2024-2025學(xué)年貴州省高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號框．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共19個小題，滿分150分，考試用時120分鐘．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，，則直線l的斜率為（）
A. B. C. 3D.
【正確答案】C
【分析】利用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算得解.
【詳解】由直線l經(jīng)過點(diǎn)，，得直線l的斜率.
故選：C
2. 已知集合，，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】根據(jù)必要不充分條件的判定方法進(jìn)行判斷.
【詳解】先看充分性：因?yàn)?，但，所以“”不是“”的充分條件；
再看必要性：因?yàn)?，，所以“”是“”的充分條件，即“”是“”的必要條件.
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
3. 已知數(shù)據(jù)，，…，的極差為4，方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的極差和方差分別是（）
A. 4，2B. 4，18C. 12，2D. 12，18
【正確答案】D
【分析】根據(jù)極差和方差的性質(zhì)運(yùn)算可得.
【詳解】新數(shù)據(jù)的極差是原數(shù)據(jù)極差的3倍，所以新數(shù)據(jù)的極差為：；
新數(shù)據(jù)的方程是原數(shù)據(jù)方差的倍，所以新數(shù)據(jù)的方差為.
故選：D
4. 在正方體中，直線與平面所成角的正切值為（）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】連接交于點(diǎn)，連接，易證平面，可得為直線與平面所成角，設(shè)正方體的棱長為，進(jìn)而結(jié)合勾股定理及直角三角形中正切函數(shù)的定義即可計(jì)算求解.
【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接，
在正方體中，，平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>又，平面，
所以平面，
所以為直線與平面所成角，
設(shè)正方體的棱長為，
則，則，
在中，.
故選：B.
5. 已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)的定義列方程，確定各函數(shù)零點(diǎn)的正負(fù)情況，即可比較的大小.
【詳解】顯然：函數(shù)，，在定義域內(nèi)都是增函數(shù)，
又，
而中的，
令，
，，的大小順序?yàn)椋海?br>故選：B．
6. 已知點(diǎn)，，，則在上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)投影向量的求法求得正確答案.
【詳解】,
所以在上的投影向量為.
故選：D
7. 若直線與圓有交點(diǎn)，則（）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，進(jìn)而可以列出不等式.
【詳解】的圓心為，半徑r=1，
圓心到直線的距離，
依題意，圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，
所以，即.
故選：A
8. 已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）
A. B. C. D. 12
【正確答案】C
【分析】令，利用判別式法即可.
【詳解】令，則，
由，
得，
整理得，，
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)滿足等式，
所以，
解得，
則的最大值為，此時，.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列命題中的真命題是（）
A. 若直線a不在平面內(nèi)，則a∥
B. 若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l∥
C. 若l∥，則直線l與平面內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)
D. 平行于同一平面的兩直線可以相交
【正確答案】CD
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB錯誤，C正確，在長方體中，存在與相交，且都與平面平行，可得D正確.
【詳解】對于A，直線a不在平面內(nèi)，直線a也可能與平交，故A是假命題；
對于B，直線l與平交時，l上也有無數(shù)個點(diǎn)不在平面內(nèi)，故B是假命題；
對于C，l∥時，l與沒有公共點(diǎn)，所以l與內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn)，故C是真命題；
對于D，在長方體中，與都與平面平行，且與相交，故D是真命題.
故選：CD
10. 甲、乙兩人各投籃1次，已知甲命中的概率為，乙命中的概率為，且他們是否命中相互獨(dú)立，則（）
A. 恰好有1人命中的概率為B. 恰好有1人命中的概率為
C. 至多有1人命中概率為D. 至少有1人命中的概率為
【正確答案】BD
【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法計(jì)算公式求得正確答案.
【詳解】對于AB，由題意，恰好有1人命中的概率為，故A錯誤，B正確；
對于C，至多有1人命中包含0人命中和恰好1人命中，
因此至多有1人命中的概率為，故C錯誤；
對于D，至少有1人命中包含恰好1人命中和2人都命中，
因此至少有1人命中的概率為，故D正確.
故選：BD.
11. “曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)，的曼哈頓距離為.在此定義下以下結(jié)論正確的是（）
A. 已知點(diǎn)，，滿足
B. 已知點(diǎn)，滿足的點(diǎn)軌跡圍成的圖形面積為2
C. 已知點(diǎn)，，不存在動點(diǎn)滿足方程：
D. 已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值為
【正確答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)：根據(jù)定義計(jì)算即可；
B選項(xiàng)：根據(jù)定義得到，分類討論的正負(fù)得到軌跡圖形，然后求面積即可；
C選項(xiàng)：根據(jù)定義得到，然后利用特殊值的思路判斷即可；
D選項(xiàng)：根據(jù)幾何的思路得到當(dāng)垂直直線，平行x軸時，最小，然后求最小值即可.
【詳解】A選項(xiàng)：由題意得，故A正確；
B選項(xiàng)：設(shè)，，
當(dāng)，時，；
當(dāng)，時，；
當(dāng)，時，；
當(dāng)，時，；
所以點(diǎn)的軌跡圍成的圖形是以為邊長的正方形，所以面積為2，故B正確；
C選項(xiàng)：，當(dāng)時，所以存使，故C錯；
D選項(xiàng)；如圖，
過點(diǎn)作平行于x軸的直線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，表示的長度，因?yàn)橹本€的方程為，所以，，即，，
當(dāng)固定點(diǎn)時，為定值，此時為零時，最小，即平行于x軸，所以當(dāng)垂直直線時，最小，如下圖所示，
此時，，根據(jù)直線的斜率為-2，得，所以，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)虛部是______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而結(jié)合虛部的定義求解即可.
