1. 在正項等比數(shù)列中，，則數(shù)列的公比為（ ）
A. B. 4C. D. 2
【正確答案】D
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后將已知條件結(jié)合等比數(shù)列通項公式化簡計算可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，得，，
所以，
所以，解得或（舍去），
故選：D
2. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】將拋物線轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)式，由定義求出準(zhǔn)線.
【詳解】由得，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.
故選：D
3. 已知兩條直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為.若，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】依題意得，，，，
而在和上單調(diào)遞增，且在上，，
在上，所以，即.
故選：D
4. 直線過定點Q，若為圓上任意一點，則的最大值為（ ）
A 1B. 3C. 4D. 2
【正確答案】B
【分析】求出直線定點坐標(biāo)、圓心坐標(biāo)、半徑，再由點與圓的圓心之間的距離加半徑求解
【詳解】由，得，
所以直線過定點，
由，知圓心坐標(biāo)，半徑為2，
所以到圓心的距離為，則在圓內(nèi)，
則的最大值為，
故選：B
5. 在等差數(shù)列中，若，則=（ ）
A. 100B. 120C. 57D. 18
【正確答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和性質(zhì)求解．
【詳解】是等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列，
又，，所以，，
，
所以，
故選：B．
6. 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，其中且雙曲線漸近線的斜率絕對值小于，則下列關(guān)系不正確的是（ ）
A. B. C. D. .
【正確答案】D
【分析】A選項，根據(jù)離心率的定義得到；B選項，先得到，從而得到，得到B正確；C選項，根據(jù)和得到；D選項，根據(jù)基本不等式得到，得到D錯誤.
【詳解】A選項，由題意得，，故，A正確；
B選項，雙曲線的一條漸近線方程為，故，
故，故，B正確；
C選項，由A知，故，故，C正確；
D選項，因為，，，
所以，
又，且，由基本不等式得，故，
所以，D錯誤.
故選：D
7. 已知首項為1的數(shù)列，且對任意正整數(shù)恒成立，則數(shù)列的前項和為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】變形得到，利用累乘法得到，故，利用裂項相消法求和得到答案.
【詳解】由題意易知，
由變形為，故，
所以
，
因為，所以，故，
所以.
故選：C
8. 已知長方體，，，是的中點，點P滿足，其中，，且平面，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（ ）
A. 3B. C. D. 2
【正確答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，可得點在矩形及內(nèi)部，結(jié)合平面，利用面面平行的知識找出點的軌跡，然后根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征與解三角形的知識算出答案.
【詳解】在長方體中，由，，，得點在矩形及內(nèi)部，
又平面，故點在過且平行于平面的平面內(nèi)，
連接交于點，取中點，連接，在上取點，使得，連接，，，
由是長方體，可知對角面為矩形，且，
因為，，
所以且，四邊形為平行四邊形，可得，
因為平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因為是平面內(nèi)的相交直線，
故平面平面，即平面是過且平行于平面的平面，
所以點的軌跡是四邊形截面與平面的交線，即線段.
因為矩形中，，，可知，
所以，可得中，，
所以，即動點的軌跡所形成的軌跡長度為3.
故選：A
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．（在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）
9. 若方程所表示的曲線為，則下面四個說法中正確的是（ ）
A. 若，則為橢圓
B. 若為橢圓，且焦點在軸上，則
C. 曲線可能是圓
D. 若為雙曲線，則
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式求解即可判斷AB；根據(jù)方程為圓列式求解判斷C；根據(jù)雙曲線的特征判斷D.
【詳解】當(dāng)時，方程為，此時表示圓，故A錯；C對；
若為橢圓，且焦點在軸上，則，解得，故B對；
若為雙曲線，則，解得，或，故D錯；
故選：BC
10. 任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘再加上；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）．比如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出．猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前 項和為 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ABD
【分析】求出數(shù)列的前幾項，可得數(shù)列中從第4項起以4，2，1循環(huán)，然后一一分析判斷即可.
