一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知z=1?2i，則z?的虛部為( )
A. 2iB. ?2iC. 2D. ?2
2.在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，則DE=( )
A. AB+12ADB. ?AB+12ADC. AB?12ADD. ?AB?12AD
3.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，cs(A+B)=13，則c=( )
A. 17B. 4C. 15D. 3
4.某小組有2名男生和1名女生，從中任選2名學(xué)生參加比賽，事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”( )
A. 是對立事件 B. 都是不可能事件 C. 是互斥事件但不是對立事件 D. 不是互斥事件
5.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是( )
(1)若兩個(gè)平面都與第三個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面平行；
(2)如果平面α外有兩點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，則直線AB/?/α；
(3)若兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行；
(4)一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交．
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
6.已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：
甲組：27，30，37，a，40，50；
乙組：24，b，33，44，48，52．
若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)對應(yīng)相等，第50百分位數(shù)也對應(yīng)相等，則a+b=( )
A. 60B. 65C. 70D. 75
7.已知直四棱柱的高為2，其底面四邊形ABCD水平放置時(shí)的斜二測直觀圖為矩形A′B′C′D′，如右圖所示．若A′O′=O′B′=B′C′=1，則該直四棱柱的表面積為( )
A. 20+4 2
B. 8+2( 2+ 3)
C. 20+8 2
D. 8+4( 2+ 3)
8.一個(gè)電路如圖所示，A，B，C，D為4個(gè)開關(guān)，其閉合的概率均為23，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為( )
A. 7681
B. 7781
C. 4081
D. 481
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.若a=(2,0)，b=(1, 3)，則( )
A. a?b=2B. |a+b|=|a?b|
C. {a,b}不能作為一組基底D. b在a方向上的投影向量為12a
10.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列四個(gè)命題中正確的命題是( )
A. 若acsA=bcsB=ccsC，則△ABC一定是等邊三角形
B. 若acsA=bcsB，則△ABC一定是等腰三角形
C. 若a2+b2?c2>0，則△ABC一定是銳角三角形
D. 若tanA+tanB+tanC>0，則△ABC一定是銳角三角形
11.圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面的半徑分別為r1=1，r2=2，母線AB長為2，點(diǎn)E為母線AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 圓臺的側(cè)面積為12π
B. AB與BC所成角為120°
C. 圓臺外接球的半徑為2
D. 在圓臺的側(cè)面上，從點(diǎn)C到點(diǎn)E的最短路徑的長度為5
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.擲兩顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為 ．
13.寫出一個(gè)同時(shí)滿足①②的復(fù)數(shù)z= ______．
①z2=z?；
②z?R．
14.佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一，香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲的功效.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)一批香囊中一種草藥甲的含量x(單位：克)與香囊功效y之間滿足y=15x?x2，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了6個(gè)香囊，得到香囊中草藥甲的含量的平均數(shù)為6克，香囊功效的平均數(shù)為15，則這6個(gè)香囊中草藥甲含量的方差為______克.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知復(fù)數(shù)z滿足z+z?=2，z?z?=4i．
(1)求|3+z?|；
(2)設(shè)復(fù)數(shù)zz?，z+2z?，10z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求cs.
