注意事項(xiàng)學(xué)生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：
1.本卷共4頁(yè)，包含單項(xiàng)選擇題（第1題~第8題）?多項(xiàng)選擇題（第9題~第11題）?填空題（第12題~第14題）?解答題（第15題~第19題）.本卷滿(mǎn)分150分，答題時(shí)間為120分鐘.答題結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.
2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考試號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在答題卡的規(guī)定位置.
3.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)城內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效.作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.清注意字體工整，筆跡清楚.
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為2，則的值為（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式計(jì)算可得答案.
【詳解】因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為2，
所以，且，解得.
故選：D.
2. 等差數(shù)列中，，則的值為（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】首先由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差d，則可求.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以，
故選：A.
3. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)Mx,y，然后根據(jù)題意建立等式化簡(jiǎn)即可.
【詳解】設(shè)Mx,y，由題可知
故選：D
4. 在2和8之間插入3個(gè)實(shí)數(shù)使得成等比數(shù)列，則的值為（ ）
A. B. 或4C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)求解即可.
【詳解】由為等比中項(xiàng)可知，，
又可知，
所以，
故選：C
5. 若兩直線(xiàn)平行，則實(shí)數(shù)的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行得到方程和不等式，求出.
【詳解】由題意得且，
解得.
故選：B
6. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為定值時(shí)也是定值，則的值為（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 不能確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得為定值，結(jié)合基本量法可求的值.
【詳解】因?yàn)闉槎ㄖ登遥蕿槎ㄖ担蕿槎ㄖ担渲袨楣?
而，
故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，為定值.
故選：C.
7. 已知直線(xiàn)與，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被截得的線(xiàn)段恰好被點(diǎn)平分，則這三條直線(xiàn)圍成的三角形面積為（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)，則，代入直線(xiàn)，即可得點(diǎn)，進(jìn)而可得到直線(xiàn)的方程，再求交點(diǎn)到的距離，利用面積公式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)為，且設(shè)，
則由題意可知，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上，
所以，解得，
所以，，
所以,
因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，所以直線(xiàn)的斜率，
所以直線(xiàn)的方程為：，即，
聯(lián)立：，解得的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以到直線(xiàn)的距離為，
所以這三條直線(xiàn)圍成三角形面積為.
故選：A.
8. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則的值為（ ）
A. 1023B. 1461C. 1533D. 1955
【答案】B
【解析】
【分析】先判斷數(shù)列為等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式，分組求和，可得問(wèn)題答案.
【詳解】由題意：，
.
所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，
所以.
所以，
.
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：類(lèi)似這種數(shù)列問(wèn)題，一般是有規(guī)律，可以先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀(guān)察數(shù)列的規(guī)律，再想辦法證明即可.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或不答得0分，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
9. 已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，.（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】AC
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列、利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為，
當(dāng)時(shí)，，故A正確；
當(dāng)公差時(shí)，an是常數(shù)列，，但與不一定相等，故B不正確；
設(shè)等比數(shù)列bn公比為，
若“”，則，故C正確；
當(dāng)公比時(shí)，bn是常數(shù)列，，但與不一定相等，故D不正確.
故選：AC.
10. 已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. 點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上
B. 點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上
C. 點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上
D. 點(diǎn)（均為正整數(shù)，且為常數(shù)）在同一條直線(xiàn)上
【答案】ACD
【解析】
【分析】結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，逐一進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，，所以點(diǎn)都在直線(xiàn)上，故A正確；
對(duì)B：因?yàn)?，所以點(diǎn)都在二次函數(shù)上，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：因?yàn)椋渣c(diǎn)都在直線(xiàn)上，故C正確；
對(duì)D：因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)都在直線(xiàn)上，故D正確.
故選：ACD
11. 已知直線(xiàn)，圓，則（ ）
A. 與坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最大值是4
B. 若與圓相交于兩點(diǎn)，且，則
C. 若圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則
D. 若對(duì)于兩個(gè)不同的值，與圓分別相切于點(diǎn)，，則所在直線(xiàn)的方程是
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，根據(jù)題意知直線(xiàn)的斜率，然后表示出三角形的面積，利用基本不等式，即可解決；
對(duì)于B，由題意得弦長(zhǎng)，進(jìn)而得圓心到直線(xiàn)的距離，即可求解的值；
對(duì)于C，由題意得圓心到直線(xiàn)的距離，即可求解的范圍；
對(duì)于D，將切點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩相交圓的公共弦的問(wèn)題，即可解決.
【詳解】對(duì)于A，由得，所以直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
又因?yàn)橹本€(xiàn)與坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形，所以；
令，得，令，得，
所以直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的正半軸的交點(diǎn)分別為，，
所以直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積；
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以三角形面積最小值是4，故A不正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>所以，所以圓心到直線(xiàn)的距離，即，解得，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)閳A上恰有四個(gè)點(diǎn)到距離為1，
所以圓心到直線(xiàn)的距離，
解得，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)橹本€(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，
所以直線(xiàn)就是經(jīng)過(guò)以為圓心，為半徑的圓和圓的交點(diǎn)所在的直線(xiàn)，，
所以，所以圓的方程為，
所以直線(xiàn)的方程為，故D正確.
故選：BCD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上.
12. 已知兩點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等，則的值為_(kāi)_________.
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列式求解即可.
【詳解】由題意可得，，即，
解得或.
故答案為：或.
13. 已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本量法可求與公比，故可求.
【詳解】設(shè)公比為.
因?yàn)?，故，解得或者?br>若，則且，此時(shí)，
若，則且，此時(shí)，
故答案為：.
14. 如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若圓上存在一點(diǎn)，使得，則AB的取值范圍是__________.

