考點(diǎn)12 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）-2025高考數(shù)學(xué)一輪精講講練（新高考版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).
2.通過(guò)實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).
3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．
【知識(shí)點(diǎn)】
1．對(duì)數(shù)的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝lgaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．
以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記作lg N.
以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記作ln N.
2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)
(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：lga1＝0，lgaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)對(duì)數(shù)換底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
4.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．
常用結(jié)論
1．lgab·lgba＝1，＝eq \f(n,m)lgab.
2．如圖給出4個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象
則b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．
3．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgax(a>0，且a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
【核心題型】
題型一對(duì)數(shù)式的運(yùn)算
解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的常用方法
(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并．
(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．
【例題1】（23-24高三下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）集合則集合的元素個(gè)數(shù)為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先求出集合中的元素，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算確定集合中的元素即可.
【詳解】，
則或或或，
所以，元素個(gè)數(shù)為.
故選：B.
【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)空房間中大聲講話會(huì)產(chǎn)生回音，這個(gè)現(xiàn)象叫做“混響”．用聲強(qiáng)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，假設(shè)講話瞬間發(fā)出聲音的聲強(qiáng)為，則經(jīng)過(guò)秒后這段聲音的聲強(qiáng)變?yōu)?，其中是一個(gè)常數(shù)．把混響時(shí)間定義為聲音的聲強(qiáng)衰減到原來(lái)的所需的時(shí)間，則約為（參考數(shù)據(jù)：）（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】由題意，，即，等號(hào)兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得
，即，所以．
故選：C．
【變式2】（2024·遼寧丹東·一模）若，，，則（）
A．-2B．C．D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式，即可求解.
【詳解】由，，，可得，
所以，則.
故選：B.
【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（）
A．4B．5C．6D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，解得，
所以.
故選：B.
題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法
(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．
(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．
【例題2】（2024·北京東城·一模）設(shè)函數(shù)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分別計(jì)算即可得解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，，故CD錯(cuò)誤.
故選：A.
【變式1】（2024·陜西咸陽(yáng)·二模）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】計(jì)算出集合、后，借助補(bǔ)集定義及交集定義即可得.
【詳解】由，即，解得，故，
由，可得，即或，故，
故.
故選：B.
【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由．構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合，利用函數(shù)為增函數(shù)求解．
【詳解】解：法一：因?yàn)椋?br>所以．
構(gòu)造函數(shù)，的定義域?yàn)?，且為增函?shù)．
因?yàn)?，所以?br>即，即，所以，
即的取值范圍為．
故選：A．
法二：因?yàn)椋?br>所以．
構(gòu)造函數(shù)，的定義域?yàn)?，且為增函?shù)．
因?yàn)椋?br>所以，所以，
即的取值范圍為．
故選：A．【變式3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則以及函數(shù)在上有意義列不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得.
故選：B.
題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三個(gè)問(wèn)題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成．
命題點(diǎn)1 比較對(duì)數(shù)式的大小
【例題3】（2024·云南·一模）已知，若，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用在上為增函數(shù)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由得：，，，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，
所以，
即.
故選：B.
【變式1】（2024·全國(guó)·二模）已知，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，，又?br>所以，又，
所以.
故選：A
【變式2】（2024·浙江溫州·二模）已知，則的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求最值得，從而有，再利用函數(shù)單調(diào)遞減得，利用函數(shù)單調(diào)遞增得，即可比較大小.
【詳解】對(duì)，因?yàn)?，則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，
且時(shí)，，則，即，所以，
因?yàn)榍遥裕?br>又，所以.
故選：B
【變式3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到最大，再利用作差法，結(jié)合基本不等式得到，從而得解.
【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，
，
，
所以，，；
當(dāng)時(shí)，，
所以
，
取，則，
所以
，即，
綜上，
命題點(diǎn)2 解對(duì)數(shù)方程、不等式
【例題4】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式及對(duì)數(shù)不等式后結(jié)合并集定義計(jì)算即可得.
【詳解】由，可得，解得，
即，
由，即，即，
即，故.
故選：A.
【變式1】（2024·上海青浦·二模）已知，，若，則滿足條件的的取值范圍是．
【答案】；
【分析】由絕對(duì)值等式可知，代入函數(shù)后解不等式再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算和取值范圍求出結(jié)果即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，
解得或，
所以的取值范圍是，
故答案為：.
【變式2】（2024·湖北·一模）已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為．
【答案】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，得，
當(dāng)時(shí)，，得，所以，
綜上：的解集為，
故答案為：.
【變式3】（23-24高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的定義域是 .
【答案】
【分析】結(jié)合函數(shù)解析式得到不等式組，進(jìn)而可得到答案.
【詳解】由題意，得，即，
所以，所以定義域?yàn)?
故答案為：
命題點(diǎn)3 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【例題5】（2024·廣東·一模）已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞增的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（）
A．16B．24C．32D．48
【答案】B
【分析】分類討論單調(diào)性，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.
【詳解】若和在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有個(gè)；
若和在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有個(gè)；
若和在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有個(gè)；
若、和在上單調(diào)遞增，則有個(gè)；
綜上所述：共有個(gè).
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用技巧
（1）在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計(jì)數(shù)原理．
（2）對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問(wèn)題形象化、直觀化．
【變式1】（2024·江西九江·二模）若函數(shù)在（1，2）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)求解.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減且恒大于0，
則有，解得.
故選：C
【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)b，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依題意根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上恒成立，即可得到，從而求出的取值范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得.
【詳解】若在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上恒成立，
所以，解得，故所求的概率.
故選：D.
【變式3】（2024·遼寧·一模）若函數(shù)使得數(shù)列，為遞減數(shù)列，則稱函數(shù)為“數(shù)列保減函數(shù)”，已知函數(shù)為“數(shù)列保減函數(shù)”，則a的取值范圍（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】易知對(duì)任意的恒成立，參變分離即可求解.
【詳解】由題可知對(duì)任意的恒成立，
即對(duì)任意的恒成立，
因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞減，在時(shí)單調(diào)遞增，
在時(shí)單調(diào)遞減，
在n＝1時(shí)取最大值,且最大值為，
.
故選：B.
【課后強(qiáng)化】
基礎(chǔ)保分練
一、單選題
1．（2023高三上·四川·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的圖象是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域及函數(shù)值的正負(fù)判斷即可.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋蔅D錯(cuò)誤；
又，故C錯(cuò)誤；故A正確.
故選：A
2．（2024·廣西·二模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（）
A．2B．0C．1D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，求得，得到，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，得到答案.
【詳解】由函數(shù)，
可得，
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，可得，
可得，即，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為.
故選：A.
3．（2024·湖南·一模）已知，且，則是的（）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】利用不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算及充分、必要條件的定義判定即可.
【詳解】若，符合，但此時(shí)，不滿足充分性，
若，符合，但是，不滿足必要性.
故選：D
4．（2024·浙江·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）
A．B．0C．D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)偶函數(shù)滿足的關(guān)系即可化簡(jiǎn)求解.
【詳解】的定義域?yàn)?，?br>由于為偶函數(shù)，故，即，
故，解得
故選：A
二、多選題
5．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．B．C．的最小值為D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)題意，由，得到，可判定A正確、B不正確；由基本不等式，求得，可得判定C不正確；結(jié)合，結(jié)合基本不等式，可判定D正確.
【詳解】由函數(shù)，且，如圖所示，可得，
所以，即，可得，解得，故A正確；B錯(cuò)誤；
由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)椋?，故D正確．
故選：AD．

