（考試時間：120分鐘；總分：150分）
命題人：余靜 審題人：楊華
一?選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域.）
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“直線和直線平行”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 拋物線的焦點到準線的距離是（ ）
A B. C. 1D. 2
4. 與雙曲線有公共焦點，且短軸長為2的橢圓方程為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
6. 油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙叢在地面上形成了一個橢圓形的影子（春分時，該市的陽光照射方向與地面的夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點位置，則（ ）
A. 該橢圓的離心率為B. 該橢圓的離心率為
C. 該橢圓的焦距為D. 該橢圓的焦距為
7. 如圖，平面直角坐標系中，曲線(實線部分)的方程可以是．
A. B.
C. D.
8. 已知橢圓與雙曲線具有相同的左、右焦點，，點為它們在第一象限的交點，動點在曲線上，若記曲線，的離心率分別為，，滿足，且直線與軸的交點的坐標為，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，請將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域.）
9. 已知直線，則（ ）
A. 直線過定點B. 當(dāng)時，
C. 當(dāng)時，D. 當(dāng)時，兩直線之間的距離為1
10. 已知是拋物線的焦點，，是拋物線上的兩點，為坐標原點，則（ ）
A. 若，則的面積為
B. 若垂直的準線于點，且，則四邊形的周長為
C. 若直線過點，則的最小值為1
D 若，則直線恒過定點
11. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，點是雙曲線的右支上一點，過點的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，則（ ）
A. 的最小值為8
B. 為定值
C. 若直線與雙曲線相切，則點的縱坐標之積為；
D. 若直線經(jīng)過，且與雙曲線交于另一點，則的最小值為.
三?填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 經(jīng)過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線的方程是______.
13. 已知為橢圓上的一個動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為__________.
14. 已知雙曲線與平行于軸的動直線交于兩點，點在點左側(cè)，雙曲線的左焦點為，且當(dāng)時，.則雙曲線的離心率是__________；當(dāng)直線運動時，延長至點使，連接交軸于點，則的值是__________.
四?解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
15. 已知的頂點，AB邊上的中線所在直線的方程為，AC邊上的高BH所在直線的方程為．
（1）求點B，C坐標；
（2）求的面積．
16. 已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點.
（1）求最小值；
（2）判斷點是否在以為直徑的圓上，并說明理由.
17. 橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為點、、在橢圓上，且．
（1）求橢圓的方程及直線的斜率；
（2）當(dāng)時，證明原點是的重心，并求直線的方程．
18. 已知，分別是雙曲線的左，右頂點，直線（不與坐標軸垂直）過點，且與雙曲線交于，兩點.
（1）若，求直線方程；
（2）若直線與相交于點，求證：點在定直線上.
19. 已知曲線由和組成，點，點，點在上.
（1）求的取值范圍（當(dāng)與重合時，）；
（2）若，求面積的取值范圍.江蘇省泰州中學(xué)2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試
高二數(shù)學(xué)試題
（考試時間：120分鐘；總分：150分）
命題人：余靜 審題人：楊華
一?選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域.）
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根據(jù)直線斜率和傾斜角關(guān)系可直接求得結(jié)果.
【詳解】直線的斜率不存在，直線的傾斜角為.
故選：D.
2. “”是“直線和直線平行”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線平行的等價條件求出的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．
【詳解】當(dāng)，則直線分別為和直線滿足平行，即充分性成立，
若直線和直線平行，
當(dāng)時，直線分別為和，不滿足條件，
當(dāng)時，滿足，即，解得或，
當(dāng)時，兩直線重合，故不滿足條件，故，即必要性成立，
綜上“”是“直線和直線平行”的充要條件，
故選：C．
3. 拋物線的焦點到準線的距離是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線方程確定焦準距p的值，即得答案.
【詳解】因為拋物線方程為，故焦準距，
即焦點到準線的距離是，
故選：A.
4. 與雙曲線有公共焦點，且短軸長為2的橢圓方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出橢圓方程，由短軸長求出，求出雙曲線的焦點坐標，進而求出，得到橢圓方程.
【詳解】設(shè)橢圓方程為，
雙曲線的焦點坐標為，
又短軸長為2，故，解得：，
則，故橢圓方程為.
故選：C
5. 已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】當(dāng)直線和圓心與點的連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論.
【詳解】圓化為，所以圓心坐標為，半徑為，
設(shè)，當(dāng)過點的直線和直線垂直時，圓心到過點的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時
根據(jù)弦長公式得最小值為.
故選：B.
【點睛】本題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于基礎(chǔ)題.
