?2021屆江蘇省南京市金陵中學高三上學期8月學情調(diào)研測試數(shù)學試題


一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先解出集合A、B，再求解出集合A的補集，根據(jù)集合交集的運算即可求解.
【詳解】
由題意得或 ，，所以，.
故選：C
【點睛】
本題主要考查了集合補集、交集的運算，屬于簡單題，計算中可以借助數(shù)軸法求解集合的補集和集合間的交集.
2．設，是虛數(shù)單位，則“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】即中至少有一個是零；復數(shù)為純虛數(shù)，故為小范圍，故為必要不充分條件.

3．下列命題中正確的是（　?。?br /> A．若，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【解析】分析：根據(jù)不等式性質(zhì)逐一排除即可.
詳解：A. 若，則,當c取負值時就不成立，故錯誤；B. 若，，則，例如a=3，b=1，c=2，d=-2顯然此時,故錯誤；D，若，，則，例如a=3，c=-1，b=-1，d=-2，此時,故錯誤，所以綜合得選C.
點睛：考查不等式的簡單性質(zhì)，此類題型舉例子排除法比較適合，屬于基礎(chǔ)題.
4．已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，則S5＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用正項等比數(shù)列{an}的前n項和公式，通項公式列出方程組，求出a1＝1，q＝，由此能求出S5的值．
【詳解】
解：正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，，
∴，解得a1＝1，q＝，
∴S5＝＝＝．
故選：B．
【點評】
本題考查等比數(shù)列的前n項和的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
5．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B．1024 C．4096 D．5120
【答案】C
【解析】先將二項式變形為，分別寫出兩個二項式展開式的通項，并分別令的指數(shù)為10，求出兩個參數(shù)的值，代入展開式之后將兩個系數(shù)相減可得出答案．
【詳解】
，
二項展開式的通項為，
二項展開式的通項為，
則，，
所以，展開式中的系數(shù)為．
故選C．
【點睛】
本題考查了利用二項式定理求指定項的系數(shù)，考查二項式定理的應用，同時也考查了計算能力，屬于中等題．
6．某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學考試成績近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學成績優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為（ ）
A．150 B．200 C．300 D．400
【答案】C
【解析】求出，即可求出此次數(shù)學考試成績在90分到105分之間的人數(shù)．
【詳解】
∵，，
所以，
所以此次數(shù)學考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為．
故選C．
【點睛】
本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．
7．如圖，過拋物線（）的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若，且，則此拋物線方程為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分別過A，B作準線的垂線，交準線于E，D，設|BF|=a，運用拋物線的定義和直角三角形的性質(zhì)，求得p，可得所求拋物線的方程．
【詳解】
如圖，分別過點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D，設，
則由已知得，由拋物線定義得，故.

在中，因為，，，
所以，得，，所以，
因此拋物線方程為.
故選：B
【點睛】
本題考查拋物線的定義和方程、性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，考查方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
8．已知橢圓C：（）的右焦點為F，短軸的一個端點為P，直線l：與橢圓C相交于A，B兩點.若，點P到直線l的距離不小于，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設橢圓的左焦點為，根據(jù)雙曲線的定義，求得，再由點P到直線l的距離不小于，求得，得到，進而求得離心率的范圍，得到答案.
【詳解】
設橢圓的左焦點為，根據(jù)橢圓的對稱性可得，，
所以，解得，
因為點P到直線l的距離不小于，所以，解得，
又由，所以，故，
所以離心率.
故選：C.

【點睛】
本題考查了橢圓的定義，以及橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出 ，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．

