考試說(shuō)明：1.考試時(shí)間120分鐘
2.試題總分150分
3.試卷頁(yè)數(shù)4頁(yè)
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的共軛求解即可.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以.\
故選:A.
2. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)左焦點(diǎn)，作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.
【詳解】由橢圓的定義得，，
則的周長(zhǎng)為.
故選：A.

3. 在空間中，若向量，，共面，則（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量共面則存在唯一的使得，列出等式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】若向量，，共面，則
，
即，解得：.
故選：C
4. 空間內(nèi)有三點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A. B. C. 2.D.
【答案】D
【解析】
【分析】計(jì)算向量，以及向量的單位方向向量，利用空間向量點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?，，所以?br>所以直線的一個(gè)單位方向向量為，
又，
所以點(diǎn)到直線的距離為.
故選：D
5. 已知圓，直線.則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圓心到直線的距離,再利用弦長(zhǎng)公式求解即可.
【詳解】圓心,半徑,
圓心到直線的距離為,
所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.
故選：C.
6. 在三棱錐中，為的重心，，，，其中，，若交平面于點(diǎn)，且，則的取值范圍為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】應(yīng)用四點(diǎn)共面定理可知，若四點(diǎn)共面，則可用表示，且系數(shù)和為1，通過(guò)條件表示向量，可得的關(guān)系，代入計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】連結(jié)并延長(zhǎng)交于，因?yàn)橹匦模瑒t為中點(diǎn)，
，
，
四點(diǎn)共面，則，即，
因，所以，解得：，
，，，
即，
故選：A
【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：若四點(diǎn)共面，且面外一點(diǎn)，則可用表示且系數(shù)和為1.
7. 圓，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，那么的最小值是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】的最小值滿足四邊形的面積最小，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)PC最小時(shí)滿足條件，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算PC，求出，可計(jì)算結(jié)果.
【詳解】圓的圓心，半徑為，
如圖所示： ，
當(dāng)最小時(shí)四邊形面積最小，因?yàn)?，所以?dāng)四邊形面積最小時(shí)最小，
，
所以只需直線上的動(dòng)點(diǎn)到的距離最小即可，其最小值為圓心到直線的距離，
此時(shí)，
.
故選：B
8. 在中，，，，則的最大值為（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，利用余弦定理與正弦定理可得、、，再借助向量線性運(yùn)算及模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系可用、表示出，再利用三角形內(nèi)角和與三角恒等變換公式可將表示為正弦型函數(shù)，再結(jié)合的范圍計(jì)算即可得解.
【詳解】由，，則，，
在中，有，
即，即，
有，
故，，
，
則
，
其中，，
則當(dāng)，即時(shí)，有最大值，
由，則，由，則，
故可取，故有最大值.
故選：D
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求三角形有關(guān)代數(shù)式最值是一種常見(jiàn)的類型，主要方法有兩類：
（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來(lái)求解；
（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分或3分）
9. 下列說(shuō)法正確的為（ ）
A. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為
B. 方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，則
C. 向量，向量，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為
D. 圓與圓的公切線有2條
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)A：由關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可得；對(duì)B：由焦點(diǎn)在軸的橢圓定義計(jì)算即可得；對(duì)C：結(jié)合空間向量的投影向量定義計(jì)算即可得；對(duì)D：計(jì)算出兩圓的位置關(guān)系即可得公切線條數(shù).
【詳解】對(duì)A：點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：若方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，則有，
解得，即，故B正確；
對(duì)C：，
則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為，故C正確；
對(duì)D：圓與圓的圓心分別為、，半徑分別為、，
則有，，，
則，故圓與圓相交，
故圓與圓的公切線有2條，故D正確.
故選：BCD.
10. 已知圓，直線.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 點(diǎn)，為圓上兩點(diǎn)，，關(guān)于直線對(duì)稱，則
B. 當(dāng)時(shí)，圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于
C. 若動(dòng)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為
D. 直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A， 根據(jù)題意，由圓心在直線上求解判斷；對(duì)于B，由圓心到直線的距離判斷；
對(duì)于C.，設(shè)，Mx,y，由題意得，解得，代入圓的方程求解判斷；
對(duì)于D，利用數(shù)形結(jié)合法求解判斷.
【詳解】圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，
對(duì)于A ，因?yàn)辄c(diǎn)，為圓上兩點(diǎn)，且，關(guān)于直線對(duì)稱，
所以圓心在直線上，故，解得，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，
所以圓與直線相交，且，
則圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)，Mx,y，由題意得，
解得，因?yàn)辄c(diǎn)圓上，
代入化簡(jiǎn)得，故C正確；
對(duì)于D，曲線曲線方程可化為，，
該曲線表示以為圓心，半徑為的圓在軸的上半部分，
如圖所示：
令圓心到直線的距離為，解得，
又直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)，則，即，
所以若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D正確；
故選：ACD
11. 正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為正方形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)與重合時(shí)，平面
B. 當(dāng)時(shí)，的最大值為
C. 當(dāng)時(shí)，的軌跡長(zhǎng)度為
D. 若，則與平面所成角正弦值的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)A，通過(guò)證明線面垂直得到，，進(jìn)而證明平面；對(duì)B，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，可得，利用向量模的公式求解判斷；對(duì)C，取的中點(diǎn)，則平面，由條件可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，求解判斷；對(duì)D，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法求解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)與重合時(shí)，如圖，連接，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又，平面，，
所以平面，平面，則，
同理，，且是平面內(nèi)兩條相交直線，
所以平面，即平面，故A正確；
對(duì)于B，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，設(shè)，，，
，，當(dāng)時(shí)，
所以，即，
所以，
，，故的最大值為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以在以為球心，為半徑的球上?br>又為側(cè)面上的點(diǎn)，所以在球被平面截得的交線上，
取的中點(diǎn)，則平面，，，
所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，如圖所示，的軌跡長(zhǎng)度為.
故C正確；
對(duì)于D，如圖，，，，
因?yàn)?，設(shè)，，則，
由選項(xiàng)A，同理可證平面，且，
設(shè)與平面所成角為，
則
，，
，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題（本大題有3小題，每小題5分，共15分.）
12. 已知直線的方程為，則直線的傾斜角為___________
【答案】
【解析】
【分析】計(jì)算出斜率后，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系計(jì)算即可得.
【詳解】由可得直線的斜率為，則直線的傾斜角為.
故答案為：.
13. 在三棱錐中，，，，則該三棱錐的體積為________
【答案】##
【解析】
【分析】求出平面的一個(gè)法向量，利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，的面積，運(yùn)算得解.
【詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得，
所以，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
又
，
所以該三棱錐的體積為.
故答案為：.

