A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)斜率的定義，由直線的斜率，即可求出傾斜角.
【詳解】設(shè)所求直線的傾斜角為，其中，
因?yàn)樵撝本€的斜率為，
所以，則.
故選：B.
2. 如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.
【詳解】依題意，
.
故選：B
3. 已知向量，是平面的兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量是直線的一個(gè)方向向量，則且是的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系，分別驗(yàn)證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.
【詳解】若平面，則，，，，故必要性滿足；
反之，若與平行，則，，并不能保證，故充分性不滿足；
所以且是的必要不充分條件.
故選：B
4. 從分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片中，無(wú)放回地隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是5的倍數(shù)的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用古典概型概率的計(jì)算公式即可求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可知，從6個(gè)數(shù)字中無(wú)放回地隨機(jī)抽取兩張，共有種，
若要是5的倍數(shù)，則兩張卡片中必有一張是5；
若第一張抽到的是5，共有5種抽法；若第二張抽到的是5，共有5種抽法；共10種抽法；
所以所求概率為.
故選：A
5. 美術(shù)繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法．三庭：將整個(gè)臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長(zhǎng)的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長(zhǎng)度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如圖，假設(shè)三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點(diǎn)，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（）
A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解
【詳解】解：如圖，以鼻尖所在位置為原點(diǎn)O，中庭下邊界為x軸，垂直中庭下邊界為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，
所以，
利用點(diǎn)斜式方程可得到直線：，整理為，
所以原點(diǎn)O到直線距離為，
故選:B
6. 已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個(gè)圖象中，的圖象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).
【詳解】由題給函數(shù)的圖象，可得
當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞增；
則單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為
故僅選項(xiàng)C符合要求.
故選：C
7. 四名同學(xué)各擲骰子5次，并各自記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，分別統(tǒng)計(jì)四名同學(xué)的記錄結(jié)果，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）
A. 平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B. 中位數(shù)為3，眾數(shù)為2
C. 中位數(shù)為3，方差為2.8D. 平均數(shù)為2，方差為2.4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意舉出特例，結(jié)合中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)以及方差公式，即可得出答案．
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，
平均數(shù)為：，
方差為，
可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差，
則平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)，一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D正確．
故選：D．
8. 過(guò)直線上一點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，，則四邊形的面積的最小值為（）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得圓C的圓心和半徑,由切線的性質(zhì)和四邊形的面積求法,結(jié)合勾股定理和點(diǎn)到直線的距離公式,計(jì)算可得所求最小值.
【詳解】由圓的方程可得：，則圓心為：，半徑
又
為圓的切線，則
又
當(dāng)四邊形的面積的取最小值時(shí)，最小
又垂直于直線時(shí)，最小
四邊形面積的最小值為：
故選：B
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分．在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9. 已知圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則（）
A. 兩圓的圓心距
B. 直線AB的方程為
C. 圓上存在兩點(diǎn)P和Q使得
D. 圓上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為
【答案】BD
【解析】
【分析】求出兩圓圓心距，可判斷A選項(xiàng)；將兩圓方程作差即得公共弦AB的方程，可判斷B選項(xiàng)；求出，可判斷C選項(xiàng)；求出圓上的點(diǎn)到直線的最大距離，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
所以，，A不正確；
對(duì)于B，將兩圓方程作差可得，
即得公共弦AB的方程為，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，所以，
對(duì)于圓上的任意兩點(diǎn)、，，C不正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，圓心到直線的距離的最大值為，D正確.
故選：BD.
10. 拋擲一黃一白兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用表示黃色骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，表示白色骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)的結(jié)果，該試驗(yàn)的樣本空間為，事件“關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根”，事件“”，事件“”，事件“”則（）
A. A與互斥B. A與對(duì)立
C. 與相互獨(dú)立D. 與相互獨(dú)立
【答案】BCD
【解析】
【分析】先用列舉法寫出一次試驗(yàn)的基本事件，再根據(jù)條件寫出事件包含的基本事件即可判斷出選項(xiàng)A和B的正誤；再利用古典概率公式和事件相互獨(dú)立的判斷方法逐一對(duì)選項(xiàng)C和D分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意得，
，
，
包含36個(gè)樣本點(diǎn).
對(duì)于選項(xiàng)A：由，得，
所以，，，，
共包含30個(gè)樣本點(diǎn)，
且，共包含6個(gè)樣本點(diǎn)，
因?yàn)椋訟與不互斥，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，?br>共包含18個(gè)樣本點(diǎn)，
且，共包含6個(gè)樣本點(diǎn)，
因?yàn)?，所以A與對(duì)立，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br>所以，故與相互獨(dú)立，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以?br>故與相互獨(dú)立，故正確.
