一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知向量，，若，則（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】若，則，解得.
故選：B.
2. 向量，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為，，，
所以，即.
故選：.
3. 在中，角，，所對的邊為，，，，，，那么的大小是（ ）
A. B. 4C. D. 3
【答案】D
【解析】因為，，，
所以有，或舍去.
故選：D.
4. 在中，“”是“為等腰三角形”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】為等腰三角形，即充分性成立，
為等腰三角形或或，
不一定得到，即必要性不成立，
“”是“為等腰三角形”的充分不必要條件.
故選：A.
5. 已知向量，，且．則在方向上的投影向量的坐標是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為，，則，
所以，則，
所以在方向上的投影向量為
.
故選：A.
6. 在△ABC中，若，，△ABC的面積，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知，可得，
，
，
.
故選：D.
7. 在中，為上的中線，為的中點，，分別為線段，上的動點（不包括端點A，B，C），且M，N，G三點共線，若，，則的最小值為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】由題意
，
設，，
則
，
所以，，得，
所以（當且僅當時等號成立）.
故選：D.
8. 圓為銳角的外接圓，，點在圓上，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內部，如下圖示，
又，而，若外接圓半徑為r，
則，故，且，即，
由，
對于且在圓上，當為直徑時，當重合時，
所以，
綜上，，
銳角三角形中，則，即恒成立，
所以，則恒成立，
綜上，.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 設向量，則下列敘述正確的是（ ）
A. 若，則與的夾角為鈍角
B. 的最小值為2
C. 與垂直的單位向量只能為
D. 若，則
【答案】AB
【解析】對，當時，，
因為，所以與的夾角是鈍角，故正確；
對，，當且僅當時取等號，所以的最小值為，故正確；
對，設與垂直的單位向量為，
則，解得或，
與垂直的單位向量為或，故錯誤；
對，若，可得：，解得，故錯誤.
故選：AB.
10. 已知的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列說法正確的是（ ）
A. 若，，，則
B. 若，則
C. 若，則是銳角三角形
D. 若，則是鈍角三角形
【答案】ABD
【解析】對于A，由余弦定理得，
得，得，故A正確；
對于B，由及正弦定理，得，解得，故B正確；
對于C，因為，所以，
所以，所以A為銳角，但無法確定B和C是否為銳角，故C錯誤；
對于D，因為的三個角滿足，
所以由正弦定理化簡得，
設，，，c為最大邊，
由余弦定理得，
所以C為鈍角，所以是鈍角三角形，故D正確.
故選：ABD.
11. 中，內角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項正確的是（ ）
A.
B. 若，則只有一解
C. 若為銳角三角形，則取值范圍是
D. 若為邊上的中點，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】對于A，因，所以，則，
因為，所以，故A正確；
對于B，因為，則，，故只有一解，故B正確；
對于C，若為銳角三角形，則，，
則，則，即，
由正弦定理可知：，故C錯誤；
對于D，若D為邊上的中點，則，
所以，
由余弦定理知，得，
又，所以，
當且僅當時取得等號，
所以，
即，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知向量，不共線，如果，，，則共線的三個點是________.
【答案】，，
【解析】因為，，
所以，共線，且有公共點，所以，，三點共線.
13. 已知向量滿足，則________．
【答案】
【解析】由，得，有，
則.
14. 如圖，某山的高度BC＝300m，一架無人機在Q處觀測到山頂C的仰角為15°，地面上A處的俯角為45°，若∠BAC＝60°，則此無人機距離地面的高度PQ為__________m．
【答案】200
【解析】根據(jù)題意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，
所以m，
在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，
由正弦定理，得，即m，
RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 平面內給定三個向量，，．
（1）求滿足的實數(shù)m，n．
（2）若滿足，且，求的坐標．
解：（1）由題意可得，解得.
（2）設，由題意可得，
因為，則，①
又，所以，②
由①②解得或，
所以的坐標為或.
16. 在中，有.
（1）求角的大?。?br>（2）若，求的面積.
解：（1）由題意可得，，故.
（2）由三角形的面積公式可得.
因此，的面積為.
17. 如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，BD，AC相交于點O，M為BO中點．設向量，．
（1）求的值；
（2）用，表示和；
（3）證明：．
解：（1）
.
（2），
又為中點，
，
.
（3），
又，
，
，
所以.
18. 已知在銳角中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，.
（1）求角；
（2）若，D為中點，，求b；
（3）若，求的取值范圍.
解：（1）因為，
根據(jù)正弦定理，得，
所以，
所以，
即，
因為，所以，
又，所以.
（2）因為D為中點，所以，
所以，
所以，
所以，解得或（舍去），故.
（3）由正弦定理：，
所以，，
因為，所以，所以，
所以
，
因為銳角三角形，所以，
所以，，
所以，所以，
所以的取值范圍為.
19. 在直角梯形中，已知，，，，對角線交于點，點在上，且．
（1）求的值；
（2）若為線段上任意一點，求的取值范圍．
解：（1）以為原點，、分別為、軸建立平面直角坐標系，
則、、、，
因為，，，
所以，所以，所以點，
設，則，，
因為，所以，解得，
所以，，則．
（2）由（1）知，，設，其中，
則，
所以，
因為，故當時，取得最大值，
當時，取得最小值，
故的取值范圍為．

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