14. 已知Ax1,y1在曲線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為______
【答案】
【解析】
【分析】分和兩種情況討論，得到不同情況時(shí)曲線所表示的軌跡及軌跡方程，數(shù)形結(jié)合即可求解的范圍.
【詳解】因?yàn)?
①當(dāng)時(shí)，曲線的方程為:
即,即,此時(shí),所以
即,解得,所以曲線是右半橢圓;
②當(dāng)時(shí),曲線的方程為:，
即,即
此時(shí),由得;
由，即,得,得;
由，解得或;
綜上所述：，
曲線是以為圓心,2為半徑的圓在軸左側(cè)的部分，如圖所示：
表示點(diǎn)Ax1,y1和點(diǎn)的距離及點(diǎn)Ax1,y1和點(diǎn)的距離的和；
當(dāng)點(diǎn)位于橢圓部分時(shí),由橢圓的定義可知；
當(dāng)點(diǎn)位于圓部分時(shí),因?yàn)閳A心,半徑，所以，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，,
此時(shí),
終上所述：當(dāng)Ax1,y1在曲線上時(shí)，,
故答案為：
四、解答題（本大題共5題，共77分，15題13分，16、17題15分，18、19即17分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15. （1）若直線和直線平行，求的值及到的距離.
（2）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1），，（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行的充要條件求出，再利用兩平行線間距離公式求解；
（2）求出方程，設(shè)出根據(jù)對(duì)稱性列式運(yùn)算得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得?br>所以，，
所以與的距離為.
（2）因?yàn)?，所以直線的方程為，即，
設(shè)，則，解得，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為.
16. 已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上.
（1）求圓的方程.
（2）斜率為2的直線與圓交于，兩點(diǎn)，，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出線段的垂直平分線方程，與已知直線方程聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)及半徑，即得圓的方程.
（2）根據(jù)題意可得圓心到直線的距離為1，設(shè)出直線的方程運(yùn)算得解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，中點(diǎn)為，直線的斜率為，
則線段的垂直平分線方程為，
圓心在線段的垂直平分線上，由，解得，
所以圓心得坐標(biāo)為，半徑為，
所以圓方程為.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，可得圓心到直線的距離為1，
設(shè)直線的方程為，
則，解得，
所以直線的方程為或.