故選：BCD.
11. 某短視頻平臺(tái)以講故事，贊家鄉(xiāng)，聊美食，展才藝等形式展示了豐富多彩新時(shí)代農(nóng)村生活，吸引了眾多粉絲，該平臺(tái)通過(guò)直播帶貨把家鄉(xiāng)的農(nóng)產(chǎn)品推銷到全國(guó)各地，從而推進(jìn)了“新時(shí)代鄉(xiāng)村振興”．從平臺(tái)的所有主播中，隨機(jī)選取300人進(jìn)行調(diào)查，其中青年人，中年人，其他人群三個(gè)年齡段的比例餅狀圖如圖1所示，各年齡段主播的性別百分比等高堆積條形圖如圖2所示，則下列說(shuō)法正確的有（）
A. 該平臺(tái)女性主播占比的估計(jì)值為0.4
B. 從所調(diào)查的主播中，隨機(jī)抽取一位參加短視頻剪輯培訓(xùn)，則被抽到的主播是中年男性的概率為0.7
C. 按年齡段把所調(diào)查的主播分為三層，用分層抽樣法抽取20名主播擔(dān)當(dāng)平臺(tái)監(jiān)管，若樣本量按比例分配，則中年主播應(yīng)抽取6名
D. 從所調(diào)查的主播中，隨機(jī)選取一位做為幸運(yùn)主播，已知該幸運(yùn)主播是青年人的條件下，又是女性的概率為0.6
【答案】AC
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，結(jié)合圖1和圖2求出三個(gè)年齡段中女性人數(shù)；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，求出相應(yīng)的概率；C選項(xiàng)，求出三個(gè)年齡段主播的比例，從而得到中年主播應(yīng)抽取的人數(shù)；D選項(xiàng)，設(shè)出事件，利用條件概率公式求出答案.
【詳解】A選項(xiàng)，由圖1可以看出選取300人中其他人群人數(shù)為，
青年人人數(shù)為，中年人人數(shù)為，
由圖2可以看出青年人中女性人數(shù)為，中年人中女性人數(shù)為，
其他人群中，女性人數(shù)為，
故該平臺(tái)女性主播占比的估計(jì)值為，A正確；
B選項(xiàng)，中年人中男性人數(shù)為，
故從所調(diào)查的主播中，隨機(jī)抽取一位參加短視頻剪輯培訓(xùn)，則被抽到的主播是中年男性的概率為，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，三個(gè)年齡段人數(shù)比例為青年主播，中年主播和其他人群主播比例為，
故用分層抽樣法抽取20名主播擔(dān)當(dāng)平臺(tái)監(jiān)管，若樣本量按比例分配，則中年主播應(yīng)抽取名，C正確；
D選項(xiàng)，從所調(diào)查的主播中，隨機(jī)選取一位做為幸運(yùn)主播，設(shè)幸運(yùn)主播是青年人為事件，隨機(jī)選取一位做為幸運(yùn)主播，設(shè)幸運(yùn)主播是女性主播為事件，
則，，，D錯(cuò)誤.
故選：AC
12. 如圖，棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)、滿足，，其中、，點(diǎn)是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 當(dāng)時(shí)，∥平面
B. 當(dāng)時(shí)，若∥平面，則的最大值為
C. 當(dāng)時(shí)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D. 過(guò)A、、三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形可以為矩形
【答案】ABC
【解析】
【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷AC選項(xiàng)；分別取、中點(diǎn)、，連接、、、、，，找出點(diǎn)P的軌跡，結(jié)合圖形求出的最大值，可判斷B選項(xiàng)；作出截面，分析截面的形狀，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、，
對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，則，
因?yàn)?，?br>設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，可得，
所以，則，
因?yàn)槠矫?，所以?dāng)時(shí)，∥平面，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，為中點(diǎn)，
分別取、中點(diǎn)、，連接、、、、，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以∥，
又因?yàn)椤吻?，則四邊形為平行四邊形，可得∥，
所以∥，
且平面，平面，所以∥平面，
同理可得，∥平面，
因?yàn)?，、平面，所以平面∥平面?br>當(dāng)點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)（異于點(diǎn)）時(shí)，則平面，則∥平面，
故點(diǎn)的軌跡為的邊（除去點(diǎn)），則，
同理可得，結(jié)合圖形可得，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，、分別為、的中點(diǎn)，如圖所示：
此時(shí)點(diǎn)、、，，
當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中，，
則，
因?yàn)?，則，解得，
設(shè)點(diǎn)的軌跡分別交棱、于點(diǎn)、，則、，
當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中，，
則，則，
設(shè)點(diǎn)的軌跡交棱于點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)的軌跡交棱于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妗纹矫?，平面平面?br>平面平面，所以∥，
同理可得∥，所以四邊形為平行四邊形，
且，，
因此點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度即為平行四邊形的周長(zhǎng)，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)截面交棱于點(diǎn)，連接、，由題意可知，截面與平面重合，
因?yàn)槠矫妗纹矫妫矫嫫矫妫?br>平面平面，所以∥，同理可得∥，
所以四邊形平行四邊形，
因?yàn)?，其中，則，，
且，即與不可能垂直，
所以平行四邊形不可能為矩形，即過(guò)A、、三點(diǎn)的截面不可能是矩形，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 若直線與直線平行，則______．
【答案】或1
【解析】
【分析】根據(jù)直線平行得到，解得答案并驗(yàn)證即可.