【答案】
【解析】
【分析】以為鄰邊，作矩形，則，證明出，從而得到，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，數(shù)形結(jié)合得到，得到答案.
【詳解】以為鄰邊，作矩形，則，
由矩形性質(zhì)可得，證明如下：
設(shè)，
過(guò)點(diǎn)分別為⊥，⊥，⊥，垂足分別為，
過(guò)點(diǎn)作⊥，垂足為，
則，
故，
，
所以，
，
，
所以，
證畢，

即，故，
點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
所以，
左邊等號(hào)成立的條件為三點(diǎn)共線(xiàn)，且在之間，
右邊等號(hào)成立的條件為三點(diǎn)共線(xiàn)，且在之間，
則AB的取值范圍是
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出輔助線(xiàn)，得到，證明出，從而得到，得到點(diǎn)軌跡，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.
四?解答題：本題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）計(jì)算出等差數(shù)列an的首項(xiàng)和公差，從而求得.
（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)等差數(shù)列an的公差為，
依題意，，
，解得，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
所以
，
兩式相減得
，
所以.
16. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，求：
（1）邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；
（2）邊上的高所在直線(xiàn)的方程；
（3）的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）對(duì)于求邊BC上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)方程：首先要找到BC中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，然后利用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)方程；
（2）對(duì)于求邊BC上的高所在直線(xiàn)方程：先求BC邊的斜率，根據(jù)斜率公式，高與BC垂直，兩條垂直直線(xiàn)斜率乘積為，再利用點(diǎn)斜式求直線(xiàn)方程；
（3）對(duì)于求的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)方程：先求AB和BC邊的斜率，根據(jù)夾角公式，設(shè)角平分線(xiàn)斜率為，求出，再利用點(diǎn)斜式求出直線(xiàn)方程.
【小問(wèn)1詳解】
首先求BC中點(diǎn)坐標(biāo)，已知，
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，BC中點(diǎn)，
已知中線(xiàn)過(guò)和兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)式，
即，化簡(jiǎn)得，整理得.
【小問(wèn)2詳解】
先求BC邊的斜率，已知，
根據(jù)斜率公式，
因?yàn)楦吲cBC垂直，設(shè)高的斜率為，則，解得，
又因?yàn)楦哌^(guò)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式，整理得.
【小問(wèn)3詳解】
先求AB邊的斜率，BC邊的斜率，
設(shè)角平分線(xiàn)斜率為，根據(jù)夾角公式得，化簡(jiǎn)
交叉相乘得，
繼續(xù)化簡(jiǎn)，即或，
繼續(xù)化簡(jiǎn)（舍去），或，即，
因?yàn)榻瞧椒志€(xiàn)的斜率應(yīng)該在和之間，所以，
又因?yàn)榻瞧椒志€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式，整理得.
17. 已知數(shù)列滿(mǎn)足且.
（1）求；
（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求.
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)詳解；
【解析】
【分析】（1）已知的值，代入遞推公式得出，再代入遞推公式即可得到的值.
（2）由兩式消元得到，將變?yōu)榈玫降仁剑擘偈较玫?，?gòu)造出數(shù)列，得到等式，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
【小問(wèn)2詳解】
∵，
∴得到，∴，
則代入①得：，
則
∴，
且，
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.
∴，
∴
18. 已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn).
（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
（2）是否存在弦被點(diǎn)三等分？若存在，求出直線(xiàn)的斜率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）記圓與軸的正半軸交點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，求證：為定值.
【答案】（1）
（2）存在，
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由題意求出直線(xiàn)方程，利用圓的幾何性質(zhì)求弦長(zhǎng)即可；
（2）假設(shè)存在，求出弦心距OQ，討論直線(xiàn)的斜率是否存在，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離即可得解；
（3）分類(lèi)討論直線(xiàn)斜率是否存在，存在時(shí)由根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式化簡(jiǎn)即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?，直線(xiàn)的方程為，
設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則，
所以
【小問(wèn)2詳解】
取的中點(diǎn)為，如圖，

假設(shè)存在弦被點(diǎn)三等分，設(shè)，，則，
，解得，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，，故斜率存在，
設(shè)斜率為，則：，
，解得，
即存在弦被點(diǎn)三等分，直線(xiàn)的斜率為.
【小問(wèn)3詳解】
由題意知，,
當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，，
不妨取，
則，此時(shí)
直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，
代入圓的方程可得，
設(shè)，則，
又，
所以
綜上，為定值.
19. 已知點(diǎn)，向量，點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，且滿(mǎn)足.
（1）求；
（2）證明在同一個(gè)圓上，并求該圓的圓心和半徑；
（3）過(guò)引圓的切線(xiàn)，記切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，求證：.
【答案】（1）；
（2）和；
（3）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）設(shè)坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)表示結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可；
（2）設(shè)坐標(biāo)，利用向量共線(xiàn)的充要條件及數(shù)量積的坐標(biāo)表示消元計(jì)算即可；
（3）根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系計(jì)算切線(xiàn)方程得出的坐標(biāo)，再利用放縮法計(jì)算和即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，則由題意可知，
所以，即分別成公差為1的等差數(shù)列，
由已知，
則，即，所以；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，即，
因?yàn)楣簿€(xiàn)，且滿(mǎn)足，
則有，
當(dāng)時(shí)，易知，即，
此時(shí)，
即，
當(dāng)時(shí)，解方程組可得，也滿(mǎn)足上式，
所以在以為圓心，為半徑的圓上，
圓心和半徑；
【小問(wèn)3詳解】
由（2），解方程得，
則，
所以處的切線(xiàn)方程斜率為，
則切線(xiàn)方程為，
令得，即，
易知，
則
，證畢.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合消參法可計(jì)算軌跡方程；根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系得出切線(xiàn)方程，再由放縮法證明即可.

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