二、多選題
9．若函數(shù)與都在區(qū)間（）上單調(diào)遞減，則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】先求在上的單調(diào)遞減區(qū)間，再求在上的單調(diào)遞減區(qū)間，再求交集即可得和兩個函數(shù)的遞減區(qū)間，可得的最大值，進而可得的可能取值.
【詳解】
當時，，所以當時，即單調(diào)遞減，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，即時，單調(diào)遞減，
因為，
所以， 所以，
所以可能為或，
故選：AB
【點睛】
本題主要考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.
10．下列說法中正確的是（ ）
A．設隨機變量X服從二項分布，則
B．已知隨機變量X服從正態(tài)分布且，則
C．；
D．已知隨機變量滿足，，若，則隨著x的增大而減小，隨著x的增大而增大
【答案】ABD
【解析】對于選項都可以通過計算證明它們是正確的；對于選項根據(jù)方差的性質(zhì)，即可判斷選項C.
【詳解】
對于選項設隨機變量，
則，
所以選項A正確；
對于選項因為隨機變量，
所以正態(tài)曲線的對稱軸是，
因為，所以，
所以，所以選項B正確；
對于選項，
，故選項C不正確；
對于選項由題意可知，，
，
由一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)知，
當時，隨著x的增大而減小，
隨著x的增大而增大，故選項D正確.
故選：ABD.
【點睛】
本題主要考查二項分布和正態(tài)分布的應用，考查期望和方差的計算及其性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
11．下列四個命題中，是真命題的是（ ）
A．，且，
B．若，，則
C．函數(shù)值域為
D．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是10，則實數(shù)a的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】結(jié)合基本不等式的條件及基本不等式可以判斷A，B，結(jié)合三角換元及三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，結(jié)合含絕對值函數(shù)的圖像變換可檢驗D，即可判斷．
【詳解】
對于A，，且，對時不成立；
對于B，若，，則，化為，當且僅當時取等號，故B正確；
對于C，令，，則，由，得，；
對于D，當，，令，轉(zhuǎn)化為在有最大值是10.
①，當時，，得（舍去）.
②時，當時，恒成立.
③，，此時只需，得.
綜上，，故D正確．
故選：BCD
【點睛】
本題以判斷命題真假為載體，主要考查了函數(shù)，不等式的綜合應用，屬于中檔題．
12．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，….，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【解析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關(guān)系，對照四個選項可得正確答案.
【詳解】
對A，寫出數(shù)列的前6項為，故A正確；
對B，，故B正確；
對C，由，，，……，，
可得：.故是斐波那契數(shù)列中的第2020項.
對D，斐波那契數(shù)列總有，則，，，……，，
，故D正確；
故選：ABCD.
【點睛】
本題以“斐波那契數(shù)列”為背景，考查數(shù)列的遞推關(guān)系及性質(zhì)，考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意遞推關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)換.


三、填空題
13．已知向量，，若，則______.
【答案】1
【解析】根據(jù)向量加法和減法的坐標運算,先分別求得與,再結(jié)合向量的模長公式即可求得的值.
【詳解】
向量,
則,
則

因為
即,化簡可得
解得
故答案為:
【點睛】
本題考查了向量坐標加法和減法的運算,向量模長的求法,屬于基礎(chǔ)題.
14．某學校高一學生2人，高二學生2人，高三學生1人，參加A、B、C三個志愿點的活動.每個活動點至少1人，最多2人參與，要求同年級學生不去同一活動點，高三學生不去A活動點，則不同的安排方法有_____種.（用數(shù)字作答）
【答案】40
【解析】以高三學生是否單獨去志援點分為兩類，每一類中先安排高三學生，再安排高一、高二學生，由乘法原理算出兩類安排方法，相加即可.
【詳解】
若高三學生單獨去志愿點，則有種，若高三學生與其它年級學生合去志愿點，按先分組再分到志愿點的思路，有32種，
則共有種安排方法.
故答案為：40.
【點睛】
本題考查分類計數(shù)原理的運用，以高三學生是否單獨去志愿點確定分類的方法，再逐級安排，考查乘法原理，屬于中檔題.
15．在直三棱柱內(nèi)有一個與各個面均相切的球.若，，，則的長度為______.
【答案】4
【解析】求出△ABC內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)球是三棱柱的內(nèi)切球，求出其半徑，從而求出AA1的長度即可．
【詳解】
由，，，得.
設底面的內(nèi)切圓的半徑為r，則，得.因為球與三個側(cè)面相切，所以內(nèi)切球的半徑也為2.
又該球也與直三棱柱的上、下底面相切，所以.
故答案為：4
【點睛】
本題考查了三棱柱的內(nèi)切球，考查三角形內(nèi)切圓以及直三棱柱問題，是一道常規(guī)題．
16．已知函數(shù),若函數(shù)有且僅有四個不同的零點,則實數(shù)k的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】根據(jù)題意可求得,再分三種情況求函數(shù)的單調(diào)性,進而根據(jù)零點存在性定理求出函數(shù)的最小值求解不等式即可.
【詳解】
由題, ,即,
當k＝0時,原函數(shù)有且只有一個零點,不符題意,故k≠0,
觀察解析式,可知函數(shù)有且僅有四個不同的零點,
可轉(zhuǎn)化為有且僅有兩個不同的零點,
當k＜0,函數(shù)在(0,)單調(diào)遞增,最多一個零點,不符題意,舍；
當k＞0,,
令有,故
x
(0,)