6．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得定點(diǎn)，得出，利用均值不等式判斷A，重要不等式判斷B，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)判斷C，根據(jù)“1”的變形技巧及均值不等式判斷D.
【詳解】由題得點(diǎn)，即，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；，故C正確；
由，，，且取不到等號(hào)，故，故D正確．
故選：BCD
三、填空題
7．（2024·云南紅河·二模）已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義和時(shí)的解析式分別求出和的值即可.
【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù)，
所以，得，
，
所以.
故答案為：.
8．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知（且，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【答案】
【分析】令即可求出定點(diǎn).
【詳解】令得，
此時(shí)，
所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，即點(diǎn).
故答案為：.
四、解答題
9．（23-24高三上·青海西寧·階段練習(xí)）已知，，，比較、、的大小.
【答案】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】因，所以，
因，所以，
因，所以，
所以
10．（23-24高三上·上海長(zhǎng)寧·期中）已知函數(shù)，其中常數(shù)且.
(1)判斷上述函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；
(2)若，利用上述函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，討論和的大小關(guān)系，并述理由.
【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析；
(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，.
【分析】（1）利用定義法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得到其單調(diào)性；
（2）利用（1）中的結(jié)論即可得到大小關(guān)系.
【詳解】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，
證明：當(dāng)時(shí)，任取，
則，
因?yàn)椋瑒t，所以，
即，即，所以此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，任取，
因?yàn)?，則，所以，
即，即，所以此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上所述，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
（2）當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
，
，即，
，
當(dāng)時(shí)，，，，且，
所以，
綜上，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且時(shí)，.
11．（23-24高三上·山東泰安·階段練習(xí)）已知．
(1)若，求的值域；
(2)若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.
【詳解】（1）若，則，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可知的定義域?yàn)椋?br>且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，可得，
所以的值域?yàn)?
（2）因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，
由題意可知：在上單調(diào)遞增，且在上恒成立，
可得，解得，
所以a的取值范圍.
綜合提升練
一、單選題
1．（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）（）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】對(duì)數(shù)運(yùn)算可解.
【詳解】.
故選：D
2．（2024·陜西西安·一模）設(shè)集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別求出，，然后求出，從而可求解，
【詳解】由題意得，解得或，所以，
由的值域?yàn)?，所以，即?br>所以，故C正確.
故選：C.
3．（23-24高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)，則，，的大小關(guān)系為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先研究函數(shù)的性質(zhì)，利用奇偶性對(duì)函數(shù)值進(jìn)行等價(jià)變形，最后利用單調(diào)性進(jìn)行比較大小.
【詳解】解：已知的定義域?yàn)椋遥?br>所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
所以，.
因?yàn)樵诙x域上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，即，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，
所以，
因?yàn)樵诙x域上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，所以，
根據(jù)函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，所以.
故選：A．
4．（23-24高三上·北京大興·階段練習(xí)）已知是定義在上周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上是（）.
A．增函數(shù)且B．增函數(shù)且
C．減函數(shù)且D．減函數(shù)且
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得的解析式，再由其周期即可得到的圖像，即可判斷.
【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，
當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，
所以，則，
且，所以，
又是周期為2的函數(shù)，
所以在的圖像與的圖像相同，且為增函數(shù)，且.
故選：A
5．（23-24高三上·山東濟(jì)寧·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】令，先求出使時(shí)的的值，然后畫出函數(shù)和函數(shù)，其中的圖象，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得答案.
【詳解】由已知，
令，即，
當(dāng)時(shí)，得或，
當(dāng)時(shí)，明顯函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，
故存在，使，
畫出的圖象如下，
再畫出直線，其中，