16.(本小題15分)
△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2+c2?a2ab=2sinB?sinAsinA．
(1)求C的大??；
(2)若△ABC面積為6 3，外接圓面積為493π，求△ABC周長．
17.(本小題15分)
如圖，在幾何體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，EF//CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED= 3.M為棱FC上一點(diǎn)，平面ADM與棱FB交于點(diǎn)N．
(Ⅰ)求證：ED⊥CD；
(Ⅱ)求證：AD/?/MN；
(Ⅲ)若AD⊥ED，試問平面BCF是否可能與平面ADMN垂直？若能，求出FMFC的值；若不能，說明理由．
18.(本小題17分)
我省實(shí)行“3+1+2”高考模式，為讓學(xué)生適應(yīng)新高考的賦分模式，某校在一次?？贾惺褂觅x分制給高二年級學(xué)生的生物成績進(jìn)行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定A、B、C、D、E共五個(gè)等級，然后在相應(yīng)賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行賦分，A等級排名占比15%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是86～100；B等級排名占比35%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是71～85；C等級排名占比35%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是56～70；D等級排名占比13%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是41～55；E等級排名占比2%，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是30～40；現(xiàn)從全年級的生物成績中隨機(jī)取100學(xué)生的原始成績(未賦分)進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示：
(1)求圖中a的值，并求抽取的這100名學(xué)生的原始成績的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果為準(zhǔn)確值)；
(2)用樣本估計(jì)總體的方法，估計(jì)該校本次生物成績原始分不少于多少分才能達(dá)到賦分后的B等級及以上(含B等級)；(結(jié)果保留整數(shù))
(3)若采用分層抽樣的方法，從原始成績在[40,50)和[50,60)內(nèi)的學(xué)生中共抽取5人，查看他們的答題情況來分析知識點(diǎn)上的缺漏，再從中選取2人進(jìn)行調(diào)查分析，求這2人中恰有一人原始成績在[40,50)內(nèi)的概率．
19.(本小題17分)
羅星塔，位于福州馬尾，某校開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，有學(xué)生選擇測量羅星塔的高度，為此，他們設(shè)計(jì)了測量方案，如圖，羅星塔垂直于水平面，他們選擇了與羅星塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測得∠ADB=45°，AB=30米，且在A，B兩點(diǎn)觀察塔頂C點(diǎn)，仰角分別為45°和α，其中csα= 63．
(1)求羅星塔的高CD的長；
(2)在(1)的條件下求多面體A?BCD的表面積；
(3)在(1)的條件下求多面體A?BCD的內(nèi)切球的半徑．
答案解析
1.C
【解析】解：z=1?2i，
則z?=1+2i，其虛部為2．
故選：C．
2.C
【解析】解：因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，E是BC的中點(diǎn)，
則DE=DC+CB=AB+12CB=AB?12AD．
故選：C．
3.A
【解析】解：因?yàn)閍=2，b=3，cs(A+B)=13=cs(π?C)=?csC，
所以csC=?13，
則由余弦定理可得c= a2+b2?2abcsC= 4+9?2×2×3×(?13)= 17．
故選：A．
4.D
【解析】解：根據(jù)題意，從2名男生和1名女生中任選2名學(xué)生參加比賽，有“2名男生”和“1名男生和1名女生”兩種情況，
易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件，
故事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”不是互斥事件．
故選：D．
5.A
【解析】解：在(1)中，如果兩個(gè)平面都與第三個(gè)平面垂直，那么這兩個(gè)平面相交或平行，故(1)不正確；
在(2)中，如果平面α外有兩點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，如圖所示，
則直線AB和平面α可能平行或可能相交，故(2)錯(cuò)誤；
若兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行相交或異面，故(3)錯(cuò)誤；
空間中，如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它和另一條可能相交，也可能異面，故(4)錯(cuò)誤．
故選：A．
6.C
【解析】解：根據(jù)題意，甲、乙兩組數(shù)據(jù)都按從小到大順序排列，
甲乙都有6個(gè)數(shù)據(jù)，6×30%=1.8，
則甲組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30，乙組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為b，則有b=30，
又由6×50%=3，
則甲組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為12(37+a)，乙組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為12(33+44)=772，