【詳解】直線與直線平行，則，
解得或，
當(dāng)或時(shí)，驗(yàn)證兩條直線不重合，
故答案為：或1.
14. 點(diǎn)，，，若在線段上，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】結(jié)合題意，利用,建立方程組解出即可.
【詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，則，
，
因?yàn)樵诰€段上，且滿足，
所以,即，
解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為：.
15. 已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).設(shè)直線與曲線與分別交于兩點(diǎn)，若對(duì)任意，均有成立，則的取值范圍為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】
【分析】把直線分別與曲線與的交點(diǎn)代入函數(shù)中，則由得，構(gòu)造新函數(shù)，使，均有成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即可.
【詳解】，且直線與曲線與分別交于兩點(diǎn)，
則，
，
，
當(dāng)時(shí)，令，
則，
由函數(shù)和（差）的單調(diào)性知在區(qū)間上單調(diào)遞增且有，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值也是最小值，最小值為.
對(duì)任意，均有成立，化為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于從直線與兩曲線的交點(diǎn)中解出，再構(gòu)造新函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求此函數(shù)的最值.
16. 已知函數(shù)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得切線方程為，將原點(diǎn)代入該切線方程求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到切線方程為，再設(shè)過(guò)原點(diǎn)的切線為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，求得切線為，設(shè)直線與的夾角為，結(jié)合，即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，可得，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，
設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切的直線方程為，
其中切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，
將原點(diǎn)代入該切線方程可得，即，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
可得，所以，切線方程為，
又由函數(shù)，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的切線方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
令，解得或（舍去），即切線方程為
設(shè)直線與的夾角為，直線的傾斜角為，
則，可得，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)均在的圖象上時(shí)，
，可得，所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；
3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見(jiàn)同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)或；
②，構(gòu)造函數(shù)或；
③，構(gòu)造函數(shù)或.
四、解答題（本大題共5小題，共70.0分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17. 文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者．某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽；從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；
（3）已知落在的平均成績(jī)是51，方差是7，落在的平均成績(jī)?yōu)?3，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差．
【答案】（1）0.030
（2）84（3）兩組市民成績(jī)的總平均數(shù)是59，總方差是37
【解析】
【分析】（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1即可求解；
（2）利用頻率分布直方圖及百分位數(shù)公式即可求得第75百分位數(shù)；
（3）將總體平均數(shù)代入總體方差公式即可求得總方差．
【小問(wèn)1詳解】
由每組小矩形的面積之和為1，
則，
解得．
【小問(wèn)2詳解】
結(jié)合（1）可得，
成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，
成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，
設(shè)第75百分位數(shù)為，
則，解得，
故第75百分位數(shù)為84．
【小問(wèn)3詳解】
由圖可知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，
成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，
故兩組成績(jī)的總平均數(shù)為，
設(shè)成績(jī)?cè)谥?0人的分?jǐn)?shù)分別為，，，…，；
成績(jī)?cè)谥?0人的分?jǐn)?shù)分別為，，，…，，
則由題意可得，，，
即，，
所以，
所以兩組市民成績(jī)的總平均數(shù)是59，總方差是37．
18. 如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，說(shuō)明理由？
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）不存在，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明即可.
（2）向量法求解平面與平面夾角的余弦值即可.
（3）設(shè)是線段上一點(diǎn)，則存在使得，利用線面平行的向量證法證明線面平行即可.
