1．已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足：，則在復(fù)平面上復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．若圓錐的表面積為，底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
3．已知是兩條直線，是一個(gè)平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則B．若，則
C．若，則D．若，則
4．已知空間向量，，，若，則（ ）
A．B．C．D．
5．正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則棱臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
6．在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（ ）
A．B．C．D．
7．在棱長(zhǎng)為的正方體中，滿足，，則二面角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．三棱錐，平面，，且，則三棱錐的外接球表面積是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．在中，的對(duì)邊分別為，若，則的值可以為（ ）
A．B．C．D．
10．下列命題中成立的是（ ）
A．，
B．，且
C．，，且，
D．，
11．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．直線與是平行直線
B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為
D．平面截正方體所得的截面面積為
三、填空題
12．直線的傾斜角大小為 .
13．如圖，已知長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)，則點(diǎn)到棱的距離是
14．設(shè)表示兩個(gè)平面，表示直線，表示三個(gè)不同的點(diǎn)，給出下列命題：
①若，則；
②不重合，若，則；
③若，則；
④若，且不共線，則與重合.
其中假命題的序號(hào)是 .
四、解答題
15．已知直線l過點(diǎn)，根據(jù)下列條件分別求直線l的方程：
(1)直線l的傾斜角為45°；
(2)直線l在x軸、y軸上的截距相等．
16．在中，角所對(duì)的邊分別是，在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，解答下列問題，三個(gè)條件為：
①；②；③.
(1)求角的大?。?br>(2)若，求的值.
17．已知在正四棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求異面直線與所成角的大??；
(3)求三棱錐的體積.
18．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)．

(1)證明：直線平面；
(2)是否存在點(diǎn)，使直線平面？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
仁懷市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題
參考答案：
1．D
【分析】先求出并化簡(jiǎn)，從而確定復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而判斷其位于第四象限.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以復(fù)平面上復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，
故選.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.
2．C
【分析】由圓錐表面積公式可得母線長(zhǎng)，即可得圓錐的高，然后可得圓錐體積.
【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h.
由題，，則.
則圓錐體積為.
故選：C
3．C
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解.
【詳解】對(duì)于A，若，，則平行或相交，不一定垂直，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，若，則或，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，，過作平面，使得，
因?yàn)?，故，而，故，故，故C正確.
對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
4．C
【分析】根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為0求參數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以.
故選：C
5．B
【分析】先求棱臺(tái)的斜高，然后利用側(cè)面積公式進(jìn)行求解.
【詳解】由題意，正四棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形，且其上?下底面邊長(zhǎng)分別為，腰長(zhǎng)為，所以斜高為.
所以側(cè)面積為().
故選：B.
6．D
【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.
【詳解】
如圖，連接，因?yàn)椤危?br>所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，
因?yàn)槠矫?，所以，又，?br>所以平面，所以，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，
，所以.
故選：D
7．A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法求得平面的法向量，進(jìn)而可得二面角余弦值.
【詳解】

分別以射線，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
由，，
所以，，，A10,0,3，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，
所以，
由圖可知二面角為銳角，
則二面角的余弦值為，
故選：A.
8．A
【分析】先由線面垂直的性質(zhì)判斷線線垂直，得出為直角三角形，為直角三角形，判斷出球心的位置；再根據(jù)勾股定理算出球半徑；最后根據(jù)球的表面積公式計(jì)算即可.
【詳解】
取中點(diǎn)，連接，.
，
.
平面，平面，平面，
，.
又 ，
平面.
又平面，
.
為直角三角形，為直角三角形.
則.
所以三棱錐的外接球的球心為，半徑為.
，且，
，.
.
所以三棱錐的外接球表面積是.
故選：A
9．AB
【分析】利用正弦定理角化邊得到，利用余弦定理后，即可求得的范圍.
【詳解】由及正弦定理，得，
由余弦定理得，所以．
故選：AB
10．BCD
【分析】利用平面的公理直接判斷求解．
【詳解】對(duì)于A：若，，則或與異面、或與相交，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由公理三知：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，
因?yàn)?，且，則，故B正確；
對(duì)于C：由公理一知：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)，
因?yàn)?，，且，，則，故C正確；
對(duì)于D：由平行公理得：平行于同一條直線的兩條直線互相平行，
因?yàn)?，，則，故D正確.
故選：BCD
11．BCD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷A、B、C，作出平面截正方體所得的截面即可求出面積判斷D.
【詳解】對(duì)于A，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，．
∵分別為棱的中點(diǎn)，∴、，
則，，∴和不共線，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，∵，，∴，
∴，∴直線與所成的角為，故B正確．
對(duì)于C，由于平面的一個(gè)法向量為，
，
∴，直線與平面所成的角為，故C正確；
對(duì)于D，連接，易知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，