【詳解】由，
則復(fù)數(shù)的虛部是.
故答案為.
13. 若向量，則稱為在基底下的坐標(biāo)．已知向量在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為______．
【正確答案】
【分析】結(jié)合題意，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而求得坐標(biāo).
【詳解】由題意，，
設(shè)，
則，解得，
則，
所以在基底下的坐標(biāo)為.
故答案為.
14. 已知某三棱臺的高為，上、下底面分別為邊長為和的正三角形，若該三棱臺的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為__________．
【正確答案】
【分析】求出三棱臺上下底面正三角形外接圓的半徑，確定球心位置，結(jié)合球的截面圓性質(zhì)求出球半徑，再由球的表面積公式可得結(jié)果.
【詳解】依題意，該三棱臺為正三棱臺，設(shè)為三棱臺，如圖，
上底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，
下底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，
由正三棱臺的性質(zhì)知，其外接球的球心在直線上，令該球半徑為，
于是，或，解得，
所以球的表面積是．
故
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)，，．
（1）求函數(shù)的定義域A；
（2）實(shí)數(shù)，且，求的值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)有意義求解定義域即可；
（2）結(jié)合（1）可知，，，進(jìn)而代值計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由題意，，
由，解得，
則函數(shù)的定義域?yàn)?
【小問2詳解】
由（1）知，，
又，則，
則，
所以
16. 記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知向量，，其中，．
（1）求角；
（2）若是銳角三角形，求的周長的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)，可得，結(jié)合為三角形內(nèi)角，可求角.
（2）利用正弦定理表示出，結(jié)合輔助角公式和角的取值范圍，可求的取值范圍，進(jìn)而求出三角形周長的取值范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)椋裕?br>所以,
又為三角形內(nèi)角，所以.
【小問2詳解】
由正弦定理：，
所以，.
又是銳角三角形，且，所以，且.
所以.
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以的周長.
17. 設(shè)圓C的半徑為r，圓心C是直線與直線的交點(diǎn).
（1）若圓C過原點(diǎn)O，求圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)M，使，求r的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出圓C的圓心和半徑，即可求得答案；
（2）先求出點(diǎn)M的軌跡方程，判斷該軌跡和圓C有交點(diǎn)，即可列出不等關(guān)系，求得答案.
【小問1詳解】
由得，
所以圓心，
又∵圓C過原點(diǎn)O，∴，
∴圓C的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，由，得，
化簡得，
∴點(diǎn)M在以為圓心，半徑為2的圓上.
又∵點(diǎn)M在圓上，
故圓與有交點(diǎn)，
∴，即，
即.
18. 如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動點(diǎn)，Q為棱的中點(diǎn)．
（1）設(shè)平面平面，若P為的中點(diǎn)，求證：；
（2）設(shè)，問線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由．
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）存在，.
【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，易證四邊形為平行四邊形，可得，進(jìn)而得到平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)求證即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量及平面列出方程組求解即可.
【小問1詳解】
證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)镻為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，
所以，，，
在直三棱柱中，，，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
則，又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以.
【小問2詳解】
在直三棱柱中，平面，，
故可以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?br>所以，
則，，
又，則，
所以，
若平面，則，
則，解得，
所以線段上存在點(diǎn)P，使得平面，此時.
19. 材料：我們把經(jīng)過兩條直線：，：的交點(diǎn)的直線方程叫做共點(diǎn)直線系方程，其交點(diǎn)稱作共點(diǎn)直線系方程的“共點(diǎn)”，共點(diǎn)直線系方程也可表示為：（其中，且該方程不表示）．
問題：已知圓M：．求：
（1）求共點(diǎn)直線系方程的“共點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)為第（1）問中的“共點(diǎn)”，點(diǎn)N為圓上一動點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）若有唯一一組非零實(shí)數(shù)對滿足關(guān)于實(shí)數(shù)的方程：．設(shè)過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，求直線的方程．
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）解方程組可得點(diǎn)坐標(biāo).
（2）確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓外的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離的最值可求解.
（3）把轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和到直線的距離相等，根據(jù)非零實(shí)數(shù)對唯一存在可求的值，進(jìn)而確定的值；再判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可確定過點(diǎn)的弦長最短時，直線所在的方程.
【小問1詳解】
由.
所以“共點(diǎn)”的坐標(biāo)為：
【小問2詳解】
圓：，所以圓心，半徑，
由，
所以點(diǎn)在圓外.
所以.
【小問3詳解】
由得：點(diǎn)和到直線的距離相等.
所以直線過的中點(diǎn)或與直線平行或重合，又非零實(shí)數(shù)對唯一存在，所以就是直線.
所以.
因?yàn)椋?，所以點(diǎn)在圓內(nèi).
因?yàn)?，所以?dāng)最小時，直線的方程為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，把轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)、到直線的距離，進(jìn)而得：直線可能過已知兩點(diǎn)的中點(diǎn)，或與過兩點(diǎn)的直線平行或重合，再根據(jù)實(shí)數(shù)對存在的唯一性，所以直線就是過、的直線，所以.

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