1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.
2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.
3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．
【知識點(diǎn)】
1．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小稱為向量的 ．
(2)零向量：長度為 的向量，記作 ．
(3)單位向量：長度等于 長度的向量．
(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量 ．
(5)相等向量：長度相等且方向 的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向 的向量．
2．向量的線性運(yùn)算
3.向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使 .
常用結(jié)論
1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(———→))＝eq \(A1An,\s\up6(—→))，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
2．若F為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
3．若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
4．對于任意兩個(gè)向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【核心題型】
題型一 平面向量的基本概念
平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)非零向量的平行具有傳遞性．
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．
(4)eq \f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．
【例題1】（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（2023·北京大興·三模）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【變式2】（2022·江蘇·三模）已知向量，與共線且方向相反的單位向量 .
【變式3】（2022·上海虹口·二模）已知向量，滿足，，，則 .
題型二 平面向量的線性運(yùn)算
平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略
(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．
(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．
命題點(diǎn)1 向量加、減法的幾何意義
【例題2】（2024·福建福州·三模）已知線段是圓的一條長為2的弦，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式1】（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）在中，，則（ ）
A．B．
C．D．
【變式2】（2023·四川樂山·一模）已知正六邊形邊長為2，是正六邊形的外接圓的一條動弦，，P為正六邊形邊上的動點(diǎn)，則的最小值為 .
【變式3】（2023·上海金山·二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為 ．
命題點(diǎn)2 向量的線性運(yùn)算
【例題3】（2023·河北·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，已知，且，則向量與的夾角的余弦值為（ ）
A．B．0C．D．
【變式1】（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知為等邊的中心，若，則 ．（用表示）
【變式2】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知不共線的三個(gè)單位向量滿足與的夾角為，則實(shí)數(shù) .
【變式3】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且的面積為.
(1)求角；
(2)若，求的最小值.
命題點(diǎn)3 根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)
【例題4】（2024·江蘇·二模）已知非零向量，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（2024·浙江杭州·三模）已知不共線的平面向量，滿足，則正數(shù)（ ）
A．1B．C．D．2
【變式2】（2024·上?！と＃┰O(shè)平面向量，，若，不能組成平面上的一個(gè)基底，則 ．
【變式3】（2023·四川南充·一模）在中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知向量，，且．
(1)求角A的大??；
(2)若，，求的面積．
題型三 共線定理及其應(yīng)用
利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù)．
(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(3)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.
【例題5】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面上點(diǎn)，，滿足，且，點(diǎn)滿足，動點(diǎn)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．1或
【變式1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（ ）
A．三點(diǎn)共線B．三點(diǎn)共線
C．三點(diǎn)共線D．三點(diǎn)共線
【變式2】（2024·上海松江·二模）已知正三角形的邊長為2，點(diǎn)滿足，且，，，則的取值范圍是 .
【變式3】（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點(diǎn)M，N．
(1)若Q是BC的中點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)若P是平面上一點(diǎn)，且滿足，求的最小值．
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量，，則“”是“存在，使得”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2023·貴州黔東南·三模）在△ABC中，已知，M為線段AB的中點(diǎn)，，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，，，則與向量同方向的單位向量為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·山西朔州·一模）已知，且，則（ ）
A．B．C．4D．
二、多選題
5．（2024·遼寧·二模）的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則（ ）
A．三點(diǎn)共線B．
C．D．點(diǎn)在的內(nèi)部
6．（2024·浙江寧波·二模）若平面向量滿足且，則（ ）
A．的最小值為2
B．的最大值為5
C．的最小值為2
D．的最大值為
三、填空題
7．（2023·重慶·一模）在中，，點(diǎn)Q滿足，則的最大值為 .
8．（2023·云南大理·模擬預(yù)測）若，，，則在上投影向量的模為 ．
9．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）若平面四邊形滿足，，則該四邊形一定是 .
