本試卷共4頁(yè)，19題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，且注意到?br>從而.
故選：A.
2. 已知，則＝（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】考查復(fù)數(shù)除法和復(fù)數(shù)的模.
故選：C.
3. 若，，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 6B. C. 3D.
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所? ，
即 ，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，解得.
故選：B.
4. 函數(shù)的定義域?yàn)椋瑪?shù)列滿足，則“函數(shù)為減函數(shù)”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)為減函數(shù)，又因數(shù)列滿足中，,而,則在上必是遞減的，
即數(shù)列為遞減數(shù)列，故“函數(shù)為減函數(shù)”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的充分條件；
反之，數(shù)列為遞減數(shù)列，即在上是遞減的，但是在上未必遞減.
(如函數(shù)在上的函數(shù)值都是，顯然函數(shù)不是減函數(shù)，同時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)列卻是遞減數(shù)列.)
故“函數(shù)為減函數(shù)”不是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要條件.
故選：A.
5．一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，m，12，14，21，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【解析】由已知可得極差是：，而中位數(shù)是極差的，即中位數(shù)是，
根據(jù)六個(gè)數(shù)的中位數(shù)是：，解得，
故選：D.
6. 已知的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，則展開式中含x4的項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A. 20B. 25C. 30D. 35
【答案】B
【解析】所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，∴，∴
，展開式第項(xiàng)，
時(shí)，，，
時(shí)，，，，
故選：B．
7．已知 ，，直線 與曲線 相切，則 的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】由于直線 與曲線 相切，
設(shè)切點(diǎn)為，且，所以，
則切點(diǎn)橫坐標(biāo) ，則，即 .
所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，所以 的最小值為1.
故選：D
8. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【解析】由，可得，即定義域?yàn)?1,1，
所以，
由于，故，
即f'x≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，
即在-1,1上為單調(diào)遞增函數(shù)，又，
所以僅有一個(gè)零點(diǎn)．
故選：C．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．下列命題正確的是（ ）
A．線性回歸直線不一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心
B．設(shè)，若，，則
C．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1
D．一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，且
【答案】BC
【解析】A：線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，故A錯(cuò)誤；
B：由，得，解得，故B正確；
C：兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故C正確；
D：由于是不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，
所以由超幾何分布的定義知服從超幾何分布，得，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
10．已知（，，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．的最小正周期為
C．在內(nèi)有2個(gè)極值點(diǎn)D．在區(qū)間上的最大值為2
【答案】ABC
【解析】對(duì)于AB，根據(jù)函數(shù)的部分圖象知，，
，，故AB正確，
對(duì)于C，由五點(diǎn)法畫圖知，，解得，
由于，所以，.
令，則，
時(shí)，，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在內(nèi)有2個(gè)極值點(diǎn)，分別為，，故C正確，
對(duì)于D，，可得：，
故當(dāng)此時(shí)取最大值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.
11. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，、是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）則下列說法正確的是（ ）
A. 若、、三點(diǎn)共線，則的最小值為
B. 若，則的面積為
C. 若，則直線過定點(diǎn)
D. 若，過的中點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，易知拋物線的焦點(diǎn)為，
當(dāng)直線與軸重合時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，，
由韋達(dá)定理可得，，則，
易知，，所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，，可得，所以，，
則，所以，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，易知的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
設(shè)點(diǎn)、，由于直線不過原點(diǎn)，所以，，
聯(lián)立可得，，
由韋達(dá)定理可得，所以，，
因?yàn)?，則，解得，
所以，直線的方程為，故直線過定點(diǎn)，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，，所以，
因?yàn)?br>，
所以，則的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D對(duì)．
故選：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知A工廠庫(kù)房中的某種零件60％來自甲公司，正品率為90％；40％來自乙公司，正品率為95％，從庫(kù)房中任取一個(gè)這種零件，它是正品的概率為
【答案】0.92
【解析】因?yàn)锳工廠庫(kù)房中的某種零件60％來自甲公司，正品率為90％；40％來自乙公司，正品率為95％，
所以從庫(kù)房中任取一個(gè)這種零件，它是正品的概率為，
故答案為：0.92
13．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了“圓柱容球”定理.圓柱形容器里放一個(gè)球，該球頂天立地，四周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切），球的體積是圓柱體積的三分之二，球的表面積也是圓柱表面積的三分之二.在一個(gè)“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為
【答案】36π
【解析】可設(shè)球的半徑為，則根據(jù)題意可知圓柱的底面半徑也為，
圓柱的高等于直徑，即為，由球的體積為，
利用球的體積公式可得：，解得：，
再由圓柱的表面積公式得：
，
故答案為：36π.
14．已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】4
【解析】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得
，即，令得，
故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，
，此時(shí).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（13分）如圖，在平面內(nèi)，四邊形滿足，點(diǎn)在的兩側(cè)，，，為正三角形，設(shè).

(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)當(dāng)變化時(shí)，求四邊形面積的最大值.
【解析】（1）因?yàn)?，，?br>由余弦定理可得：.
（2）由余弦定理可得，
因?yàn)闉檎切?，所以?br>，
所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，
故當(dāng)時(shí)，四邊形面積的最大值為.
16．（15分）如圖，在四棱錐中，，，平面，，、分別是棱、的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)求平面與平面的夾角的正弦值．
【解析】（1）如圖所示，連接．

因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，，
所以四邊形是平行四邊形，
則．
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面．
（2）因?yàn)槠矫妫?br>平面,
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

由題中數(shù)據(jù)可得，，
，．
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得．
因?yàn)椋?
所以平面
平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則．
故，
即平面與平面的夾角的正弦值為．
17．（15分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，若的面積為，求直線的斜率.
【解析】（1）由橢圓的離心率為，得，
解得，
由橢圓過點(diǎn)，得，
聯(lián)立解得，
所以橢圓的方程為.
（2）依題意，直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，
，則，
由消去得，顯然，
則，
的面積
，
解得，
所以直線的斜率.

18．（17分）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2) 當(dāng)時(shí)（i）求的極值；
（ii）若的極小值小于0，求a的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，，
可得，，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，
所以切線方程為，即.
（2）（i）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥?br>令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無極大值.
（ii）由題意可得：，即，
構(gòu)建，則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價(jià)于，解得，
所以a的取值范圍為；
解法二：
由題意可得：，即，
構(gòu)建，
因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價(jià)于，解得，
所以a的取值范圍為.
19.本小題17分
已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)都有.
(1)寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在正整數(shù)，使得，求的值；
(3)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.
【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)都有，
故，，
令，可得，
所以.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以；
（2）由（1）得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，
.
綜上所述，；
若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，由，得，
解得（舍去）或；
若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，由，得，方程無解，
不合題意，舍去.
綜上，所求的值為2.
（3）由
現(xiàn)在我們來證明時(shí)，，
令，求導(dǎo)得，
所以在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，
結(jié)合當(dāng)時(shí)，，有，
所以Tn=b1+b2+b3+?+bn

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