一、單選題
1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．已知分別是平面的法向量，若，則（ ）
A．B．C．1D．7
3．已知橢圓的長軸長為4，離心率為，則該橢圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．點關于直線的對稱點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
5．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．若離心率為的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點A到直線BC的距離為（ ）
A．B．1C． D．
8．已知直線與曲線恰有三個不同交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．下列說法中，正確的有（ ）
A．直線在軸上的截距為
B．直線必過定點
C．若過點1,2的直線的截距相等，則該直線方程為或
D．若兩直線平行，則或
10．已知橢圓內一點，直線與橢圓交于，兩點，且為線段的中點，則下列結論正確的是（ ）
A．的焦點坐標為，B．的長軸長為
C．直線的方程為D．
11．如圖，在正四棱柱中，，點在線段上運動，則下列結論正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．若為的中點，則直線平面
C．異面直線與所成角的正弦值的范圍是
D．直線與平面所成角的正弦的最大值為
三、填空題
12．已知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為
13．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為
14．已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與圓相切于點，與的右支交于點，若，則的離心率為 ．
四、解答題
15．求經過直線和直線的交點C，并且滿足下列條件的直線方程.
(1)與直線平行；
(2)到原點的距離等于1.
16．在平面內，，，C為動點，若，
(1)求點C的軌跡方程；
(2)已知直線l過點（1，2），求曲線C截直線l所得的弦長的最小值.
17．如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧上的兩個三等分點，是半球面上一點，且．

(1)證明：平面：
(2)若點在底面圓內的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．
18．已知橢圓：（）過點，且橢圓的離心率為.過橢圓左焦點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段的垂直平分線的方程；
（3）求三角形的面積.（為坐標原點）
19．已知雙曲線的左焦點，一條漸近線方程為，過做直線與雙曲線左支交于兩點，點，延長與雙曲線右支交于兩點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)判斷直線是否過定點?若過定點，求出該點的坐標；若不過定點，請說明理由．
參考答案：
1．A
【分析】求出直線的斜率，然后根據(jù)斜率的定義即可求得傾斜角.
【詳解】設直線的傾斜角為，方程可化為，
所以直線的斜率為，即，又，
所以傾斜角.
故選：A.
2．D
【分析】根據(jù)兩平面垂直可得法向量垂直，即可根據(jù)坐標運算求解.
【詳解】由，所以，
，解得.
故選：D.
3．A
【分析】根據(jù)長軸以及離心率即可求解.
【詳解】由長軸長為4，可得，又離心率為，即，
解得，故，
所以橢圓方程為，
故選：A
4．C
【分析】求出垂直于直線且過點的表達式，求出交點坐標，即可得出關于直線的對稱點.
【詳解】由題意，
在直線中，斜率為，
垂直于直線且過點的直線方程為，即，
設兩直線交點為，
由，解得：，
∴,
∴點關于直線的對稱點的坐標為，
即，
故選：C.
5．B
【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關系求解.
【詳解】因為圓，圓，
所以， ，
所以，
所以兩圓相交，
所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，
故選：B
6．C
【分析】根據(jù)雙曲線離心率求得，再根據(jù)雙曲線的一條漸近線與直線垂直列出，求解.
【詳解】，所以，得漸近線為，
因為其中一條漸近線與直線垂直，則，得．
故選：C
7．A
【分析】利用向量的模，向量的夾角及三角函數(shù)即可求出點到直線的距離.
【詳解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），
＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），
∴點A到直線BC的距離為：
d＝
＝1×＝．
故選：A
【點睛】本題主要考查了向量坐標的運算，向量的模，向量的夾角，屬于容易題.
8．D
【分析】先運算轉化曲線的方程形式，再作出圖形，數(shù)形結合，隨著直線平行移動，與曲線有三個不同交點，求出直線截距范圍即可.
【詳解】曲線可化為，
當時，，則，
故此時曲線為橢圓的上半部分；
當時，，則，
故此時曲線為雙曲線的上半部分，且漸近線方程為；
直線，表示一組斜率為的平行直線，
如圖，當直線過點2,0時，，解得；
當直線與橢圓上半部分相切時，
由，消化簡得，
由，解得，
又直線與橢圓上半部分相切，則，故，
要使直線與曲線恰有三個不同交點，
結合圖形可得，實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
9．BC
【分析】對A，令，求出直線在軸上的截距；對B，將直線方程變形后得到所過定點；對C，分截距為0和不為0，兩種情況，求出直線方程；對D，根據(jù)兩直線平行的充要條件求解.
【詳解】對于A，令，可得，所以直線在軸上的截距為，故A錯誤；
對于B，由，可得，所以直線過定點，故B正確；
對于C，當直線在軸和軸上截距都為時，
設直線方程為，將代入，可得，所以，
當直線在軸和軸上截距都不為時，
設方程為，代入，解得：，
故此時直線方程為，
綜上，直線方程為或，故C正確；
對于D，由題可得，解得或，
當時，的方程為，的方程為，
重合，矛盾，
當時，的方程為，的方程為，滿足條件，
，故D錯誤.
故選：BC.
10．CD
【分析】由題意可求得判斷AB，利用點差法求得直線的斜率，寫出直線方程判斷C，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由弦長公式求弦長判斷D
【詳解】由，得橢圓焦點在軸上，且，則，所以橢圓的焦點坐標為，長軸長為，所以AB錯誤，
設，則，，
兩式作差得，
因為為線段的中點，所以，，
所以，
所以直線的方程為，即，所以C正確，
由和，得，則，
所以，所以D正確，
故選：CD
11．ACD
【分析】證明出平面，可知點到平面的距離等于點到平面的距離，利用錐體的體積公式可判斷A選項；以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法可判斷BCD選項.
【詳解】對于A選項，在正四棱柱中，，且，
所以，四邊形為平行四邊形，所以，，
因為平面，平面，所以，平面，
因為，所以，點到平面的距離等于點到平面的距離，
所以，為定值，A對；
對于B選項，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
設，則、、、、、，
因為為的中點，則，則，，
所以，，所以，與不垂直，
故當為的中點時，直線與平面不垂直，B錯；
對于C選項，，設，
則，
，
所以，，
因為，則，所以，，
所以，，
因此，異面直線與所成角的正弦值的范圍是，C對；
對于D選項，設平面的法向量為，，，
則，取，可得，此時，，
，
所以，
，
當且僅當時，等號成立，故直線與平面所成角的正弦的最大值為，D對.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：
（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；
（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；
（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.
12．8
【分析】根據(jù)橢圓的定義，結合基本不等式，求出的最大值．
【詳解】設，，，
所以，
因為，所以，當且僅當時取等號，
所以的最大值為8.
故答案為：8.
13．
【分析】先將表示為，然后根據(jù)向量的數(shù)量積運算結合長度和角度求解出.
【詳解】因為，
所以
，
.
故答案為：.
14．/
【分析】先利用條件表示出，然后在三角形中利用余弦定理列式計算得到，進而根據(jù)求出離心率.
【詳解】設雙曲線右焦點為，
則，
則，
所以，又，
所以，
整理得，
所以.
故答案為：.