觀察圖象可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)，
即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.
故選：D.
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列結(jié)論中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）
①（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；②；③；④（其中）．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷①，由指數(shù)的運(yùn)算即可判斷②，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可判斷③④
【詳解】對(duì)于①：由于，又是增函數(shù)，故①正確．
對(duì)于②：由于，所以②錯(cuò)誤．
對(duì)于③：對(duì)兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得，即，顯然正確，故③正確．
對(duì)于④：，故④正確．
綜上，錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)為1.
故選：B．
7．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）若對(duì)于任意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】對(duì)不等式分離參數(shù)得到，令，構(gòu)造函數(shù)，，則，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求出最大值即可.
【詳解】由不等式恒成立，且，
分離參數(shù)得，所以，即，
設(shè)，得，，設(shè)，，則.
，由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以.
所以.
故選：C.
8．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）已知，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分別求解時(shí)的解，比較解與的大小，代入計(jì)算可判斷與0的關(guān)系.
【詳解】解：，解得，
令，解得：，
令，解得：，
令，則，
因?yàn)?，所以，，則有，
即恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
則有，
所以，
，
所以.
故選：D
二、多選題
9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，，其中，分別是將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)．設(shè)“函數(shù)的值域?yàn)椤睘槭录嗀，“函數(shù)為偶函數(shù)”為事件B，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)給定條件，求出事件的所有可能結(jié)果，并求出概率，再結(jié)合事件的和與積、條件概率逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)共有種情況，
函數(shù)的值域?yàn)?，即函?shù)的最小值為1，則，
滿足的有，，共2種情況，則，，
由函數(shù)為偶函數(shù)，得，
滿足的有，，，，，，共6種情況，，
對(duì)于A，滿足事件A，B同時(shí)發(fā)生的有，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，事件包含的有，，，，，，，共7種情況，
因此，B正確；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，滿足事件，B同時(shí)發(fā)生的有，，，，，共5種情況，
因此，則，D錯(cuò)誤．
故選：BC
10．（23-24高三上·江蘇淮安·期中）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C．函數(shù)在上是增函數(shù)D．函數(shù)的值域?yàn)?br>【答案】ACD
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為，利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷AB選項(xiàng)；利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋?br>對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)任意的，，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，A對(duì)B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，任取、且，即，則，
，則，
所以，
，即，
所以，，
故函數(shù)在上是增函數(shù)，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，
故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，
故函數(shù)的值域?yàn)?，D對(duì).
故選：ACD.
11．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知（且），則下列說(shuō)法正確的是（）
A．當(dāng)時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，
【答案】CD
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由滿足的情況有以下六種：
（1）如圖1所示，可得，