【詳解】因為數(shù)列滿足，，
所以
，
所以，
所以AB正確，C錯誤，
因為數(shù)列中從第4項起以4，2，1循環(huán)，而，
所以，所以D正確，
故選：ABD
11. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D. 的最小值為
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)題意，由，得的范圍，由變形得，因此可得，由此分析選項是否正確，即可得答案
【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列的公比為，由，所以，
若，得，變形得，
又且，則，故，故A對；
由，故B錯；
，故C對；
因為又且，所以等比數(shù)列遞增數(shù)列，而，則的最小值為，故D錯；
故選：AC
12. 已知拋物線C：與圓O：交于A，B兩點，且，直線過C的焦點F，且與C交于M，N兩點，則下列說法中正確的是（ ）
A. 若直線的斜率為，則
B. 的最小值為
C. 若以MF為直徑的圓與y軸的公共點為，則點M的橫坐標(biāo)為
D. 若點，則周長最小值為
【正確答案】BCD
【分析】求出拋物線的方程，得焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組應(yīng)用韋達(dá)定理求弦長判斷A，再根據(jù)韋達(dá)定理得出焦點弦的性質(zhì)，然后利用基本不等式求解后判斷B，作出大致圖象，過點作準(zhǔn)線的垂線，結(jié)合拋物線的定義判斷C，過作準(zhǔn)線的垂線（是垂足），寫出三角形的周長，結(jié)合拋物線的定義轉(zhuǎn)化后得出不等關(guān)系，從而可得最小值判斷D．
【詳解】拋物線C：與圓O：交于A，B兩點，且，
則第一象限內(nèi)的交點的縱坐標(biāo)為，代入圓方程得橫坐標(biāo)為1，即，
所以，，即拋物線方程為，焦點為，
對選項A，設(shè)直線方程為，由得，
設(shè)，則，，
，
直線的斜率為時，，所以，A錯誤；
對選項B，由拋物線定義得
，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
因此的最小值為，B正確；
對選項C，如圖，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交軸于，取的中點，過作軸垂線，垂足為，
則，是梯形的中位線，
由拋物線定義可得，
所以，
所以以為直徑的圓與軸相切，
因此為切點，所以點縱坐標(biāo)為1，
又是中點，所以點縱坐標(biāo)為2，
而是拋物線上的點，因此其橫坐標(biāo)為1，C正確；
對選項D，過作垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，
所以的周長為，
當(dāng)且僅當(dāng)點的坐標(biāo)為時取等號（即與準(zhǔn)線垂直），D正確．
故選：BCD．
方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知數(shù)列的前項之和，則數(shù)列的通項公式__________．
【正確答案】
【詳解】分析：根據(jù)和項與通項得關(guān)系求結(jié)果.
詳解：因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因，所以.
點睛：給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求. 應(yīng)用關(guān)系式時，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起.
14. 已知雙曲線方程為（），若直線與雙曲線左右兩支各交一點，則實數(shù)的取值范圍為__________.
【正確答案】
【分析】求出漸近線方程，結(jié)合直線與雙曲線左右兩支各交一點，比較斜率即可得結(jié)果.
【詳解】因為雙曲線方程為（），
所以雙曲線的漸近線方程為，
因為直線與雙曲線左右兩支各交一點，
所以，解得，
即實數(shù)的取值范圍為，
故
15. 如圖，四棱錐中，底面，底面是邊長為6的正方形，且四棱錐的外接球的表面積為，點在線段上，且為線段的中點，則點到直線上任意點的距離的最小值為_____________．

【正確答案】
【分析】以D為坐標(biāo)原點，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立坐標(biāo)系，由外接球的表面積為，求出，由求得，為線段的中點，求出，然后幾根據(jù)兩點間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)求最值可得.
【詳解】由底面，所以
由底面是正方形，所以，
以D為坐標(biāo)原點，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立坐標(biāo)系，
設(shè)四棱錐的外接球的半徑為r，
由外接球的表面積為，即，所以，
，所以，
所以，又，即，
設(shè)，所以，
所以，所以，又，
因為為線段的中點，所以，
設(shè)直線上一點，
所以當(dāng)時，點到直線上任意點的距離的最小，其最小值為.