17. 已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，點(diǎn)在上，為橢圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
（1）求的方程.
（2）當(dāng)時(shí)，求的面積.
（3）求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，點(diǎn)，知的值，再由得，即可得到橢圓方程；
（2）在中，結(jié)合橢圓的定義及余弦定理可得，進(jìn)而求得的面積.
（3）設(shè)，表示的坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的有界性即可求出的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
（1）由題設(shè)得到，且，即 ，∴,
故橢圓方程為：.
【小問(wèn)2詳解】
∵為橢圓的一點(diǎn)，
∴，平方得 ①，
在中，由余弦定理，得，
即 ②，
由，得，即，
所以的面積.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)，則，所以，.
因?yàn)椋?，
.
∵，∴.
所以的取值范圍是.

18. 如圖，四棱錐，底面為菱形，，且均為銳角，，
（1）求證:
（2）當(dāng)四棱錐體積為時(shí)，
（i）時(shí)，求二面角的余弦值.
（ii）是否存在的值，使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）（i）；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作平面于，證明點(diǎn)在線段上，即可知平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可得出結(jié)果.
（2）（i）過(guò)作交于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，連結(jié)，則為所求，根據(jù)計(jì)算，的長(zhǎng)，可求出二面角的正切值，從而求出余弦值. （ii）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量求線面角的方法計(jì)算可求出結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
過(guò)點(diǎn)作平面于，過(guò)分別作于兩點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)槠矫?，則，又，平面，
所以平面，平面，則，
同理，
，且為公共邊，
，，
在以及中，為公共邊，，
即點(diǎn)在角平分線上，即，所以平面，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又底面為菱形，所以，平面，
平面，平面，
.
【小問(wèn)2詳解】
（i），
所以，，
過(guò)作交于點(diǎn)，則平面，
過(guò)作于點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，又，平面，
則平面，所以為二面角的平面角，
，
，且，所以，
則，
設(shè)二面角的平面角為，則，
所以.
（ii）設(shè)，在菱形中，，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
則，，，，
，
，則，
設(shè)平面的法向量，，，
則，令得：，
直線與平面所成角的正弦值為
，
解得：或（舍），
所以.
19. 已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求的方程.
（2）曲線，曲線與曲線的交點(diǎn)為，.以為直徑的圓與軸，軸正半軸交點(diǎn)分別為，.
（i）點(diǎn)Q在直線上移動(dòng)，過(guò)Q作圓的切線，切點(diǎn)為C，，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)?若是.求出這個(gè)定點(diǎn)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由.
（ii）為圓上異于，的一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求證：為定值.
【答案】（1）
（2）（i）過(guò)定點(diǎn)為；（ii)證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）先設(shè)點(diǎn),然后利用化簡(jiǎn)求解即可.
（2）先計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出圓的方程，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)；再分別計(jì)算每一個(gè)小問(wèn)，
（i）利用切線與半徑垂直，然后建立等式求出直線方程，計(jì)算定點(diǎn)即可；
（ii）先分別計(jì)算出兩個(gè)直線，然后計(jì)算兩個(gè)焦點(diǎn)，表示出然后化簡(jiǎn)求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)
因?yàn)?br>所以有
經(jīng)整理得
【小問(wèn)2詳解】
方程與方程聯(lián)立
求解得或
所以圓的方程為
所以有
（i）設(shè)
易知圓的圓心為原點(diǎn)
所以有
由向量數(shù)量積的幾何意義可知
所以有
故兩點(diǎn)均滿足直線
所以直線CD的方程為
過(guò)定點(diǎn)
（ii）設(shè)
則有,
所以得到
所以
所以
因?yàn)?br>不妨設(shè)
所以有
繼續(xù)化簡(jiǎn)得
所以為定值4.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)兩個(gè)數(shù)的平方和為定值時(shí)，我們可以三角換元，這樣就只有一個(gè)變量了，然后求解即可.

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