重慶市求精中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（考試時間120分鐘，總分150分）
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 下列關(guān)系中正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由元素與集合的關(guān)系，逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C錯誤；
，故D正確；
故選：D
2. 命題，，則命題的否定形式是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得到結(jié)論．
【詳解】命題，，為全稱量詞命題，
則該命題的否定為：，.
故選：C．
3. 不等式的解集是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)無理不等式的解法列出不等式組解之可得答案.
【詳解】由題意得
，解得，
故選：C.
【點睛】本題考查無理不等式的解法，對于型，可以轉(zhuǎn)化為去解，考查了學(xué)生的計算能力.
4. 下列各組函數(shù)中f（x）和表示相同函數(shù)的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)相等：對應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，逐項分析判斷.
【詳解】對A：的定義域為R，的定義域為，則兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，定義域不相同，A錯誤；
對B：∵，解得或，則的定義域為，
又∵，解得，則的定義域為，
則兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，定義域不相同，B錯誤；
對C：的定義域為R，的定義域為R，則兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不相同，定義域相同，C錯誤；
對D：的定義域為R，的定義域為R，則兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，D正確；
故選：D.
5. 已知實數(shù)，則函數(shù)的最小值為（）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】配湊后，根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】實數(shù)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
函數(shù)的最小值為6.
故選：B.
6. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】令，則，
隨的增大而增大，要使在上單調(diào)遞增，
只需上單調(diào)遞增，則有，所以．
故選：A.
7. 求精中學(xué)為豐富學(xué)生們的課余生活，開展了多種多樣的學(xué)生社團活動，其中心理社，動漫社和地理社最受歡迎，高一某班有35名學(xué)生參加了這三個社團，其中有19人參加了心理社，有16人參加了地理社，有15人參加了動漫社，有6人參加了心理社和地理社，有5人參加了地理社和動漫社，已知每人至少都參加了一個社團，沒有人同時參加三個社團，則只參加了一個社團的同學(xué)有（）人
A. 16B. 18C. 20D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)容斥原理，結(jié)合集合的運算即可求解.
【詳解】設(shè)心理社A，地理社為B，動漫社為C，
則，
，
得
即，得，
所以只參加一個社團的人數(shù)共有.
故選：C
8. 設(shè)是偶函數(shù)，且對任意的、，有，，則的解集為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，由可得，分、兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出原不等式的解集.
【詳解】對任意的、，有，
不妨設(shè)，則，，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
又因為函數(shù)為偶函數(shù)，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，
因為，則，
由知，
當(dāng)時，，可得；
當(dāng)時，，可得，
所以，不等式的解集為.
故選：D.
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 對于任意實數(shù)，，，，下列四個命題中為假命題的是（）
A. 若，，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，，則
【答案】AD
【解析】
【分析】利用特殊值判斷A、D，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B、C.
【詳解】對于A ，當(dāng)時，滿足條件，，但是，所以A為假命題；
對于B，因為，所以，所以，所以成立，所以B為真命題；
對于C，因為，所以且，所以，所以C為真命題；
對于D，當(dāng)，，，時，滿足條件，，但是，所以D為假命題．
故選：AD．
10. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（）
A. 函數(shù)為增函數(shù)B. 函數(shù)為偶函數(shù)
C. 當(dāng)時，D. 當(dāng)時，
【答案】ACD
【解析】
【分析】設(shè)冪函數(shù)的解析式，代入點，求得函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷A、C項，根據(jù)函數(shù)的定義域可判斷B項，結(jié)合函數(shù)的解析式，利用平方差證明不等式可判斷D項.
【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以，
所以的定義域為，在上單調(diào)遞增，故A正確，
因為的定義域不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯誤，
當(dāng)時，，故C正確，
當(dāng)時，，
又，所以，D正確．
故選：ACD.
11. 某同學(xué)在研究函數(shù)時，分別給出下面幾個結(jié)論，則正確的結(jié)論有（）
A. 等式對x∈R恒成立；
B. 若，則一定有；
C. 若，方程有兩個不等實數(shù)根；
D. 函數(shù)在R上有三個零點．
【答案】AB
【解析】
【分析】對于A，通過判斷函數(shù)的奇偶性進行判斷，對于B，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性分析判斷，對于C，由的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的值域分析判斷，對于D，由的奇偶性和單調(diào)性分析判斷.
【詳解】對于A，因為，
所以是奇函數(shù)，故對恒成立，所以A正確；
對于B，當(dāng)時，，因為在上遞減，
所以在上遞增，
因為是奇函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，
而，的圖象連續(xù)，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，則一定有成立，所以B正確；
對于C，因為，所以為偶函數(shù)，
當(dāng)時，，因為在為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，
因為，所以，所以，則，
因為，為偶函數(shù)，所以，
所以當(dāng)時有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)時不可能有兩個不等的實數(shù)根，所以C錯誤；
對于D，因為，所以為奇函數(shù)，
當(dāng)時，，
因為為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，
因為，所以函數(shù)在R上有一個零點，所以D錯誤；
故選：AB．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合問題，考查函數(shù)與方程，解題的關(guān)鍵是對函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的正確判斷，然后利用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)求解，考查計算能力，屬于較難題.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 計算：______.