則有12(37+a)=772，解可得a=40，
故a+b=70．
故選：C．
7.C
【解析】解：由直觀圖可得底面四邊形ABCD的平面圖形如下，
由AO′=O′B=BC=1，
則AO=OB=1,CO′= O′B2+B′C2= 2，所以O(shè)C=2 2，
則SABCD=2×2 2=4 2,BC= OC2+OB2=3，
所以CABCD=2(2+3)=10，
又直棱柱的高?=2，所以棱柱的側(cè)面積S側(cè)面積=CABCD??=20，
所以S表面積=S側(cè)面積+2SABCD=20+8 2，
故選：C．
8.A
【解析】解：電路由上到下有2個(gè)分支并聯(lián)，
開關(guān)A，B所在的分支不通電的概率為1?23×23=59，
開關(guān)C，D所在的分支不通電的概率為13×13=19，
所以燈亮的概率為1?59×19=7681．
故選：A．
9.AD
【解析】解：∵a=(2,0)，b=(1, 3)，
∴a?b=2，|a|=2，|b|= 1+3=2，
對于A選項(xiàng)，a?b=2，故A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，a+b=(3, 3)，a?b=(1,? 3)，
∴|a+b|= 9+3=2 3，|a?b|= 1+3=2，
∴|a+b|≠|(zhì)a?b|，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C選頂，顯然a，b不共線，{a,b}可以作為一組基底，故C錯(cuò)誤；
對于D選項(xiàng)，b在a方向上的投影向量為(a?ba2)a=(222)a=12a，故D選項(xiàng)正確．
故選：AD．
10.AD
【解析】解：若acsA=bcsB=ccsC，則sinAcsA=sinBcsB=sinCcsC，即tanA=tanB=tanC，即A=B=C，即△ABC是等邊三角形，故A正確；
若acsA=bcsB，則由正弦定理得sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；
△ABC中，∵a2+b2?c2>0，∴角C為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形，故C錯(cuò)誤．
由于tanA+tanB=tan(A+B)(1?tanAtanB)=?tanC(1?tanAtanB)，
所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC>0，則△ABC一定是銳角三角形，故D正確；
故選：AD．
11.BCD
【解析】解：圓臺的上、下底面半徑分別為r1=1，r2=2，母線AB長為2，E為母線AB中點(diǎn)，
所以圓臺的側(cè)面積為S側(cè)=π(r1+r2)l=π(1+2)×2=6π，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
因?yàn)閏s∠ABC=2?12=12，所以∠ABC=60°，所以AB與BC所成角為120°，選項(xiàng)B正確；
根據(jù)題意知，外接球的球心在圓臺的中心連線上，
設(shè)球心到上底面的距離為x，
所以1+x2=22+( 3?x)2，解得x= 3，
所以圓臺外接球的半徑為R= 1+( 3)2=2，選項(xiàng)C正確；
展開面如圖所示：
根據(jù)比例關(guān)系求出CD=OD=2，展開面為半圓環(huán)；
點(diǎn)E為母線的中點(diǎn)，所以O(shè)E=3，CE= 32+42=5，選項(xiàng)D正確．
故選：BCD．
12.536
【解析】解：擲兩顆骰子，總共可能出現(xiàn)的結(jié)果有n=6×6=36種，
出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6包含的可能結(jié)果有5種：
(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，
∴出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為p=536．
故答案為：536．
13.z=?12+ 32i(或z=?12? 32i)
【解析】解：因?yàn)閦?R，不妨設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，
由z2=z?得(a+bi)2=a2?b2+2abi=a?bi，
所以a2?b2=a2ab=?b，解得a=?12，b=± 32，所以z=?12? 32i或z=?12+ 32i，
故答案為：z=?12+ 32i(或z=?12? 32i).
14.39
【解析】解：設(shè)抽取的6個(gè)香囊中草藥甲的含量分別為xi克，香囊功效分別為yi，i=1，2，…，6，
草藥甲的含量的平均數(shù)為6克，香囊功效的平均數(shù)為15，
即x1+x2+?+x6=36，y1+y2+?+yn=15(x1+x2+?+xn)?(x12+x22+?+xn2)=90，
則x12+x22+?+x62=450，
則這6個(gè)香囊中草藥甲含量的方差s2=16[(x1?6)2+(x2?6)2+…+(x6?6)2]=16[(x12+x22+…+x62)?12(x2+x2+…+x6)+6×36]=16×(450?12×36+6×36)=39，
所以這6個(gè)香囊中草藥甲含量的方差為39克．
故答案為：39．
15.解：(1)復(fù)數(shù)z滿足z+z?=2，z?z?=4i．
所以z=1+2i，
所以z?=1?2i，
故|3+z?|=|4?2i|= 16+4=2 5；
(2)由(1)得zz?=(1+2i)(1?2i)=1?4i2=5，
則A(5,0)，
z+2z?=1+2i+2?4i=3?2i，則B(3,?2)，
10z=101+2i=10(1?2i)5=2?4i，則C(2,?4)，
所以AB=(?2,?2)，BC=(?1,?2)，．
故cs=AB?BC|AB||BC|=62 2× 5=3 1010．
【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，即可求解；
(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，求出A，B，C，再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．