∵棱長(zhǎng)為2，∴，，，
∴等腰梯形的高為，
∴，故D正確，
故選：BCD．
12．/
【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】由直線可知其斜率為，
所以其傾斜角滿足，所以.
故答案為：
13．5
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直性質(zhì)以及點(diǎn)線距離定義，可得答案.
【詳解】連結(jié)，如圖：
在長(zhǎng)方體中，由平面，平面，
所以，則點(diǎn)到棱的距離是，
在矩形中，.
故答案為：5
14．③
【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)對(duì)給出的四個(gè)命題分別進(jìn)行分析、判斷后即可得．
【詳解】對(duì)于①，根據(jù)公理1可知，所以①正確；
對(duì)于②，由題意得平面有公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知相交，
且，所以②正確；
對(duì)于③，由于，可得，所以③不正確；
對(duì)于④，由三點(diǎn)不共線可得確定一個(gè)平面，所以與重合，所以④正確．
綜上可得①②④正確，故假命題的序號(hào)是③．
故答案為：③.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）由點(diǎn)斜式即可求解；
（2）分截距是否為0進(jìn)行討論即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，直線l的傾斜角為45°；
所以所求為，即；
（2）當(dāng)直線l在x軸、y軸上的截距都為0時(shí)，所求為，
當(dāng)直線l在x軸、y軸上的截距都為時(shí)，設(shè)所求為，
由題意，解得符合題意，故所求為；
綜上所述，符合題意的直線方程為或.
16．(1)所選條件見解析，
(2)
【分析】（1）若選①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析求解；若選②：利用正弦定理邊化角即可結(jié)果；若選③：利用三角恒等變換分析求解；
（2）利用余弦定理分析求解.
【詳解】（1）若選①：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
且，則，可得，
且，所以；
若選②：因?yàn)?，由正弦定理可得?br>且，則，可得，
且，所以；
若選③：因?yàn)椋?br>則，可得
且，則，可得，
且，所以.
（2）由（1）可知：，
由余弦定理可得：，
又，
即，解得.
17．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，由線面平行的判定定理即可證明；
（2）由（1）可知為異面直線與所成角的平面角，利用勾股定理分別求出、、的值，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可．
（3）計(jì)算長(zhǎng)，證明平面，利用三棱錐體積轉(zhuǎn)化即可得三棱錐的體積.
【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，連接，則，
平面，平面，
平面；
（2）由（1）知，，
所以為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，
在中，，，
由余弦定理，得，
故異面直線與所成角的余弦值為；
（3）因?yàn)檎叫?，所以，且，?br>又在正四棱柱中，平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)槠矫?，所以平面?br>所以.
18．(1)證明見解析
(2)存在，.
【分析】（1）先確定截面，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明線面垂直.
（2）先確定截面，再根據(jù)線面平行確定點(diǎn)的位置.
【詳解】（1）如圖：

因?yàn)椋?，所以平面就是平?
在正方體中，平面，平面，所以，
又四邊形為正方形，所以，
又平面，平面，，所以平面.
（2）取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以平面就是平?
當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，平面，平面，
所以平面.
此時(shí).
故存在點(diǎn)，使直線平面，且.
19．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）通過和得到平面，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；
（Ⅱ）過點(diǎn)作，垂足為，連接，證得是二面角的平面角，在中先求出，然后在中求出結(jié)論.
【詳解】解：(Ⅰ)證明：在四棱錐中，因底面，平面，
故.由條件，，∴平面.
又平面，∴.
由，，可得.
∵是的中點(diǎn)，∴.
又，
綜上得平面;
（Ⅱ）過點(diǎn)作，垂足為，連接，
由（Ⅰ）知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則．
因此是二面角的平面角．
由已知，可得．
設(shè)，可得，，
，．
在中，∵，
∴，則 ，
在中，.
所以二面角的正弦值為.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
C
B
D
A
A
AB
BCD
題號(hào)
11









答案
BCD









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