到，由此可得，知必要性不成立，由此可得結(jié)論.
【詳解】當(dāng)時，，
數(shù)列遞增數(shù)列，充分性成立；
當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時，，
恒成立，又，
，必要性不成立；
“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.
故選：A.
7. 生命在于運(yùn)動，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會比前一天多2分．若某天未打卡，則當(dāng)天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始．某會員參與打卡活動，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（ ）
A. 3月5日或3月16日B. 3月6日或3月15日
C. 3月7日或3月14日D. 3月8日或3月13日
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列求和公式列方程求解.
【詳解】若他連續(xù)打卡，則從打卡第1天開始，逐日所得積分依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為2，第天所得積分為．
假設(shè)他連續(xù)打卡天，第天中斷了，
則他所得積分之和為
，化簡得，
解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，注意審題“一天中斷”兩次求和公式的應(yīng)用.
8. 在《九章算法》和《算法通變》中提出了一些新的垛積公式，討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，高階等差數(shù)列中，從第二項(xiàng)開始，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前8項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的第50項(xiàng)為（ ）
A. 1275B. 1596C. 1597D. 1598
【答案】A
【解析】
分析】根據(jù)條件分析得出該數(shù)列逐項(xiàng)之差成等差數(shù)列，利用累加法及等差數(shù)列求和公式計算即可.
【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則由題意可知：，
即從第二項(xiàng)開始后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差構(gòu)成等差數(shù)列，所以，
利用累加法可得，
所以.
故選：A
二、多選題（每小題6分，共18分）
9. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則數(shù)列的前項(xiàng)和最大
B. 若等比數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則公比滿足
C. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則
D. 已知為等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列
【答案】ACD
【解析】
【分析】解不等式，可判斷A選項(xiàng)；利用等比數(shù)列的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；利用等差數(shù)列的求和公式可判斷C選項(xiàng)；利用等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列的定義可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，由，可得，
又因?yàn)?，故?shù)列前項(xiàng)的和最大，A對；
對于B選項(xiàng)，當(dāng)，時，則對任意的，，
則，所以，，此時等比數(shù)列也是遞減數(shù)列，B錯；
對于C選項(xiàng)，，則，C對；
對于D選項(xiàng)，若為等差數(shù)列，則，，
則（為常數(shù)），所以，數(shù)列也是等差數(shù)列，D對，
故選：ACD.
10. 在數(shù)列中，，且，則（ ）
A. B. 為等比數(shù)列
C. D. 為等差數(shù)列
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，可求，的值，判斷AC是否正確；利用等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷是否為等差數(shù)列.
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，，A正確，C錯誤．
因?yàn)?，所以，又?br>所以，所以為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為3，公比為3，
所以，所以，
所以為等差數(shù)列，且公差為，B，D均正確．
故選：ABD
11. 已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和分別為.和，且，則下列正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式及，推導(dǎo)出，不妨設(shè)，，是不為0的常數(shù)，即可表示出，，從而得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和；
等比數(shù)列的前項(xiàng)和；
又，所以等比數(shù)列的公比，即.
不妨設(shè)，，是不為0的常數(shù)，
所以當(dāng)時，
當(dāng)時，
則，，
所以，.
故選：AC.
三、填空題（每小題5分，共15分）
12. 設(shè)是首項(xiàng)為1的數(shù)列，且，則___________．
【答案】32
【解析】
【分析】由遞推公式可得，已知求，再求.
【詳解】，得，又，得，所以.
故答案為：32．
13. 知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第______項(xiàng)．
【答案】4
【解析】
【分析】利用作差法比較判斷數(shù)列的單調(diào)性，再找出其最大項(xiàng)即可.
【詳解】解法一：∵，
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，
即，故數(shù)列的最大項(xiàng)為第4項(xiàng)．
解法二：設(shè)數(shù)列中的最大項(xiàng)為，則
即解得．
∵，∴．故數(shù)列的最大項(xiàng)為第4項(xiàng)．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）利用數(shù)列的單調(diào)性求最大項(xiàng)或最小項(xiàng)；
（2）求數(shù)列中的最大項(xiàng)，只需滿足求數(shù)列中的最小項(xiàng)，只需滿足
14. 某單位為了調(diào)查性別與對工作的滿意程度是否具有相關(guān)性，隨機(jī)抽取了若干名員工，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示，其中，且，若有的把握可以認(rèn)為性別與對工作的滿意程度具有相關(guān)性，則x的值可以是__________．（橫線上給出一個滿足條件的x的值即可）
附：，其中．
【答案】14（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)卡方公式求出x的取值范圍，再根據(jù)且，即可得解.