16.解：(1)利用正弦定理得b2+c2?a2ab=2sinB?sinAsinA=2b?aa，
∴ab=b2+a2?c2，
∴csC=b2+a2?c22ab=12，
∵C∈(0,π)，
∴C=π3．
(2)由S圓=πR2=493π，得R=7 3，
∵csinC=2R=14 3，
解得c=7．
∵S△ABC=12absinC=6 3，
∴ab=24，
又c2=b2+a2?ab=(a+b)2?3ab，所以49=(a+b)2?72，
故a+b=11，
所以△ABC周長a+b+c=18．
【解析】(1)直接利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用求出C的值；
(2)利用正弦定理以及余弦定理求出三角形的周長．
17.解：(Ⅰ)證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以CD⊥AD．
又因?yàn)镃D⊥EA，EA∩AD=A，EA和AD在平面EAD內(nèi)，
所以CD⊥平面EAD.又ED在平面EAD內(nèi)，
所以ED⊥CD；
(Ⅱ)證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以AD//BC，
又因?yàn)锽C在平面FBC內(nèi)，AD不在平面FBC內(nèi)，
所以AD/?/平面FBC．
又因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN，
所以AD/?/MN．
(Ⅲ)解：平面ADMN與平面BCF可以垂直．證明如下：
連接DF.因?yàn)锳D⊥ED，AD⊥CD．
ED∩CD=D，ED，CD在平面CDEF內(nèi)，
所以AD⊥平面CDEF.DM在平面CDEF內(nèi)，
所以AD⊥DM．
因?yàn)锳D/?/MN，所以DM⊥MN．
因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN，
若使平面ADMN⊥平面BCF，
則DM⊥平面BCF，F(xiàn)C在平面BCF內(nèi)，
所以DM⊥FC．
在梯形CDEF中，因?yàn)镋F//CD，DE⊥CD，
CD=2EF=2，ED= 3，
所以DF=DC=2．
所以若使DM⊥FC能成立，則M為FC的中點(diǎn)．
所以FMFC=12．
【解析】(Ⅰ)證明：CD⊥平面EAD，即可證明ED⊥CD；
(Ⅱ)證明AD/?/平面FBC，即可證明：AD/?/MN；
(Ⅲ)若使平面ADMN⊥平面BCF，則DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC，可得DF=DC=2.若使DM⊥FC能成立，則M為FC的中點(diǎn)．
18.解：(1)∵(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，∴a=0.03，
抽取的這100名學(xué)生的原始成績的眾數(shù)的估計(jì)值為70+802=75分；
由頻率直方圖可得前三組的頻率和為(0.010+0.015+0.015)×10=0.40.5，
故中位數(shù)落在第四組，設(shè)中位數(shù)為x，則(x?70)×0.030=0.5?0.4，解得x=2203；
(2)由已知等級達(dá)到B及以上所占排名等級占比為0.15+0.35=0.50，
由(1)可得，中位數(shù)x=2203≈73.3，
故原始分不少于74分才能達(dá)到賦分后的B等級及以上；
(3)由題知得分在[40,50)和[50,60)內(nèi)的頻率分別為0.1和0.15，
則抽取的5人中，得分在[40,50)內(nèi)的有2人，得分在[50,60)的有3人，
記得分在[50,60)內(nèi)的3位學(xué)生為a，b，c，得分在[40,50)內(nèi)的2位學(xué)生為D，E，
則從5人中任選2人，樣本空間可記為：
Ω={ab,ac,aD,aE,bc,bD,bE,cD,cE,DE}，共包含10個(gè)樣本點(diǎn)，
用A表示“這2人中恰有一人得分在[40,50)內(nèi)”，
則A={aD,aE,bD,bE,cD,cE}，A包含6個(gè)樣本點(diǎn)，
所以P(A)=610=35．
【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，眾數(shù)的概念，中位數(shù)的概念，即可分別求解；
(2)根據(jù)中位數(shù)的值，即可求解；
(3)根據(jù)分層抽樣的概念及古典概型的概率公式，即可求解．
19.解：(1)設(shè)CD=x米，在△ACD中，∠CDA=90°，∠CAD=45°，則AD=CD=x，
在△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=α，且csα= 63，
則tanα= 22，所以BD= 2x，
因?yàn)椤螦DB=45°，所以由余弦定理得AB2=AD2+BD2?2AD?BD?cs∠ADB，
即x2+2x2?2x? 2xcs45°=302，解得x=30；
(2)由(1)知△ABD，△ACD，△BCD均為直角三角形，
CD=DA=AB=30，BD=30 2，所以AC=30 2,BC=30 3，
所以在△ABC中，滿足AB2+AC2=BC2，所以△ABC為直角三角形；
所以S△ABD=S△ACD=450,S△ABC=S△BCD=450 2，
所以SA?BCD全=900(1+ 2)平方米；
(3)設(shè)多面體A?BCD的內(nèi)切球的半徑為r，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換：
VA?BCD=13S△ABD?CD=13SA?BCD全?r
所以r=15( 2?1)米；
【解析】(1)設(shè)CD=x米，則可到AD=x，BD= 2x，再結(jié)合余弦定理即可求解；
(2)求各個(gè)面的面積即可求解表面積；
(3)利用等體積法即可求解．

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2023-2024學(xué)年福建省福州市四校教學(xué)聯(lián)盟高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷(含詳細(xì)答案解析)：

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