故
16. 瑞典數(shù)家科赫在1904年構(gòu)造能描述雪花形狀的圖案，就是數(shù)學(xué)中一朵美麗的雪花——“科赫雪花”．它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形（圖1），并把每一條邊三等分，再以中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線（圖2），如此繼續(xù)下去形成雪花曲線（圖3），直到無窮，形成雪花曲線．設(shè)雪花曲線的邊數(shù)為，面積為，若正三角形的邊長為，則=________； =________.
圖1 圖2 圖3
【正確答案】 ①. ②.
【分析】根據(jù)圖形，得出成等比數(shù)列，從而可得通項公式，再由圖形的形成過程得出邊長也成等比數(shù)列，而是在的基礎(chǔ)上每條邊向外增加一個小正三角形，由此可得面積間的關(guān)系，利用累加法求得通項公式．
【詳解】由題意，，，即是等比數(shù)列，公比是4，所以，
設(shè)雪花曲線的邊長為，則，，所以，
因為，
當(dāng)時，，
所以
．
故；.
方法點睛：本題考查歸納猜想，考查數(shù)列的應(yīng)用，解題方法是觀察圖形，通過圖形的形成歸納總結(jié)出與的關(guān)系：邊數(shù)間的關(guān)系，邊長的關(guān)系，面積的關(guān)系，從而利用數(shù)列的知識求得結(jié)論．
四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（共6大題，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）
17. 已知等差數(shù)列的前項和為，；
（1）求等差數(shù)列的前項和及的最大值；
（2）求數(shù)列的前項和.
【正確答案】（1），210；
（2）212.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前項和公式，結(jié)合性質(zhì)求出公差及首項即可得解.
（2）由（1）求出數(shù)列的通項公式，判斷項的正負(fù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論求解即得.
【小問1詳解】
等差數(shù)列的前項和為，由，得，解得，
由，得，解得，則，公差，
因此，對稱軸為，因為，則當(dāng)或時，，
所以，的最大值為210.
【小問2詳解】
由（1）知，，則，
所以
.
18. 已知圓，直線過點.
（1）若直線與圓相交，求直線的斜率的取值范圍；
（2）以線段為直徑的圓與圓相交于兩點，求直線的方程及的面積.
【正確答案】（1）
（2），
【分析】（1）利用圓心到直線的距離小于半徑或聯(lián)立直線方程、圓的方程結(jié)合判別式均可以求出斜率的范圍.
（2）求出弦長和圓心到直線的距離后可求三角形的面積，或者求出兩個交點的坐標(biāo)后可求三角形的面積.
【小問1詳解】
法一：由已知可得圓，直線即，
∵直線與圓相交，∴圓心到直線的距離小于半徑，
即，解得，故直線的斜率的取值范圍為.
法二：設(shè)直線的方程,
聯(lián)立方程得,
故，解得.
故直線的斜率的取值范圍.
【小問2詳解】
以為直徑的圓，且半徑，
圓的方程為，
由圓和圓：可得：
的方程為：，
整理得直線的方程為.
法一：因為圓心到直線的距離即,
，，
所以的面積.
法二：聯(lián)立方程，得，
解得或，
所以的面積.
19. 已知標(biāo)準(zhǔn)雙曲線的焦點在軸上，且虛軸長，過雙曲線的右焦點且垂直軸的直線交雙曲線于兩點， 的面積為.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點的直線交雙曲線于兩點，且點是線段的中點，求直線的方程.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)題意，表示出，再由的面積，并結(jié)合雙曲線中的關(guān)系求解；
（2）法一：設(shè)出直線的點斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式求解；法二：利用點差法求解.