四、解答題
10．（2024·山西朔州·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，向量，且．
(1)求；
(2)求的最小值．
11．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．
(1)求角；
(2)若，求面積的最大值．
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2023·四川南充·一模）已知正方形的邊長為1，則（ ）
A．0B．C．D．4
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，則“”是“與共線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知平面向量，不共線，，，且，則（ ）
A．B．0C．1D．
4．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)F為線段BC上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．8D．9
5．（2023·四川南充·一模）已知正方形的邊長為1，則（ ）
A．0B．C．2D．
6．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知向量，，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）設(shè)平面向量，，且，則=（ ）
A．1B．14C． D．
8．（2024·上海楊浦·二模）平面上的向量、滿足：，，.定義該平面上的向量集合.給出如下兩個(gè)結(jié)論：
①對任意，存在該平面的向量，滿足
②對任意，存在該平面向量，滿足
則下面判斷正確的為（ ）
①正確，②錯(cuò)誤B．①錯(cuò)誤，②正確
C．①正確，②正確D．①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤
二、多選題
9．（2023·海南?？凇つM預(yù)測）下列命題為真命題的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第90百分位數(shù)是21
B．若等差數(shù)列滿足、、、，則
C．非零平面向量 、 、滿足，，則
D．在中，“”與“”互為充要條件
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)是兩個(gè)非零向量，下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
11．（2022·遼寧·模擬預(yù)測）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.如圖，已知圓O的半徑為2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦AC、BD均過點(diǎn)P，則下列說法正確的是（ ）
A．為定值B．的取值范圍是
C．當(dāng)時(shí)，為定值D．的最大值為12
三、填空題
12．（2024·天津·一模）已知平行四邊形的面積為，，且.若F為線段上的動點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為 ；的最小值為 .
13．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知向量，，，若，則 ．
14．（2024·青海西寧·二模）若向量不共線，且，則的值為 ．
四、解答題
15．（2024·吉林延邊·一模）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．
(1)求B；
(2)若點(diǎn)D在AC上，且，求．
16．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）的角對應(yīng)邊是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知.
(1)求 a 的長.
(2)求的面積.
17．（2023·湖南·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為的面積為.
(1)求的大小.
(2)點(diǎn)滿足.若，求.
18．（2023·四川成都·三模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，．
(1)求角的大??；
(2)若，，求c的值．
19．（2024·山東青島·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)W為：和的公共點(diǎn)，，與直線相切，記動點(diǎn)M的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)若，直線與C交于點(diǎn)A，B，直線與C交于點(diǎn)，，點(diǎn)A，在第一象限，記直線與的交點(diǎn)為G，直線與的交點(diǎn)為H，線段AB的中點(diǎn)為E．
①證明：G，E，H三點(diǎn)共線；
②若，過點(diǎn)H作的平行線，分別交線段，于點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值．
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知在梯形中，且滿足，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)，，則（ ）．
A．B．C．D．
2．（2024·北京西城·二模）已知向量，滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全國·二模）點(diǎn)是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則直線經(jīng)過的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知是邊長為1的正三角形，是上一點(diǎn)且，則（ ）
A．B．C．D．1
二、多選題
5．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長為4，點(diǎn)D，E滿足，，與CD交于點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·安徽淮北·一模）如圖，邊長為2的正六邊形，點(diǎn)是內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)，，，.（ ）

A．B．存在點(diǎn)，使
C．若，則點(diǎn)的軌跡長度為2D．的最小值為
三、填空題
7．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了 “勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖” (以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形). 類比 “趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，且，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在 內(nèi) (含邊界)一點(diǎn)，若，則的最大值為 .
8．（2022·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）點(diǎn)在橢圓上，不在坐標(biāo)軸上，，，，，直線與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)，，則的值為 ．
9．（2023·四川樂山·一模）已知正方形邊長為，是正方形的外接圓的一條動弦，，為正方形邊上的動點(diǎn)，則的最大值為 .
四、解答題
10．（2023·江西·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知為邊的中點(diǎn)，．
(1)求角的大?。?br>(2)若的面積為，求周長的最小值．
11．（2023·河北·模擬預(yù)測）如圖，D為內(nèi)部一點(diǎn)，于E，.請從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立.①；②；③.
向量運(yùn)算
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
交換律：a＋b＝ ；
結(jié)合律：(a＋b)＋c＝________
減法
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
|λa|＝ ，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向 ；
當(dāng)λ

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