江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2024.11
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．
1. 經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出斜率，從而可求傾斜角.
詳解】，故傾斜角30°，
故選：A
2. 如果拋物線(xiàn)y 2=ax的準(zhǔn)線(xiàn)是直線(xiàn)x=-1，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
A. （1, 0）B. （2, 0）C. （3, 0）D. （－1, 0）
【答案】A
【解析】
【詳解】由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為可知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選A．
3. 雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍，則實(shí)數(shù)m的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)基本量的關(guān)系可求實(shí)數(shù)的值.
【詳解】雙曲線(xiàn)方程可化為：，其中，
因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍，故，故，
故選：D.
4. 已知圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則圓C中以為中點(diǎn)的弦長(zhǎng)為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線(xiàn)過(guò)圓心求出，再求出弦心距后可求弦長(zhǎng).
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故，半徑，
故即，
以即為中點(diǎn)的弦，與垂直，而，
故弦長(zhǎng)為：，
故選：D
5. 過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若直線(xiàn)l的傾斜角為，則的值為（）
A. 3B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)后可求的值.
【詳解】設(shè)，，由題設(shè)
因?yàn)橹本€(xiàn)l的傾斜角為，故，
由可得，解得或，
故，，故，
故選：C.
6. 如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的中心并且交橢圓于點(diǎn)，．若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，則橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由切線(xiàn)的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合橢圓定義，即得解
【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)圓的切線(xiàn)，，，所以．
由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率．
故選：A
7. 已知，分別是雙曲線(xiàn)（a，）的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)P，其中，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，結(jié)合勾股定理、離心率的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】如圖，設(shè)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為B，不妨設(shè)P在第一象限，
則，
，
再由勾股定理得：，
所以，等式兩邊同除以整理可得
得或舍去
故選：C
8. 設(shè)直線(xiàn)l：，圓C：，若在圓C上存在兩點(diǎn)P，Q，在直線(xiàn)l上存在點(diǎn)M，使，則m的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的范圍問(wèn)題求解.
【詳解】圓：，所以，圓的半徑為：.
“在圓C上存在兩點(diǎn)P，Q，在直線(xiàn)l上存在點(diǎn)M，使”可轉(zhuǎn)化為“圓心到直線(xiàn)的距離不大于2”.
由.
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線(xiàn)的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線(xiàn)的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 設(shè)a為實(shí)數(shù)，直線(xiàn)，，則（）
A. 當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過(guò)第一象限B. 充要條件是
C. 若，則或D. 恒過(guò)點(diǎn)
【答案】AB
【解析】
【分析】利用反證法可判斷A的正誤，利用平行或垂直的判斷方法可判斷BC的正誤，求出過(guò)的定點(diǎn)后可判斷D的正誤.
【詳解】對(duì)于A，若過(guò)第一象限的點(diǎn)，則，且，
但故，矛盾，故不過(guò)第一象限，故A正確；
對(duì)于B，若，則，
故或，由直線(xiàn)可得，
而當(dāng)時(shí)，兩條直線(xiàn)的方程分別為：，，
此時(shí)兩條直線(xiàn)平行，符合，反之，也成立，故的充要條件為，故B正確；
對(duì)于C，若，，故或，
但不為零，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，直線(xiàn)可化為：，
由可得，即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；
故選：AB
10. 某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，已知它的近地點(diǎn)A（離地面最近的點(diǎn)）距地面m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)B（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面n千米，并且F、A、B三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，地球半徑約為R千米，設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為2a、2b、2c，則（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】由題設(shè)，，
所以，，故AB正確，C錯(cuò)誤，
而，故D正確.
故選：ABD.
11. 已知F、為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)l：（）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，軸，垂足為E，BE與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P，則（）
A. 四邊形周長(zhǎng)為8B. 的最小值為
C. 直線(xiàn)BE的斜率為2kD.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由橢圓的定義判斷A，結(jié)合基本不等式求得最小值判斷B，設(shè)，得出坐標(biāo)，求出斜率判斷C，由直線(xiàn)與橢圓相交求得點(diǎn)坐標(biāo)后根據(jù)斜率即可判斷D．
【詳解】由已知，，A正確；
，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，B正確；
設(shè)，則，，，
則，C錯(cuò)；
直線(xiàn)方程為，
由，消去得，
顯然是此方程的一個(gè)解，則，
，
因此，
，，所以與垂直，D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題，常常設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)方程為，代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，如果直線(xiàn)方程是以直線(xiàn)與橢圓相交的一個(gè)點(diǎn)為基礎(chǔ)得出的方程，那么該點(diǎn)的坐標(biāo)（橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)）就是相應(yīng)一元二次方程的一個(gè)解，從而利用韋達(dá)定理易求得另一解．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l：對(duì)稱(chēng)，則的值為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)垂直關(guān)系和中點(diǎn)在直線(xiàn)上可求，從而可求的值.
【詳解】因?yàn)?，故，而中點(diǎn)為，
故，所以，所以，
故答案為：.
13. 已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)斜率之積為，則的最小值為_(kāi)_______．
【答案】-7
【解析】
【分析】先求出的軌跡方程，再結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式可求最小值.
【詳解】設(shè)Px,y，則，故，
整理得到：，而
故，
而，故，
故答案為：-7
14. 古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱(chēng)為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡為圓，設(shè)其圓心為，已知直線(xiàn)：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則的面積的最大值為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】求出的軌跡和定點(diǎn)后可求的面積的最大值.
