【完卷時間：120分鐘；滿分：150分】
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解二次不等式化簡集合，再利用集合的交集運算即可得解.
【詳解】因為，
又，所以.
故選：A.
2. 下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】對于AB：舉反例說明即可；對于C：根據(jù)定義域分析判斷；對于D：根據(jù)偶函數(shù)的定義分析判斷.
【詳解】對于選項A：令，可得；令，可得；
兩者不相等，所以不是偶函數(shù)，故A錯誤；
對于選項B：令，可得；令，可得；
兩者不相等，所以不是偶函數(shù)，故B錯誤；
對于選項C：因為的定義域為不關(guān)于原點對稱，
所以不是偶函數(shù)，故C錯誤；
對于選項D：因為的定義域為，且，
所以是偶函數(shù)，故D正確；
故選：D.
3. 已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式得到，再利用等比數(shù)列求和公式即可得到答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則由題意得，因為，則，解得或（舍），
則.
故選：C.
4. 設(shè)，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，由向量共線及充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】向量，，，解得或，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
5. 幸福感指數(shù)是生活質(zhì)量的一個評價指標，其中，分別表示物質(zhì)生活指標與精神生活指標.幸福感指數(shù)越大，生活質(zhì)量越高.如果某人近年的物質(zhì)生活指標沒有變化，精神生活指標由變?yōu)椋腋８兄笖?shù)由3提高到5，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件列式，結(jié)合對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即得.
【詳解】依題意，，即，而函數(shù)是的增函數(shù)，
所以.
故選：C
6. 若點是曲線上任意一點，則點到直線距離最小值為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出點的坐標，利用點到直線的距離公式列式，再構(gòu)造函數(shù)并利用導數(shù)求出最小值.
【詳解】依題意，設(shè)點，則點到直線的距離，
令函數(shù)，求導得，當時，；當時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，
所以點到直線距離最小值為.
故選：C
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用換元法，結(jié)合余弦函數(shù)的和差公式與三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得解.
【詳解】因為，
令，則，即，
所以，
則，所以，
所以.
故選：B.
8. 已知函數(shù)，若存在使得，，依次成等差數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差中項公式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到在定義域內(nèi)有解，
再利用參變分離，結(jié)合換元法與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為存在使得，，依次成等差數(shù)列，
所以在定義域內(nèi)有解，
又，所以，
即，
則在定義域內(nèi)有解，
由對數(shù)函數(shù)的定義域可知，，又，所以，
所以，
令，則，
因為的圖象開口向上，對稱軸為，
所以在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，
所以，又，所以.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于，將問題轉(zhuǎn)化為在定義域內(nèi)有解，從而得解.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知x、y都是正數(shù)，則（ ）
A. B. 若，則的最大值為2
C. 的最大值為D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式求解判斷ABC；舉例說明判斷D.
【詳解】對于A，，則，當且僅當時取等號，A錯誤；
對于B，，解得，當且僅當時取等號，B正確；
對于C，，當且僅當時取等號，C正確；
對于D，當時，，D錯誤.
故選：BC
10. 已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，則（ ）
A.
B.
C. 在上單調(diào)遞減
D. 將的圖象向右平移個單位，再將橫坐標擴大為原來的2倍（縱坐標不變），最后將縱坐標變?yōu)樵瓉淼模M坐標不變）得到圖象，則為正弦曲線
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點法作圖求出解析式，再逐項判斷得解.
【詳解】觀察圖象得，，由，得，又，且在的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，
則，由，得，解得，
而的最小正周期滿足，即，則，
解得，因此，，
對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，當時，，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因此在上單調(diào)遞減，C正確；
對于D，將的圖象向右平移個單位，得的圖象，
因此圖象對應的解析式為，為正弦曲線，D正確.
故選：BCD
11. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最大值為
B. 函數(shù)既存在極大值又存在極小值
C. 當時，方程有且只有一個實根
D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，判定AB，根據(jù)單調(diào)性和極值畫出草圖判定C，構(gòu)造新函數(shù)，借助極值點偏離判定D.
【詳解】對于A，對求導得到.
令，即，則. 解得.
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.
所以是函數(shù)的極大值點，也是最大值點.
得. 所以選項A正確.
對于B，由選項A可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，所以函數(shù)存在極大值，不存在極小值，故B錯誤.
當時，，當 時，，且，
作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，

又，所以方程有且只有一個實根，故C正確.
對于D，不妨設(shè). 要證，即證.
因為在單調(diào)遞減，所以只需證.
設(shè)，.
則，.,
由于，則，
，，則，則分母.
，，，，,則分子為正數(shù)，因此.
可得，所以在單調(diào)遞增.
所以，即，所以，正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，為單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的意義，結(jié)合向量的夾角公式計算即得.
【詳解】依題意，在上的投影向量為，則，
，而，
所以.
故答案為：
13. 若函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，則_____.