【小問1詳解】
由題設(shè)雙曲線，直線的方程為
聯(lián)立方程解得
，又，
，則
而
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
法一：因為過點的直線與雙曲線相交于兩點，
可知，直線的方程不是，
設(shè)直線的方程為即
聯(lián)立方程
得①
解得
將代入①，得
故直線的方程為.
法二：因為過點的直線與雙曲線相交于兩點，
可知，直線的方程不是，
設(shè)
得，
,
直線的方程為，即，
聯(lián)立方程
得，
故直線的方程為.
20. 在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為的中點．
（1）證明：平面；
（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）法一：利用構(gòu)造平行四邊形，結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；法二：利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可得證；
（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，從而利用空間向量法即可得解.
【小問1詳解】
法一：取中點，連接，
為的中點，，
又，，
四邊形為平行四邊形，，
平面平面，
平面.
法二：取中點，連接，
為的中點，，
平面平面，平面，
又，，
四邊形為平行四邊形，，
平面平面，平面
又，平面，平面平面，
又平面，平面.
【小問2詳解】
因為平面平面，平面平面平面，，
平面，
取中點，連接，則平面，
所以是直線與平面所成的角，即，
又，，
又，
又，則，
以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
，
，
設(shè)平面的一個法向量，，
則，取，則，
易得平面的一個法向量可取，
設(shè)平面與平面所成的夾角為，
，
故平面與平面所成的夾角的余弦為.
21. 已知數(shù)列的首項，且滿足．
（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列；
（2）若，記數(shù)列的前n項和為，求．
【正確答案】（1）答案見解析
（2）
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義及構(gòu)造法求通項可判斷；
（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式、等差數(shù)列求和公式，利用數(shù)列分組求和及錯位相減法求和可得結(jié)果.
小問1詳解】
法一：若解得，則數(shù)列不是等比數(shù)列；
若即，因為，所以，
，
所以當(dāng)時，數(shù)列不是等比數(shù)列，
當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
法二：若解得，則數(shù)列不是等比數(shù)列；
若即，因為，所以，
，所以，
，
所以當(dāng)時則數(shù)列不等比數(shù)列
當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
【小問2詳解】
由（1）知，，所以，則．
則，
令，
令 ①
所以 ②
①②相減得：
，
得．
所以.
22. 已知點，是圓：上的任意一點，線段的垂直平分線交于點，設(shè)動點的軌跡曲線為；
（1）求曲線的方程；
（2）過點作斜率不為0的直線交曲線于兩點，交直線于．過點作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點，直線交軸于點，求線段中點M的坐標(biāo)．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由題意設(shè)動點，由已知條件結(jié)合橢圓定義可知點的軌跡為以為左右焦點，長軸長為4的橢圓，列出方程求出，從而可求得曲線的方程；
（2）方法一：設(shè)出直線方程和兩點的坐標(biāo)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出，，再表示出直線，的方程，則可表示出點的坐標(biāo)，從而可求出線段中點M的坐標(biāo)；方法二：設(shè)直線l方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出，，再表示出直線，的方程，則可表示出點的坐標(biāo)，從而可求出線段中點M的坐標(biāo).
【小問1詳解】
設(shè)動點，
因為線段的垂直平分線交于點,
所以,
所以，
因為，
所以由橢圓定義可知點的軌跡為以為左右焦點，長軸長為4的橢圓，
設(shè)動點的軌跡曲線的方程 ，
則，
故動點的軌跡曲線的方程；
【小問2詳解】
方法一：直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l方程為，
聯(lián)立，整理得，
，
設(shè)，則，，
直線l交直線于，則，
所以直線的方程為，，
令，解得，則，
所以直線的方程為，，
令，解得，則，
，
所以線段CD中點M的坐標(biāo)為.
方法二：直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l方程為，
聯(lián)立，整理得，
，
設(shè)，則，，
直線l交直線于，則，
所以直線的方程為，，
令，解得，則，
同理可得，
，
所以線段CD中點M的坐標(biāo)為.
關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入橢圓方程化簡后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合題意求解，考查計算能力和邏輯推理能力，屬于較難題.

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