(,)

﹣
0
﹢

單調(diào)遞減

單調(diào)遞增

要使在(0,)有且僅有兩個不同的零點,
則,因為,故,解得k＞27,
綜上所述,實數(shù)k的取值范圍是(27,)．
故答案為：(27,)
【點睛】
本題主要考查了根據(jù)分段函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)范圍問題,需要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)性以及最值,進而根據(jù)零點存在性定理列式求解.屬于中檔題.

四、解答題
17．現(xiàn)給出兩個條件：①，②，從中選出一個條件補充在下面的問題中，并以此為依據(jù)求解問題.
在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，______.
（1）求A；
（2）若，求周長的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】若選條件①，（1）由余弦定理對2cb=2acosB，化簡可得c2+b2﹣a2bc，再利用余弦定理可求出A；（2）由余弦定理可得(1)2=b2+c2﹣2bc?，化簡再利用基本不等式可得，可求出△ABC周長的最大值；
若選條件②，（1）由(2bc)cosAacosC，結(jié)合正弦定理化簡可得2sinBcosA sinB，從而可求出A；（2）由余弦定理可得(1)2=b2+c2﹣2bc?，化簡再利用基本不等式可得，可求出△ABC周長的最大值；
【詳解】
若選擇條件①.
（1）由余弦定理可得，整理得，
可得.
因為，所以.
（2）由余弦定理，得，
即，亦即，
因為，當且僅當時取等號，
所以，
解得，
當且僅當時取等號.
所以，即周長的最大值為
若選擇條件②.
（1）由條件得，
由正弦定理得.
因為，所以，
因為，所以.
（2）由余弦定理，得，
即，亦即，
因為，當且僅當時取等號，
所以，
解得，
當且僅當時取等號.
所以，即周長的最大值為
【點睛】
此題考查正弦定理和余弦定理的應用，考查基本不等式的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題
18．已知數(shù)列中，，當時，其前n項和滿足
（1）求的表達式；
（2）設，求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）運用，代入化簡整理，再由等差數(shù)列的定義和通項公式即可得到所求；
（2）求得＝＝，運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，即可得到所求和．
【詳解】
解：（1）∵，,
，①，
由題意，將①式兩邊同除以得，
∴數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列．
可得，
得；
（2）＝＝，

【點睛】
本題考查數(shù)列中的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．
19．如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．
【解析】【詳解】
（Ⅰ）由已知得.
取的中點，連接，由為中點知，.
又，故，四邊形為平行四邊形，于是.
因為平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）取的中點，連結(jié).由得，從而，且
.
以為坐標原點， 的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題意知，
，，，，
， ，.
設為平面 的一個法向量，則
即
可取.
于是.

【考點】
空間線面間的平行關(guān)系，空間向量法求線面角．
【技巧點撥】
（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^建立空間直角坐標系，利用空間向量中的夾角與距離來處理．

20．成都市現(xiàn)在已是擁有1400多萬人口的城市，機動車保有量已達450多萬輛，成年人中約擁有機動車駕駛證．為了解本市成年人的交通安全意識情況，某中學的同學利用國慶假期進行了一次全市成年人安全知識抽樣調(diào)查．先根據(jù)是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了200名成年人，然后對這200人進行問卷調(diào)查．這200人所得的分數(shù)都分布在范圍內(nèi)，規(guī)定分數(shù)在80以上（含80）的為“具有很強安全意識”，所得分數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示．