（2）如圖2所示，可得，

（3）如圖3所示，可得，

（4）如圖4所示，可得，

（5）如圖5所示，可得，

（6）如圖6所示，可得，

對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，第（4）種情況不滿足，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，第（1）種和第（5）種情況不滿足，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，第（2）種、第（3）種和第（6）種情況均有，所以C正確；
對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，如第（1）種情況，則，所以成立，所以D正確.
故選：CD．
三、填空題
12．（23-24高三上·上海靜安·階段練習(xí)）由函數(shù)的觀點(diǎn)，不等式的解集是 .
【答案】
【分析】由不等式可得，構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.
【詳解】由不等式，可得，
令，可知的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，
可知在定義域上單調(diào)遞增，且，
對(duì)于不等式即為，解得，
所以不等式的解集是.
故答案為：.
13．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是方程的兩個(gè)根，則
【答案】10
【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求得結(jié)果.
【詳解】由題可知，也是與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
在同一坐標(biāo)系中，作圖如下：
數(shù)形結(jié)合可知，為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)；
根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，關(guān)于對(duì)稱；
又與垂直，故與的交點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
聯(lián)立，可得，即，故，解得.
故答案為：.
14．（2024·天津·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意得到畫出函數(shù)圖像，計(jì)算直線與函數(shù)相切和過(guò)點(diǎn)時(shí)的斜率，根據(jù)圖像得到答案.
【詳解】函數(shù)滿足，當(dāng)，
所以當(dāng)，
故，，
畫出函數(shù)圖像，如圖所示，觀察圖像可知，要使函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，
則直線應(yīng)在圖中的兩條虛線之間，
上方的虛線為直線與相切時(shí)，
下方的虛線是直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，

