1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.
2.理解三角形的面積公式并能應用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．
【知識點】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
2．三角形解的判斷
3．三角形中常用的面積公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝ ＝ ＝ ；
(3)S＝ (r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．
常用結(jié)論
在△ABC中，常有以下結(jié)論：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
(3)a>b?A>B?sin A>sin B，cs A0，φ>0)個單位長度而非φ個單位長度．
(2)如果平移前后兩個圖象對應的函數(shù)的名稱不一致，那么應先利用誘導公式化為同名函數(shù)，ω為負時應先變成正值
【例題1】（2024·廣東江門·二模）是內(nèi)一點，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（2024·河北滄州·模擬預測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則 .
【變式2】（2024·山東日照·二模）的內(nèi)角的對邊分別為．分別以為邊長的正三角形的面積依次為，且．
(1)求角；
(2)若，，求．
【變式3】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若為銳角三角形，點F為的垂心，，求的取值范圍.
題型二 正弦定理、余弦定理的簡單應用
命題點1 三角形的形狀判斷
判斷三角形形狀的兩種思路
(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．
(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．
【例題2】（2024·陜西渭南·三模）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則是（ ）
A．銳角三角形B．鈍角三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形
【變式1】（2024·湖南衡陽·模擬預測）在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為 .
【變式2】（2024·安徽淮北·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知
(1)試判斷的形狀；
(2)若，求周長的最大值.
【變式3】（2024·內(nèi)蒙古·三模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求的值；
(2)若，證明：為直角三角形.
命題點2 三角形的面積
三角形面積公式的應用原則
(1)對于面積公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．
(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化．
【例題3】（2024·云南昆明·三模）已知中，，，，則的面積等于（ ）
A．3B．C．5D．
【變式1】（2024·安徽·三模）在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足,，則的面積是 ．
【變式2】（2024·浙江紹興·二模）在三角形中，內(nèi)角對應邊分別為且.
(1)求的大??；
(2)如圖所示，為外一點，，，，，求及的面積.
【變式3】（2024·全國·模擬預測）在中，已知.
(1)求證：；
(2)若D為AB的中點，且，，求的面積.
命題點3 與平面幾何有關的問題
在平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設計等問題時，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數(shù)思想
【例題4】（2024·山東聊城·二模）如圖，在平面四邊形中，，記與的面積分別為，則的值為（ ）
A．2B．C．1D．
【變式1】（22-23高三上·江蘇揚州·期末）如圖，在中，，，、分別在邊、上，，且.則值是 ；的面積是 .
【變式2】（2024·廣東梅州·二模）在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，，，
(1)求A的大?。?br>(2)點D在BC上，
（Ⅰ）當，且時，求AC的長；
（Ⅱ）當，且時，求的面積．
【變式3】（23-24高三下·山東·開學考試）如圖所示，圓的半徑為2，直線與圓相切于點，圓上的點從點處逆時針轉(zhuǎn)動到最高點處，記.
(1)當時，求的面積；
(2)試確定的值，使得的面積等于的面積的2倍.
【課后強化】
【基礎保分練】
一、單選題
1．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A．為銳角三角形B．為直角三角形
C．為鈍角三角形D．的形狀無法確定
2．（2024·貴州遵義·三模）在中，角的對邊分別為，D為的中點，已知，，且，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·河南·階段練習）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，的平分線交邊AC于點D，且，則（ ）
A．B．C．6D．
4．（2024·山東棗莊·模擬預測）在中，，為內(nèi)一點，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2024·江西·二模）已知中，為的角平分線，交于點為中點，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．的面積為
D．在的外接圓上，則的最大值為
6．（2024·重慶·模擬預測）已知的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的有（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則為鈍角三角形D．若，則為銳角三角形
三、填空題
7．（2024·北京昌平·二模）已知中，，則 ．
8．（2024·江蘇·二模）設鈍角三個內(nèi)角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若，，，則 .
9．（2024·河南·三模）如圖，在中，角所對的邊分別為，已知，的平分線交邊于點邊上的高為邊上的高為，，則 ； .

四、解答題
10．（2024·上海寶山·二模）在中，角、、的對邊分別為、、，已知.
(1)求角的大??；
(2)若的面積為，求的最小值，并判斷此時的形狀.
11．（2024·江西·模擬預測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．
(1)求角；
(2)若的角平分線交于點，點在線段上，，求的面積．
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024·浙江金華·三模）在中，角的對邊分別為，，.若，，，則為（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
2．（2024·青海西寧·二模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山東·模擬預測）在中，角的對邊分別是，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川成都·模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，給出以下4個命題：
（1）若，則；
（2）若，則一定為直角三角形；
（3）若，，，則外接圓半徑為；
（4）若，則一定是等邊三角形.