【詳解】由題意得，故，
所以.
故答案為：14（答案不唯一）.
四、解答題（共77分）
15. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.
（1）求的通項(xiàng)公式;
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）討論的符號去絕對值，結(jié)合等差數(shù)列求和公式求解.
【小問1詳解】
在等差數(shù)列中，，
解得，則 .
【小問2詳解】
因?yàn)?，則.
當(dāng)時，數(shù)列的前項(xiàng)和；
當(dāng)時，數(shù)列的前項(xiàng)和.
故.
16. 甲、乙兩大超市同時開業(yè)，第一年的全年銷售額為a萬元，由于經(jīng)營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多萬元．
（1）求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達(dá)式；
（2）若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，至少會出現(xiàn)在第幾年？
【答案】（1），
（2）乙超市在第7年將被收購
【解析】
【分析】（1）根據(jù)求甲超市第年銷售額的表達(dá)式，利用累加法求乙超市第年銷售額的表達(dá)式；
（2）利用（1）中得表達(dá)式，代入求解，計算可得第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購.
【小問1詳解】
設(shè)甲超市前年總銷售額為，第年銷售額為，
則，
因?yàn)闀r，，
則時，，
故；
設(shè)乙超市第年銷售額為，則，
時，，
，
顯然時也符合，
所以.
【小問2詳解】
當(dāng)時，，，有；
當(dāng)時，，，有；
當(dāng)時，，，故乙超市有可能被收購，
當(dāng)，令，則，
整理得，
又當(dāng)時，，故當(dāng)且時，必有，
即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購.
17. 近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2020年至2024年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中2020年至2024年對應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤Y（單位：億元）關(guān)于年份代碼X的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立Y關(guān)于X的回歸方程；
（3）根據(jù)（2）結(jié)果，估計2025年的企業(yè)利潤．
參考公式及數(shù)據(jù)：，．
【答案】（1）適宜
（2）
（3）99.25億元．
【解析】
【分析】（1）利用散點(diǎn)圖的變化趨勢，即可得出答案；
（2）利用最小二乘法求出即可得解；
（3）令即可得解
【小問1詳解】
由散點(diǎn)圖的變化趨勢，知適宜作為企業(yè)利潤Y（單位：億元）關(guān)于年份代碼X的回歸方程類型．
【小問2詳解】
由題意得：，，
，
所以．
【小問3詳解】
令，估計2025年的企業(yè)利潤為99.25億元．
18. 已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）對題設(shè)中的遞推關(guān)系變形后可得，故可得是等比數(shù)列；
（2）由（1）結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（3）利用分組求和法可求.
【小問1詳解】
對整理有：，
等式兩邊同時除以可得，
等式兩邊再同時減得，即，
又由，可得，故，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
【小問2詳解】
由（1）得的通項(xiàng)公式為，
得，所以．
【小問3詳解】
由（2）知，
所以
．
19. 設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列、、、為階“曼德拉數(shù)列”：①；②
（1）若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，直接寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)（不需要證明）．
（2）若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用、表示）．
（3）記階“曼德拉數(shù)列”的前項(xiàng)和為，若存在，使，試問：數(shù)列能否為階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由．
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）不能，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“曼德拉”數(shù)列的定義可得出滿足條件的一個階數(shù)列；
（2）結(jié)合曼德拉數(shù)列的定義，首先得,然后分公差是大于、等于、小于進(jìn)行討論即可求解；
（3）記中非負(fù)項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為，則，，進(jìn)一步，結(jié)合前面的結(jié)論以及曼德拉數(shù)列的定義得出矛盾即可求解.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，一個滿足條件條件的階“曼德拉數(shù)列”的通項(xiàng)公式可以為.
【小問2詳解】
設(shè)等差數(shù)列、、、、的公差為，
因?yàn)椋?br>即，所以，，
即，所以，，
當(dāng)時，“曼德拉數(shù)列”的條件①②矛盾，
當(dāng)時，根據(jù)“曼德拉數(shù)列”的條件①②得，
，
即，即，
由得，即，
則.
當(dāng)時，同理可得，即.
由得，即，
所以，.
綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，.
【小問3詳解】
記、、、中非負(fù)項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為，則，
得，，，即.
若存在，使，由前面的證明過程知：
，，，，，，，，且.
若數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”，
記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.
所以，，
又，所以，，
則，，
又，
所以，，，，，
所以，，
又與不能同時成立，
所以，數(shù)列不為階“曼德拉數(shù)列”.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問的關(guān)鍵是得到，，，，，，，，且，由此即可順利得解.
對工作滿意
對工作不滿意
男
5x
5x
女
4x
6x
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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