當(dāng)直線與相切時(shí)，
，設(shè)切點(diǎn)為，
則斜率，此時(shí) ，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于先求出，再畫出函數(shù)圖像，計(jì)算直線與函數(shù)相切和過(guò)點(diǎn)時(shí)的斜率，根據(jù)圖象得到答案.
四、解答題
15．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若，函數(shù)在上的最大值與最小值的和為，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)定義列出不等式，再利用恒成立的不等式求解即可.
（2）利用函數(shù)單調(diào)性求出最大最小值，列式求解即可.
【詳解】（1）由的定義域?yàn)?，得?duì)任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，恒成立，則；
當(dāng)時(shí)，，解得，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，即.
（2）令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
于是，而，則，
依題意，，即，解得或，
所以實(shí)數(shù)的值是或.
16．（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求及函數(shù)的定義域；
(2)求函數(shù)的零點(diǎn)．
【答案】(1)，定義域?yàn)?br>(2)
【分析】（1）利用的值求得，解分式不等式求得的定義域.
（2）通過(guò)解對(duì)數(shù)方程求得正確答案.
【詳解】（1）依題意，
所以，由得，
解得，所以的定義域?yàn)?
（2），
則，所以的定義域?yàn)椋?br>令得，
所以，，則.
17．（23-24高三上·湖北·期中）記是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由與關(guān)系，轉(zhuǎn)化為遞推關(guān)系，再構(gòu)造數(shù)列求解即可；
（2）由，放縮后累乘可證.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，故，
由可得，，
即.
所以有，
故是公比為2，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，
所以，.
（2）方法1：由（1）可知，.
所以.
方法2：由（1）可知，
.
當(dāng)時(shí)，，
所以.
18．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若命題p：“，”為假命題，則a的取值范圍是?
【答案】
【分析】根據(jù)特稱命題為假命題轉(zhuǎn)化為全稱命題是真命題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，利用恒成立問(wèn)題即可求解.
【詳解】命題p：“，”為假命題，則“，”為真命題.
則函數(shù)的圖象要恒在圖象的上方（兩個(gè)函數(shù)需都有意義）.
的圖象可看做平移得到，由于的圖象以為漸近線，
故作圖可知，只有當(dāng)時(shí)，才能滿足要求.