【小問(wèn)1詳解】
在中，．
所以，即；
又因?yàn)椋?br>在平面中，面，面，，
所以平面；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面平面，
平面，
所以平面，所以，
由（1）已證，且已知，
故以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
所以，，
，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
所以，
由知，
，
設(shè)平面的法向量為，
則即，令，則，
于是，
又因?yàn)橛桑?）已證平面，
所以平面的法向量為，
所以，
平面與平面夾角的余弦值；
小問(wèn)3詳解】
設(shè)是線段上一點(diǎn)，則存在使得，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面當(dāng)且僅當(dāng)，
即，
即，解得，
因?yàn)?，所以線段上不存在使得平面．
19. 如圖，公路圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中，在該塊土地中處有一小型建筑，經(jīng)測(cè)量，它到公路的距離分別為，現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)修建一條直線公路，將三條公路圍成的區(qū)域建成一個(gè)工業(yè)園.
（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）三條公路圍成的工業(yè)園區(qū)的面積恰為，求公路所在直線方程.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】(1)以為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)條件求出直線的方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，代點(diǎn)到直線的距離公式即可求出所求；
(2)由(1)及題意設(shè)出直線的方程后，即可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由
求得后，即可求解.
【詳解】(1)以為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸，
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系
由題意可設(shè)點(diǎn)，且直線的斜率為，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
故直線的方程為：，
又因點(diǎn)到的距離為，所以，解得或(舍去)
所以點(diǎn)坐標(biāo)為.
(2)由題意可知直線的斜率一定存在，故設(shè)其直線方程為：，
與直線的方程：，聯(lián)立后解得:，
對(duì)直線方程：，令，得，
所以，解得，
所以直線方程為：，即:.
【點(diǎn)睛】本題以直線方程的相關(guān)知識(shí)為背景，旨在考查學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.
20. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，使得．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性最值得關(guān)系證明不等式能成立問(wèn)題.
【小問(wèn)1詳解】
易知，,
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在處取得最小值，
若，使得，只需，
令，由，
可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，，
所以，，使得．
21. 已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，且離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓和圓：．過(guò)點(diǎn)作直線和，且兩直線的斜率之積等于1，與圓相切于點(diǎn)，與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解；
（2）設(shè)的斜率為，得到的方程為，的方程為，根據(jù)題意，得到，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，將代入上式，得出的不等式，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：由橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為，
可得，解得，，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
解：由題意，兩直線、的斜率均存在，且兩直線的斜率之積為1，
設(shè)的斜率為，則的斜率為，
則直線的方程為，即，
直線的方程為，即，
因?yàn)榕c圓相切于點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，
由，整理得，
所以，化簡(jiǎn)得，，
由，可得，
代入上式化簡(jiǎn)得，，解得，
又因?yàn)?，可得，得?br>所以的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】方法策略：解答圓錐曲線最值與范圍問(wèn)題的方法與策略：
（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決；
（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍；
3、涉及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題：通常設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)抓住直線與圓錐曲線的幾何特征應(yīng)用.
22. 已知函數(shù)，其中且．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”求函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；
（3）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．
【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
（2）答案見(jiàn)解析；（3）且.
【解析】
【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）記，利用導(dǎo)數(shù)得在和上均單調(diào)遞增．記，對(duì)分討論，結(jié)合零點(diǎn)定理求函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；
（3）記，利用（1）得出的單調(diào)性和值域，然后分和兩種情況，結(jié)合（2）中不動(dòng)點(diǎn)的范圍對(duì)進(jìn)行分析即可
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽．
，令，得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)即為方程的根，即方程的根．
顯然，不是方程的根，所以．
記，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），所以在和上均單調(diào)遞增．
由，記．
①當(dāng)時(shí)，
（?。┊?dāng)時(shí)，，
（可設(shè)
當(dāng)，當(dāng)，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以），
存在，使得，即存在唯一使得；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
（設(shè)
當(dāng)，當(dāng)，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以），存在，使得，即存在唯一使得．
②當(dāng)時(shí)，
（?。┊?dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，存在，使得，即存在唯一使得?br>綜上所述，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”．
【小問(wèn)3詳解】
記，由（1）知，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)趨向于無(wú)窮時(shí)，的增長(zhǎng)速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一次函數(shù)的增長(zhǎng)速率，則．
當(dāng)，由（2）知
（其中）．
由，代入得．
因?yàn)?，所以此時(shí)只有一個(gè)解；
因?yàn)?，所以此時(shí)有兩個(gè)解，
故共有三個(gè)解，不滿足題意；
當(dāng)，由（2）知
由，代入得，
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解，不滿足題意，此時(shí)；
時(shí)，共有兩個(gè)解，滿足題意，
綜上所述，當(dāng)且時(shí)方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．

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