【答案】
【解析】
【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可求解.
【詳解】;
故答案為：
13. 已知，則的解析式________．
【答案】
【解析】
【分析】由，得到，聯(lián)立求解.
【詳解】解：因為，
所以，
兩式聯(lián)立解得：，
故答案為：
14. 設(shè)函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，.若存在，使得有解，則實數(shù)的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)，可知，可得函數(shù)解析式并畫出函數(shù)圖象，由圖象可得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】根據(jù)，可知，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，所以，
此時恒成立
畫出局部函數(shù)圖象如圖所示：
當(dāng)時，，解得：或，
要存在，使得有解，只需，
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)
（1）求；
（2）若，求a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由分段函數(shù)解析式，代入計算，即可求解；
（2）根據(jù)題意，由分段函數(shù)解析式列出不等式，代入計算，即可求解.
【小問1詳解】
函數(shù)，則，
所以.
【小問2詳解】
函數(shù)，
由可得或或，
解得或或，
所以a的取值范圍是.
16. 集合.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要條件，求的范圍.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出集合A，B，再求兩集合的交集即可；
（2）求出集合A的補集，由是的充分不必要條件，可得，從而得，解不等式組可得答案
【詳解】（1）由得即，解得或，
所以或；
當(dāng)時，，由得，即，
所以，
所以或.
（2）∵或，∴，
由，得，∴
是的充分不必要條件
∴，
∴，解得，
∴的范圍為
17. 設(shè)，函數(shù).
（1）若函數(shù)y=fx是奇函數(shù)，求的值；
（2）若，求函數(shù)的定義域和值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可得，建立方程，解之可得，驗證即可；
（2）由題意可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
若為奇函數(shù)，則，
得，整理得，解得.
經(jīng)檢驗，當(dāng)時，符合題意.
所以.
【小問2詳解】
當(dāng)時，，
由，得，即的定義域為；
，
又，所以，
令，則，得，
解得或，
即的值域為.
18. 已知.
（1）若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若，解不等式.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為解集為R，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出實數(shù)a的取值范圍；
（2），分，，，得到不等式的解集.
【小問1詳解】
對一切實數(shù)x恒成立，
則，所以不等式的解集為R，
當(dāng)時，不等式為，解集為R；符合題意；
當(dāng)時，則，解得
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
【小問2詳解】
，即，
若，則，解集為，
若，則，解集為或x>1
若，所以，因為，
所以，當(dāng)時，，解集為，
當(dāng)時，，解集為，
當(dāng)時，，解集為，
綜上：當(dāng)，的解集為或x>1；
當(dāng)，的解集為；
當(dāng)時，的解集為；
當(dāng)時，的解集為；
當(dāng)時，的解集為.
19. 已知真命題：“函數(shù)y=fx圖象關(guān)于點成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)是奇函數(shù)”.
（1）將函數(shù)的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)圖象對稱中心的坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)圖象對稱中心的坐標(biāo)；
（3）已知命題：“函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)和，使得函數(shù)是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設(shè)的真命題對它進行修改，使之成為真命題.（不必證明）
【答案】（1）
（2）
（3）此命題為假，理由見解析，修改后的命題見解析
【解析】
【分析】（1）先寫出平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，整理得，為奇函數(shù)，利用題設(shè)即可下結(jié)論．
（2）設(shè)的對稱中心為，由題設(shè)知是奇函數(shù)，從而求出的值，即可得出圖象對稱中心的坐標(biāo)．
（3）此命題是假命題．舉反例說明：函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖象，但是對任意實數(shù)，函數(shù)總不是偶函數(shù)．修改后的真命題：“函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)是偶函數(shù)”．
【小問1詳解】
平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為，
整理得，為奇函數(shù)，
由題設(shè)真命題知，函數(shù)圖象對稱中心的坐標(biāo)是．
【小問2詳解】
設(shè)的對稱中心為，由題設(shè)知函數(shù)是奇函數(shù)．
設(shè)，
則，
由不等式的定義域為，關(guān)于原點對稱，則，得．
此時（）．
任取，由，即，
解得，
所以函數(shù)圖象對稱中心的坐標(biāo)是．
【小問3詳解】
此命題假命題．
舉反例說明:函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖象，
但是對任意實數(shù)，函數(shù)，即總不是偶函數(shù)．
修改后的真命題:“函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)是偶函數(shù)”．
【點睛】方法點睛：
學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運用學(xué)過的知識，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).

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