所以a的取值范圍是.
故答案為：.
19．（23-24高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）（1）已知函數(shù)，若對(duì)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若命題：函數(shù)（且）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增是真命題，求的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由題意只需，由函數(shù)的單調(diào)性求出最小值即可.
（2）由題意首先由真數(shù)大于0求出的取值范圍，然后對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋沟茫?br>所以只需，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以在上的最小值，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以在上的最小值，
所以，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）由題意真數(shù)在上恒成立，
即在上恒成立，所以，且注意到，
由題意函數(shù)（且）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
不妨設(shè)，，
接下來(lái)分以下兩種情形來(lái)求的取值范圍：
情形一：當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于單調(diào)遞減，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只需在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
即在區(qū)間上恒成立，所以，
又，所以此時(shí)有.
情形二：當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只需在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
即在區(qū)間上恒成立，所以，
又，所以此時(shí)不存在.
綜上所述：符合題意的的取值范圍為.
拓展沖刺練
一、單選題
1．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）
A．B．C．D．a(chǎn)，b的大小無(wú)法判斷
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性并借助媒介數(shù)比較大小.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則由，得，
又，所以.
故選：A
2．（2024·湖南岳陽(yáng)·二模）設(shè)，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出，，，然后利用作差法比較與的大小關(guān)系即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，即?br>因?yàn)?，所以，即，所以，即?br>因?yàn)椋?，即，所以，即?br>又因?yàn)椋?br>且，
所以，所以，所以；
綜上所述，.
故選：A.
3.（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)，若滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)將已知的不等式轉(zhuǎn)化為，再利用奇偶性和單調(diào)性求解即可.
【詳解】的定義域?yàn)?，?br>為偶函數(shù)，
，，
當(dāng)時(shí)，，，，，
在上單調(diào)遞增，
，
即，
即，也就是，
在單調(diào)遞增且為偶函數(shù)，
，
，即，解得.
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，解答本題的關(guān)鍵是得出為偶函數(shù)和在上單調(diào)遞增，由對(duì)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)將不等式化為，再由單調(diào)性求解.
4．（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）142857被稱為世界上最神秘的數(shù)字，，所得結(jié)果是這些數(shù)字反復(fù)出現(xiàn)，若，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合可得，則；由得，進(jìn)而，即可求解.
【詳解】由題意知，，
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，所以.
因?yàn)?，所以?br>得，所以，即；
由，得，所以，即，
所以，即.
綜上.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟：
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
常用的不等式：，，
，，.
5．（23-24高三上·山東日照·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式成立的x的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判斷的對(duì)稱性，然后利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，結(jié)合對(duì)稱性即可求解，注意最后的范圍要考慮定義域..
【詳解】由得的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?br>，，所以，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱.
記，
當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性易知單調(diào)遞增，
記，則，
記，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
綜上，在上單調(diào)遞增，圖象關(guān)于對(duì)稱，
由此可知，要使，必有，兩邊平方整理得，解得，
又，得或或，
所以的解集為.
故選：B.
二、多選題
6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）若實(shí)數(shù)a，b滿足lg3a＜lg3b，則下列各式一定正確的是（）
A．3a＜3bB．（）a－b＞1
C．ln （b－a）＞0D．lga3＜lgb3
【答案】AB
【詳解】解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝lg3x為（0，＋∞）上的增函數(shù)，由lg3a＜lg3b，可得b＞a＞0.由于函數(shù)y＝3x為R上的增函數(shù)，則3a＜3b，故A正確；函數(shù)y＝（）x為R上的減函數(shù)，且a－b＜0，則（）a－b＞（）0＝1，故B正確；由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得b－a＞0，但b－a與1的大小關(guān)系不確定，故ln （b－a）與0的大小關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤；取a＝3，b＝9，則有l(wèi)g33＝1＞＝lg93，即lga3＞lgb3，故D錯(cuò)誤．
7．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．D．
【答案】ABC
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>令函數(shù)，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
且，則有：
當(dāng)時(shí)，，即，可得，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，即，可得，故B正確；
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，可得；
當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得，
所以C正確，D錯(cuò)誤．
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行求解運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.
三、填空題
8．（23-24高三上·湖南·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足：，則與大小關(guān)系為 .
【答案】
【分析】由題意可得，令，則有，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)?，所以?br>設(shè)，又因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：
9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為．
【答案】3848
【分析】由題意，由解不等式，對(duì)分類討論，結(jié)合分組求和即可得解.
【詳解】，
數(shù)列的2022項(xiàng)的和為，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為．
故答案為：3848.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是由的定義由分類討論即可順利得解.
四、解答題
10．（23-24高三上·上海浦東新·期中）已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)當(dāng)，，解關(guān)于的不等式.
【答案】(1)1
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義列方程，解方程得到的值.
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性列不等式，分類討論解不等式，得到取值范圍即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，
所以，
即，解得，
又時(shí)，其定義域?yàn)?，此時(shí)為非奇非偶函數(shù)，
所以.
（2）由（1）得，所以，即，
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性可得，由于，所以，
所以，即，
因此，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為，
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，當(dāng)時(shí)，不等式解集為.
11．（2023·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知.記，其中常數(shù)m，.
(1)證明：對(duì)任意m，，曲線過(guò)定點(diǎn)；
(2)證明：對(duì)任意s，，；
(3)若對(duì)一切和一切使得的函數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3).
【分析】（1）常數(shù)m，，當(dāng)時(shí)，，故曲線過(guò)原點(diǎn).
（2），由等價(jià)于，用作差法構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，得，從而可得證.
（3）用作差法證明對(duì)數(shù)平均不等式，函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)和基本不等式可得出，得出結(jié)論；
【詳解】（1），故曲線過(guò)原點(diǎn).
（2）當(dāng)時(shí)，，故等價(jià)于.
考慮.則.
令
當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，，
所以，即，
所以，
而，且時(shí)，，
故，函數(shù)在上嚴(yán)格增.
因此當(dāng)時(shí)，.特別地，.證畢.
（3）首先證明對(duì)數(shù)平均不等式：當(dāng)時(shí)，.
考慮函數(shù)，則，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
故當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)?，所以由?
下證當(dāng)時(shí)，對(duì)任意和一切使得的函數(shù)成立.
由題意，，故.
令，考慮函數(shù).
則.
當(dāng)且時(shí)，.由對(duì)數(shù)平均不等式，.
故，
從而函數(shù)在上嚴(yán)格增，得，即證.
綜上，所求范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：用作差法構(gòu)造函數(shù)和對(duì)數(shù)平均不等式是解題的關(guān)鍵，通過(guò)求出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性討論及最值，從而得出結(jié)論，考查分類討論思想，整體思想，屬于較難題.
a>1
00；
當(dāng)0

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