6. 油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙叢在地面上形成了一個橢圓形的影子（春分時，該市的陽光照射方向與地面的夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點位置，則（ ）
A. 該橢圓的離心率為B. 該橢圓的離心率為
C. 該橢圓的焦距為D. 該橢圓的焦距為
【答案】BC
【解析】
【分析】先求得，結(jié)合橢圓的知識以及正弦定理求得，進而求得橢圓的離心率和焦距.
【詳解】，
如圖，分別是橢圓的左?右頂點，是橢圓的左焦點，是圓的直徑，為該圓的圓心.
因為，所以，
設(shè)橢圓的長軸長為，焦距為，則.
因為，
由正弦定理得，
解得，所以，
所以.
故選：BC
7. 如圖，平面直角坐標系中，曲線(實線部分)的方程可以是．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合圖象，對選項一一驗證，找到方程所表示的曲線的圖形滿足題意即可.
【詳解】因為曲線表示折線段的一部分和雙曲線，
A選項等價于或，表示折線的全部和雙曲線，
故錯誤；
B選項，等價于或，又表示折線的全部，故錯誤；
C選項，等價于或，
∴表示折線在雙曲線外部（包含有原點）的部分，
表示雙曲線-，符合題中的圖象，故C正確.
D選項，等價于或，
表示折線在雙曲線外部（包含有原點）的部分，
和表示雙曲線在x軸下方的部分，故錯誤.
故選C.
【點睛】本題考查曲線的方程和方程的曲線概念，關(guān)鍵在于考慮問題要周全，即在每個因式等于0時同時需保證另一個因式有意義，此題是中檔題，也是易錯題．
8. 已知橢圓與雙曲線具有相同的左、右焦點，，點為它們在第一象限的交點，動點在曲線上，若記曲線，的離心率分別為，，滿足，且直線與軸的交點的坐標為，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義可得，結(jié)合離心率可得，在中，利用余弦定理可得，進而結(jié)合橢圓性質(zhì)可知：當(dāng)為橢圓短軸頂點時，取到最大值，分析求解即可.
【詳解】由題意可知：，解得，
又因為，可得，
由直線與軸的交點的坐標為可得，
在中，由余弦定理可得
，
可得，整理得，解得或（舍去），
且，所以，
由橢圓性質(zhì)可知：當(dāng)為橢圓短軸頂點時，取到最大值，
此時，
且，則，所以，即.
故選：A.
.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于找到的兩種表達方式，構(gòu)造了關(guān)于的方程，從而得解.
二?多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，請將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域.）
9. 已知直線，則（ ）
A. 直線過定點B. 當(dāng)時，
C. 當(dāng)時，D. 當(dāng)時，兩直線之間的距離為1
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A，將直線化簡整理為，令，解方程組即可求出所過定點；
對于B，將代入直線中，分別求出直線與的斜率，通過兩條直線垂直的判定條件判斷選項正誤即可；
對于C，將代入直線中，分別求出直線與的斜率，通過兩條直線平行的判定條件判斷選項正誤即可；
對于D，通過，求出參數(shù)，然后根據(jù)平行線間距離公式求解即可.
【詳解】對于A，直線化為，
令，解得：，所以直線過定點，故A選項正確；
設(shè)直線的斜率為，設(shè)直線的斜率為，
對于B，當(dāng)時，，，
，，
又與均存在且，與不垂直，故B選項錯誤；
對于C，當(dāng)時，，，
，，
又，且與不重合，與平行，故C選項正確；
對于D，，，解得：，
得，，
故兩條直線之間的距離為，故D選項錯誤.
故選：AC
10. 已知是拋物線的焦點，，是拋物線上的兩點，為坐標原點，則（ ）
A. 若，則的面積為
B. 若垂直的準線于點，且，則四邊形的周長為
C. 若直線過點，則的最小值為1
D. 若，則直線恒過定點
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用拋物線焦點弦的性質(zhì)，可判定A，C正確；利用拋物線的定義，數(shù)形結(jié)合求解四邊形的周長，可判定判斷B不正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得的值，可判定D正確．
【詳解】對于選項A中，設(shè)，由焦半徑公式得，解得，所以，
所以，所以A正確；
對于選項B中，由題意知，根據(jù)拋物線的定義可知，
設(shè)與軸的交點為，易知，，故，
所以四邊形的周長為，所以B錯誤；
對于選項C中，若直線過點，則當(dāng)軸時，最小，且最小值為1，
所以C正確；
對于選項D，設(shè)直線，，，
聯(lián)立直線與拋物線方程得，則，所以，
由可得，即，解得，
故直線的方程為，即直線恒過定點，選項D正確．
故選ACD．
【點睛】對于拋物線的焦點弦的性質(zhì)的結(jié)論拓展：
若是一條過拋物線焦點的弦，當(dāng)所在直線的傾斜角為，設(shè)，，可得，則，弦長；同時通徑是指過拋物線的焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦，弦長等于，且通徑是過焦點的最短的弦．
11. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，點是雙曲線的右支上一點，過點的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，則（ ）