【答案】
【解析】
【分析】在函數(shù)的圖象上取兩點，，求出它們關(guān)于點
對稱的點，，再代入，解方程組即可得解.
【詳解】因為的定義域為，
又的圖象關(guān)于點2,0成中心對稱，
所以在函數(shù)的圖象上取兩點，，
則它們關(guān)于點2,0對稱的點，也在函數(shù)的圖象上，
所以，即，
解得，
經(jīng)檢驗，滿足題意，所以.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)的定義域為，若f2x+1為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性得到的相關(guān)式子，從而變形分析得是周期函數(shù)，
再利用賦值法依次求得所需函數(shù)值，從而利用的周期性即可得解.
【詳解】因為f2x+1為奇函數(shù)，所以，
即，所以，
因為為偶函數(shù)，所以，
所以，即fx+2=?fx，
所以fx+4=?fx+2=fx，
則是周期為的周期函數(shù)，
因為fx+2=?fx，即fx+2+fx=0，
則，，
所以，
因為，所以，則f1=0，
則
.
故答案為：.
【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性與周期性：
（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；
（2）若，則函數(shù)關(guān)于對稱；
（3）若，則函數(shù)的周期為2a；
（4）若，則函數(shù)的周期為2a.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知等差數(shù)列的前項和為，若公差，，且，，成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式和求和公式以及等比中項的應用得到方程組，解出即可；
（2）裂項得，再代入求和即可
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，
則，即，解得，
則.
小問2詳解】
，
所以
.
16. 已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
（1）求角；
（2）若，是的中點，，求.
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再逆用和角的正弦計算得解.
（2）在中，依次利用余弦定理求解即得.
【小問1詳解】
在中，由及正弦定理得，
即，而，，解得，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，，
在中，由余弦定理得，即，
整理得，又，則，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得.
17. 已知函數(shù)的最小正周期為.
（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程在上的解為，，求的值.
【答案】（1）遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)并求出解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間.
（2）利用正弦函數(shù)的對稱性求出，再求出.
【小問1詳解】
依題意，，則，解得，
因此，當時，，
由或，得或，
由，得，
所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.
【小問2詳解】
由，得，當時，，
依題意，，解得，
所以.
18. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)單調(diào)性；
（2）若有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當時，若，求證：.
【答案】（1）答案見解析；
（2）
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）求出，再利用導數(shù)分類探討函數(shù)的單調(diào)性.
（2）由（1）的信息，利用導數(shù)探討最大值，求出函數(shù)有兩個變號零點的的范圍.
（3）求出函數(shù)，利用導數(shù)求出最小值并結(jié)合基本不等式推理即得.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，求導得，
令，求導得，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，由，得，由，得，
函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
由函數(shù)有兩個極值點，得函數(shù)有兩個變號零點，
由（1）知，當時，最多一個零點，不符合題意；
當時，，
而從大于0的方向趨近于0時，的值趨近于負無窮大，當趨近于正無窮大時，的值趨近于負無窮大，
要函數(shù)有兩個變號零點，當且僅當，解得，
所以實數(shù)取值范圍是.
【小問3詳解】
當時，，，求導得，
令，求導得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，則存在，使得，即，
當時，；當時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以.
19. 設(shè)自然數(shù)，由個不同的正整數(shù)，，…，構(gòu)成的集合.若集合的每一個非空子集所含元素的和構(gòu)成新的集合，記為集合元素的個數(shù).對于集合，若取得最大值，則稱集合為“極異集合”；
（1）對于集合，求，并判斷其是否是的“極異集合”（無須說明理由）.
（2）設(shè)集合是“極異集合”.
（i）記，求證：數(shù)列前項和；
（ii）證明：.
【答案】（1），不是極異集合
（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)集合計算得出，再根據(jù)性質(zhì)定義可判斷不是極異集合；
（2）（i）根據(jù)是極異集合則其子集是極異集合，可證，再求和即可證明；.
（ii）不妨設(shè)，利用（i）的結(jié)論可證，從而可求最大值.
【小問1詳解】
對于集合，，不是極異集合.
對于，其共有7個非空子集：
各集合的和分別為：,則，，
因為有兩個相等元素所以集合不是極異集合.
【小問2詳解】
（i）因為是“極異集合”，故對于任意的k，也是“極異集合”，
否則有兩個非空子集，它們的元素和相等，
而也是的子集，故不是“極異集合”，矛盾.
注意到共有個非空子集，每個子集的元素和相異，
且子集的和最大為，最小為，故.
因為，
故
，
可得，故.
（ii）不妨設(shè)，
，
設(shè)，則，由（i）可得，且.
而
，
故，
當且僅當時等號成立，
即此時任意的正整數(shù)k，,即，
故此時時等號成立，故的最大值為，
故.
【點睛】思路點睛：對于與集合有關(guān)的新定義問題，注意根據(jù)定義檢驗，另外在問題解決的過程中，注意局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的關(guān)系，注意利用已有的結(jié)果來解決后面的問題.

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