【詳解】設(shè)Px,y，則，
整理得到：，
故，軌跡圓的半徑為，
直線(xiàn)可化為，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，
中，邊上的高的最大值為軌跡圓的半徑，而，
故面積的最大值為，
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知直線(xiàn)的方程為，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且．
（1）求直線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，且在x軸上截距是在y軸上的截距的，求直線(xiàn)的方程．
【答案】（1）2,1
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求直線(xiàn)的方程，聯(lián)立，的方程，解方程組可得交點(diǎn)坐標(biāo).
（2）設(shè)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，利用直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距的數(shù)量關(guān)系列方程，可求斜率，得到直線(xiàn)的方程.
【小問(wèn)1詳解】
經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)為：：，即.
由.
所以直線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為：2,1.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)橹本€(xiàn)與兩坐標(biāo)軸都相交，故斜率一定存在且不為0.
設(shè)：.
交軸于點(diǎn)：，交軸于點(diǎn)：.
由或.
所以的方程為：或.
16. 已知圓：，圓：（），直線(xiàn)：，：．
（1）若圓與圓相內(nèi)切，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若，被圓所截得的弦的長(zhǎng)度之比為，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)半徑與圓心距的關(guān)系可求實(shí)數(shù)的值.
（2）根據(jù)弦長(zhǎng)的長(zhǎng)度之比可得關(guān)于的方程，從而可求實(shí)數(shù)的值.
【小問(wèn)1詳解】
由題設(shè)可得，，
因?yàn)閳A與圓相內(nèi)切，故，其中，
解得.
【小問(wèn)2詳解】
到的距離為，到的距離為，
故，解得.
17. 已知雙曲線(xiàn)C：（，）的一條漸近線(xiàn)為，且一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為2．
（1）求雙曲線(xiàn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足，求點(diǎn)M的軌跡方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)漸近線(xiàn)及焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離可求基本量，從而可求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程后結(jié)合韋達(dá)定理可用表示的坐標(biāo)，從而可求其軌跡.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)殡p曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的方程為：，則，
而焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為2，故（為半焦距），故，
故，故雙曲線(xiàn)方程為：.
【小問(wèn)2詳解】
由題設(shè)可得的斜率必定存在，設(shè)直線(xiàn)，，
由可得，
因?yàn)橹本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，
故，故，
又，而，
因，故，
所以，故，故，代入后可得，
因?yàn)?，故?br>故的軌跡方程為：.
18. 如圖，已知拋物線(xiàn)C：（）的焦點(diǎn)F，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．
（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作于D，且，證明：存在定點(diǎn)Q，使得DQ為定值．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由拋物線(xiàn)定義有求，由在拋物線(xiàn)上求m即可得的坐標(biāo).
（2）令，，，聯(lián)立拋物線(xiàn)得到一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，根據(jù)及向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，求k、n數(shù)量關(guān)系，確定所過(guò)定點(diǎn)，再由易知在以為直徑的圓上，即可證結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
由拋物線(xiàn)定義知：，則，故，
又在拋物線(xiàn)上，則，可得，故.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，，由（1）知：，
所以，，又，故，
所以，
因?yàn)榈男甭什粸榱?，故設(shè)直線(xiàn)，
聯(lián)立，整理得，且，
所以，，則，，
綜上，，
當(dāng)時(shí)，過(guò)定點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，過(guò)定點(diǎn)，即共線(xiàn)，不合題意；
所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，又，故在以為直徑的圓上，
而中點(diǎn)為，即為定值，得證.
19. 《文心雕龍》有語(yǔ)：“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成雙成對(duì)的．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線(xiàn)l：的距離的比是常數(shù)（）．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)H，若某條直線(xiàn)上存在這樣的點(diǎn)P，則稱(chēng)該直線(xiàn)為“齊備直線(xiàn)”．
（1）若，求曲線(xiàn)H的方程；
（2）若“齊備直線(xiàn)”：與曲線(xiàn)H相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為曲線(xiàn)H上不同于A，B的一點(diǎn)，且直線(xiàn)MA，MB的斜率分別為，，試判斷是否存在λ，使得取得最小值？說(shuō)明理由；
（3）若，與曲線(xiàn)H有公共點(diǎn)N的“齊備直線(xiàn)”與曲線(xiàn)H的兩條漸近線(xiàn)交于S，T兩點(diǎn)，且N為線(xiàn)段ST的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)與曲線(xiàn)H有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
【答案】（1）
（2）存在使得取得最小值4，理由見(jiàn)解析
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）把點(diǎn)滿(mǎn)足的條件用坐標(biāo)表示出來(lái)，整理化簡(jiǎn)即可；
（2）把點(diǎn)滿(mǎn)足的條件用坐標(biāo)表示出來(lái)整理可得的方程，利用兩點(diǎn)表示斜率公式求出，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解；
（3）由（2）得曲線(xiàn)：，設(shè)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)方程，求出的關(guān)系，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，整理化簡(jiǎn)可得一元二次方程，利用即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，定直線(xiàn)：，比值：.
設(shè)，則點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線(xiàn)的距離之比為，
即，
兩邊平方，整理得：，即為曲線(xiàn)的方程.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線(xiàn)l：的距離的比是常數(shù)（），
所以，整理得，
即，即為曲線(xiàn)的方程.
設(shè)，則，
，
得，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以存在使得取得最小值4.
【小問(wèn)3詳解】
由（2）知，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)：，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，
如圖：
設(shè)，則，解得，
即，所以，
代入雙曲線(xiàn)方程，得，
整理得，即，
解得或.
當(dāng)時(shí)，，若，則，
，消去得，方程有唯一的解，
同理，若，得，方程有唯一的解，
故直線(xiàn)與曲線(xiàn)H有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，消去得，
，方程有唯一的解，
故直線(xiàn)與曲線(xiàn)H有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
綜上，直線(xiàn)與曲線(xiàn)H有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過(guò)推理、運(yùn)算等解決問(wèn)題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多