則其中真命題的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，且，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形B．頂角為的等腰三角形
C．頂角為的等腰三角形D．等腰直角三角形
6．（2024·吉林長春·模擬預測）的內(nèi)角所對的邊分別為，則（ ）
A．2B．C．D．1
7．（2024·河北秦皇島·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，則（ ）
A．為直角三角形B．為銳角三角形
C．為鈍角三角形D．的形狀無法確定
8．（2024·重慶·三模）若圓內(nèi)接四邊形滿足，，則四邊形的面積為（ ）
A．B．C．3D．
二、多選題
9．（2024·全國·模擬預測）若的三個內(nèi)角為，則下列說法正確的有（ ）
A．一定能構(gòu)成三角形的三條邊
B．一定能構(gòu)成三角形的三條邊
C．一定能構(gòu)成三角形的三條邊
D．一定能構(gòu)成三角形的三條邊
10．（2024·廣東廣州·二模）在梯形中，，則（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·浙江·三模）已知 的內(nèi)角的對邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若 ，則 有兩解
C．當時， 為直角三角形
D．若 為銳角三角形，則 的取值范圍是
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預測）已知在中，點在線段上，且，則 ．
13．（2024·湖南長沙·二模）在中，若，，，則 .
14．（2024·福建廈門·三模）記銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，則的取值范圍是 .
四、解答題
15．（2024·陜西西安·模擬預測）設的內(nèi)角所對的邊分別是且向量滿足.
(1)求A；
(2)若，求BC邊上的高.
16．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，的角平分線與相交于點，且.
(1)求的大??；
(2)求的值.
17．（2023·黑龍江·模擬預測）某校高中“數(shù)學建?！睂嵺`小組欲測量某景區(qū)位于：“觀光湖”內(nèi)兩處景點A，C之間的距離，如圖，B處為碼頭入口，D處為碼頭，BD為通往碼頭的棧道，且，在B處測得，在D處測得．（A，B，C，D均處于同一測量的水平面內(nèi)）
(1)求A，C兩處景點之間的距離；
(2)棧道BD所在直線與A，C兩處景點的連線是否垂直？請說明理由．
18．（2024·湖南·模擬預測）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．
(1)證明：是銳角三角形；
(2)若，求的面積．
19．（2023·遼寧鞍山·二模）請從①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評分.選擇的編號請?zhí)顚懙酱痤}卡對應位置上）
在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若___________，
(1)求角B的大??；
(2)若△ABC為銳角三角形，，求的取值范圍.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·山東·二模）在中，設內(nèi)角的對邊分別為，設甲：，設乙：是直角三角形，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2024·安徽·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陜西咸陽·三模）為了進一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府在市區(qū)多地規(guī)劃建設了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”中，準備修一條三角形健身步道，已知扇形的半徑，圓心角，是扇形弧上的動點，是半徑上的動點，，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·遼寧·模擬預測）三棱錐P﹣ABC所有棱長都等于2，動點M在三棱錐P﹣ABC的外接球上，且的最大值為s，最小值為t，則（ ）
A．2B．C．D．3
二、多選題
5．（2024·湖北·模擬預測）在中，所對的邊為，設邊上的中點為，的面積為，其中，，下列選項正確的是（ ）
A．若，則B．的最大值為
C．D．角的最小值為
6．（23-24高一下·河北石家莊·階段練習）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法中正確的是（ ）
A．若，則一定是等腰三角形
B．若，則一定是等邊三角形
C．若，則一定是等腰三角形
D．若，則一定是鈍角三角形
三、填空題
7．（2024·全國·三模）在中，，.若，則的面積為 .
8．（2024·陜西銅川·三模）已知的內(nèi)角所對的邊分別是，點是的中點.若，且，則 .
9．（2024·廣西·模擬預測）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且的面積，則的取值范圍為 ．
四、解答題
10．（2024·河南·三模）已知是內(nèi)一點，.
(1)若，求；
(2)若，求.
11．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）某公園計劃改造一塊四邊形區(qū)域ABCD鋪設草坪，其中百米，百米，，，草坪內(nèi)需要規(guī)劃4條人行道DM、DN、EM、EN以及兩條排水溝AC、BD，其中M、N、E分別為邊BC、AB、AC的中點．
(1)若，求排水溝BD的長；
(2)若，試用表示4條人行道的總長度．
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
eq \f(a,sin A)＝ ＝ ＝2R
a2＝ ；
b2＝ ；
c2＝
變形
(1)a＝2Rsin A，
b＝ ，
c＝ ；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，
sin B＝ ，
sin C＝ ；
(3)a∶b∶c＝____________
cs A＝ ；
cs B＝ ；
cs C＝
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關系式
a＝bsin A
bsin A< ab
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
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