A. 的最小值為8
B. 為定值
C. 若直線與雙曲線相切，則點的縱坐標之積為；
D. 若直線經(jīng)過，且與雙曲線交于另一點，則的最小值為.
【答案】AB
【解析】
【分析】設(shè)，由，可判定A正確；化簡，可判定B正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，在化簡，可判定C不正確；根據(jù)通經(jīng)長和實軸長，可判定D錯誤.
【詳解】由題意，雙曲線，可得，則，
所以焦點，且，
設(shè)，則，且，即，
雙曲線的兩條漸近線的方程為，
對于A中，由，
所以A正確；
對于B中，
（定值），所以B正確；
對于C中，不妨設(shè)，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
若直線與雙曲線相切，則，
整理得，
聯(lián)立方程組，解得，即點的縱坐標為，
聯(lián)立方程組，解得，即點的縱坐標為，
則點的縱坐標之積為
所以C不正確；
對于D中，若點在雙曲線的右支上，則通經(jīng)最短，其中通經(jīng)長為，
若點在雙曲線的左支上，則實軸最短，實軸長為，所以D錯誤.
故選：AB.
三?填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 經(jīng)過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線的方程是______.
【答案】和；
【解析】
【分析】根據(jù)直線過原點和不經(jīng)過原點兩種情況，即可由待定系數(shù)的方法求解.
【詳解】若直線經(jīng)過原點，則設(shè)直線方程為，將代入可得，
若直線不經(jīng)過原點，設(shè)直線方程為，
將代入可得，所以直線方程為，即，
故答案為：和；
13. 已知為橢圓上的一個動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，解三角形可得，，利用兩點距離公式求的最小值，結(jié)合平方關(guān)系可求AB的最小值.
【詳解】設(shè)，
由已知，由對稱性可得,
所以，
則，，
且，
因為，
因為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，又，
所以，
所以.
所以AB的最小值為.
故答案為：.
14. 已知雙曲線與平行于軸的動直線交于兩點，點在點左側(cè)，雙曲線的左焦點為，且當(dāng)時，.則雙曲線的離心率是__________；當(dāng)直線運動時，延長至點使，連接交軸于點，則的值是__________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根據(jù)條件，設(shè)，代入雙曲線方程得，再根據(jù)條件即可得，從而求出結(jié)果；利用，得到，設(shè)，則有，，，代入化簡即可得出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時，設(shè)，
則有，解得，又，所以，
又，所以，兩邊同除，得到，
解得或（舍），
因為，有，
設(shè)，則，，，，
所以，
又，所以，
故答案為：；.
【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于第二空，利用，得到，設(shè)，，求出，化簡并結(jié)合雙曲線定義，即可求解.
四?解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
15. 已知的頂點，AB邊上的中線所在直線的方程為，AC邊上的高BH所在直線的方程為．
（1）求點B，C的坐標；
（2）求的面積．
【答案】（1）,
（2）7
【解析】
【分析】（1）設(shè)點，由題意可知點坐標滿足BH的方程，再表示出的中點，代入AB邊上的中線方程，解方程組可求出點的坐標，求出的斜率，可求出直線的方程，再與聯(lián)立，可得點的坐標，
（2）利用兩點間的距離公式求出的長，再利用點到直線的距離公式求出到直線的距離，從而可求出三角形的面積.
【小問1詳解】
設(shè)點，因為在直線上，所以， ①
又，的中點為，且點在的中線上，
所以， ②
聯(lián)立①②，得，即點．
由題意，得，所以，
所以所在直線的方程為，即， ③
因為點在AB邊上的中線上，
所以點的坐標滿足直線方程， ④
聯(lián)立③④，得，即．
【小問2詳解】
由（1）得，
到直線的距離為，
所以，
故的面積為7．
16. 已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點.
（1）求的最小值；
（2）判斷點是否在以為直徑的圓上，并說明理由.
【答案】（1）11 （2）在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）需對直線分斜率存在和不存在，分別將兩種情況下的直線與拋物線聯(lián)立，從而求解.