15．(1)
(2)或
【分析】（1）設所求直線為，整理為一般方程后利用兩直線平行的充要條件可求，即得解；
（2）設所求直線為，整理為一般方程后利用點到直線距離求解，即得解.
【詳解】（1）設所求直線為，即，
因為此直線與平行，
所以，解得，
故所求直線為.
（2）由于原點到直線的距離為，
設所求直線為，即，
所以，解得或，
故所求直線方程為或.
16．(1)
(2)
【分析】(1)代入法即可求得軌跡方程為圓.
(2)由直線l過點(1,2)在圓內即可得到弦長最小值.
【詳解】（1）設，，，
，
得.
（2），點（1，2）在圓內，當直線l為如圖所示位置時，當直線與點(1,2)與圓心連線垂直時，截得弦長CD最短，即，.
故最短弦長為.
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，可證為的中點且，可得，又，由線面垂直的判定可證；
（2）以點為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，用向量法可求解.
【詳解】（1）連接，因為是底面半圓弧上的兩個三等分點，
所以有，又因為，
所以都為正三角形，
所以，四邊形是菱形，
記與的交點為，為和的中點，
因為，
所以三角形為正三角形，
所以，所以，
因為是半球面上一點，是半球的直徑，所以，
因為，平面，
所以平面．
（2）因為點在底面圓內的射影恰在上，
由（1）知為的中點，為正三角形，所以，
所以底面，
因為四邊形是菱形，所以，
即兩兩互相垂直，
以點為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，
所以，，，
設平面的一個法向量為，
則，所以，
取，則，
設直線與平面的所成角為，
所以，
故直線與平面所成角的正弦值為．
18．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由條件得到，求橢圓方程；
（2）直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立求線段的中點，寫出垂直平分線方程；
（3）利用弦長公式求出，再利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，進而可計算出三角形的面積.
【詳解】（1）由題意可知，， ，，
橢圓的方程是；
（2）橢圓的左焦點 ,直線的方程是 ，
與橢圓方程聯(lián)立，得，
，，
代入直線的方程得，線段的中點是，
并且線段的垂直平分線的斜率是-1，
線段的垂直平分線的方程是，即；
（3）由（2）可知， ，
，
原點到直線的距離，.
【點睛】本題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關系，意在考查直線方程和橢圓中三角形面積的求法，第二問中設而不求的基本方法也使得求解過程變得簡單，在解決圓錐曲線與動直線問題中，韋達定理，弦長公式都是解題的基本工具.
19．(1)
(2)過定點
【分析】（1）由雙曲線幾何性質求方程；
（2）分斜率存在于不存在分別研究，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，設，則直線的方程為，與雙曲線求交點得，同理，從而求出直線的方程，可證.
【詳解】（1）由題意可知：
解得
雙曲線的方程為
（2）當直線的斜率存在時，設為，則直線的方程為
由
整理得
與左支交于兩點
，解得
設，則直線的方程為
代入整理得
設，則
，，
，同理
直線的斜率
直線的方程為，即
直線過定點
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
不妨設點在軸上方，則，直線的方程為
由，解得
同理
此時直線過點
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于x（或y）的一元二次方程；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系結合韋達定理運算求解.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
C
B
C
A
D
BC
CD
題號
11









答案
ACD









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