擁有駕駛證
沒有駕駛證
總計
具有很強安全意識



不具有很強安全意識
58


總計


200
（1）補全上面的列聯(lián)表，并判斷能否有超過的把握認為“具有很強安全意識”與擁有駕駛證有關(guān)？
（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市成年人中隨機抽取4人，記“具有很強安全意識”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．
附表及公式：，其中．
P（）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）表格見解析，有超過的把握；（2）分布列見解析，數(shù)學期望為．
【解析】（1）擁有駕駛證的有80人，具有很強安全意識的有40人，由此可得列聯(lián)表，再計算得后與比較大小即可得出結(jié)論；
（2）由題意可知可以取0，1，2，3，4，且，由此可求出分布列及數(shù)學期望．
【詳解】
解：（1）200人中擁有駕駛證的占，有80人，沒有駕駛證的有120人，
具有很強安全意識的占，有40人，不具有很強安全意識的有160人，
補全的列聯(lián)表如表所示：

擁有駕駛證
沒有駕駛證
總計
具有很強安全意識
22
18
40
不具有很強安全意識
58
102
160
總計
80
120
200
計算得，
∴有超過的把握認為“具有很強安全意識”與擁有駕駛證有關(guān)；
（2）由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)可知，抽到的每個成年人“具有很強安全意識”的概率為，
∴可能取0，1，2，3，4，且，
于是（，1，2，3，4），X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P





∴．
【點睛】
本題主要考查獨立性檢驗與二項分布的應用，屬于基礎(chǔ)題．
21．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，點滿足以為直徑的圓過橢圓的上頂點.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線過右焦點與橢圓交于兩點，在軸上是否存在點使得為定值？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）由點在橢圓上代入可得，的關(guān)系，再由點滿足以為直徑的圓過橢圓的上頂點．可得可得，的關(guān)系，再由，，的關(guān)系求出橢圓的方程；
（2）由（1）可得右焦點的坐標，分坐標的斜率為0和不為0兩種情況討論，假設存在滿足條件，設直線的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進而求出數(shù)量積的表達式，要使數(shù)量積為定值，則分子分母對應項的系數(shù)成比例，可得的值，且可求出定值．
【詳解】
解：（1）由題意可得上頂點，，所以：，，即，，即，，
解得：，，
所以橢圓的方程為：；
（2）由（1）可得右焦點的坐標，假設存在
當直線的斜率不為0時，設直線的方程為：，設，，，，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理可得：，，，
，，
因為
，
要使為定值，則，解得：，這時為定值，
當直線的斜率為0時，則，，為，，則，，，
綜上所述：所以存在，，使為定值．
【點睛】
考查求橢圓的標準方程及直線與橢圓的綜合，屬于中檔題．
22．已知（），定義
（1）求函數(shù)的極小值；
（2）若，且存在使，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若，試討論函數(shù)（）的零點個數(shù).
【答案】（1）；（2）；（3）答案見解析.
【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為不等式在x∈[1，2]上有解，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（3）通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點個數(shù)即可．
【詳解】
（1）求導得，令，得或.
因為，所以，列表如下：
x

0





0

0


單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以的極小值為.
（2）.
因為存在使，所以在上有解，即在上有解，即不等式在上有解
設，.
因為對恒成立，所以在上遞減，故當時，.
所以，即，故a的取值范圍為.
（3）由（1）知，在上的最小值為.
①當，即時，在上恒成立，所以，因此在上無零點.
②當，即時，，又，所以在上有且僅有一個零點.
③當，即時，設，.
因為，所以在上單調(diào)遞減.
又，，所以存在唯一的，使得.
（i）當時，因為，所以且為減函數(shù).
又，，所以在上有一個零點.
（ii）當時，因為，所以且為增函數(shù).
因為，又在上恒成立，所以在上有且僅有一個零點.
從而在上有兩個零點.
綜上，當時，有兩個零點；當時，有一個零點；當時，無零點.
【點睛】
本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．

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這是一份2024屆江蘇省南京市第九中學高三上學期10月學情檢測數(shù)學試題含解析，共20頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

江蘇省南京市金陵中學2023-2024學年高一上學期10月學情調(diào)研數(shù)學試題：

這是一份江蘇省南京市金陵中學2023-2024學年高一上學期10月學情調(diào)研數(shù)學試題，共8頁。試卷主要包含了單項選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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