（2）由（1）知分情況對以為直徑的圓對點進行驗證，從而求解．
【小問1詳解】
從而求（2）由（1）中當(dāng)直線斜率，由題意知：拋物線焦點，準線：x=?1，
直線過定點，且定點在拋物線內(nèi)，所以得：直線的斜率不為0，
設(shè)直線方程為，
當(dāng)時，直線率不存在，即直線方程為：，
此時：，，
所以：；
當(dāng)時，即直線斜率存在時，得直線方程為：，
將直線與拋物線聯(lián)立得：，化簡得：，
，
設(shè)：，，由根與系數(shù)關(guān)系得：，
，
所以：當(dāng)直線斜率存在時，的最小值為：.
綜上所述：的最小值為：.
【小問2詳解】
在，理由如下：
由（1）知：當(dāng)直線斜率不存在時：直線為：，，
以為直徑的圓方程為：，
將代入得：，所以點在以為直徑圓上；
當(dāng)直線斜率存在時：由（1）知：，，
，
所以得：，，
所以得：點在以為直徑的圓上.
綜上所述：點在以為直徑的圓上.
17. 橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為點、、在橢圓上，且．
（1）求橢圓的方程及直線的斜率；
（2）當(dāng)時，證明原點是的重心，并求直線的方程．
【答案】（1），；
（2）證明見解析，.
【解析】
【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，利用給定條件列出方程組求解；再設(shè)出點的坐標，利用點差法求解作答；
（2）證明的重心坐標為，確定中點坐標，點差法求出的斜率，即可求解的方程．
【小問1詳解】
設(shè)橢圓的方程為，則，且，
解得，所以橢圓的方程為；
設(shè)，而，則，
由，得，即，
又由，得，
則直線斜率.
【小問2詳解】
當(dāng)時，由（1）知，點坐標滿足，
而，因此的重心坐標為，所以原點是的重心；
顯然線段的中點坐標為，此點在橢圓內(nèi)，即直線與橢圓必相交，
由（1）知直線的斜率，
所以直線的方程為，即.
18. 已知，分別是雙曲線的左，右頂點，直線（不與坐標軸垂直）過點，且與雙曲線交于，兩點.
（1）若，求直線的方程；
（2）若直線與相交于點，求證：點在定直線上.
【答案】（1）或；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)直線的方程為并聯(lián)立雙曲線根據(jù)韋達定理可得與關(guān)系，結(jié)合可得，從而求得值得直線方程；
（2）列出直線與方程，并求點坐標得，故得證.
【詳解】解：設(shè)直線的方程為，設(shè)，，把直線與雙曲線
聯(lián)立方程組，，可得，
則，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直線的方程為或．
（2）直線的方程為，直線的方程為，
直線與的交點為，故，即，
進而得到，又，
故，解得
故點在定直線上．
【點晴】方法點晴：直線與圓錐曲線綜合問題，通常采用設(shè)而不求，結(jié)合韋達定理求解.
19. 已知曲線由和組成，點，點，點在上.
（1）求的取值范圍（當(dāng)與重合時，）；
（2）若，求面積的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）注意到是橢圓的左右焦點，且是圓與軸的交點，分點是否在軸的右側(cè)兩種情況討論即可得解；
（2）當(dāng)兩點在半橢圓上時（不含軸），設(shè)，求出OP，同理求出OQ，進而可求出面積的表達式，再討論兩點都在半圓上，一點在半圓上一點在半橢圓上（不含軸）和一點在軸上一點在半橢圓上三種情況討論，進而可得出答案.
【小問1詳解】
注意到是橢圓的左右焦點，且是圓與軸的交點，
當(dāng)點在軸的右側(cè)時，由橢圓的定義可得；
當(dāng)點不在軸右側(cè)時，設(shè)，
則，
因為，所以，
所以，
綜上所述，；
【小問2詳解】
記的面積為，
當(dāng)兩點在半橢圓上時（不含軸），設(shè)，
聯(lián)立，則有，
故，
同理可得，
故，
令，則，
則，
由，得，所以，
所以；
當(dāng)兩點都在半圓上時，，
則；
當(dāng)一點在半圓上一點在半橢圓上時（不含軸），
由對稱性，可設(shè)點在半橢圓上，則，
故，
由，可得，
所以，所以；
當(dāng)一點在軸上一點在半橢圓上時，
由對稱性，可設(shè)點是曲線與軸的交點，則點為橢圓的右頂點，
則，
，
綜上所述，面積的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

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