1．已知四棱錐的體積為4，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
2．已知一個(gè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為6，高為4，則該正三棱柱的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
3．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則該正三棱柱的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
4．已知圓錐底面半徑為3，側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為216°，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積是（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)P，A，B，C是球表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，球的體積為，二面角的大小為，則三棱錐的體積為（ ）
A．2B．C．D．4
6．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，體積相等，且它們的側(cè)面積之比為，則圓錐的高與底面半徑之比為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
7．已知為三條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題一定正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
8．已知正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別是，，的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的面積為
B．三棱錐體積的最大值為
C．若平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
D．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，到直線的距離為
三、填空題
9．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則平面AEF截正方體所得的截面面積為 .
10．中國(guó)冶煉塊鐵的起始年代雖然遲至公元前6世紀(jì)，約比西方晚900年，但是冶煉鑄鐵的技術(shù)卻比歐洲早2000年.現(xiàn)將一個(gè)軸截面為正方形且側(cè)面積為的實(shí)心圓柱鐵錠冶煉熔化后，澆鑄成一個(gè)底面積為的圓錐，則該圓錐的高度為 .
11．圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)，一只螞蟻?zhàn)缘酌鎴A周上一點(diǎn)沿圓錐表面爬到過(guò)母線的軸截面上另一條母線的中點(diǎn)，問(wèn)這只螞蟻爬行的最短距離為 .
12．如圖，已知在四棱錐中，底面是菱形，且，底面，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，對(duì)于平面截四棱錐所得的截面多邊形，有以下幾個(gè)結(jié)論：
①截面的面積等于；
②截面是一個(gè)五邊形；
③截面與四棱錐四條側(cè)棱中的三條相交；
④截面在底面的投影面積為.
其中，正確結(jié)論的序號(hào)是 .
四、解答題
13．如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)．
(1)證明：，，，四點(diǎn)共面；
(2)求平面與平面夾角的正弦值．
14．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點(diǎn).
(1)設(shè)平面與直線相交于點(diǎn)，求證：；
(2)若，，，求棱錐的體積
15．已知正四棱錐的高為8，各個(gè)頂點(diǎn)均在表面積為的球的表面上，相交于，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，使得直線平面.
(1)確定點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；
(2)求異面直線與所成角的大小.
16．在直四棱柱中，，，，，

(1)求證：平面；
(2)若直四棱柱體積為36，求二面角的余弦值.
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)四棱錐的體積為4求出高h(yuǎn)，再結(jié)合直線與平面所成角的正弦值為即可得答案.
【詳解】四棱錐的體積，得，
直線與平面所成角的正弦值為，
故選：B.
2．C
【分析】根據(jù)球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，用勾股定理求出外接球的半徑即可求其表面積.
【詳解】根據(jù)題意，

底面外接圓半徑設(shè)為，則，∴，
外接球半徑設(shè)為R，
則，.
故選：C.
3．A
【分析】解法1：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圓半徑，再借助于勾股定理建立方程，求出外接球半徑即得.解法2：先判斷正三棱柱的的外接球球心在高線的中點(diǎn)，即可判斷外接球半徑繼而得出外接球體積范圍，排除其他三項(xiàng)即得.
【詳解】
解法1：如圖，設(shè)正三棱柱外接球的球心為，半徑為.
記和外接圓的圓心分別為和，其半徑為，
由正弦定理得：.而為的中點(diǎn)，
所以則
故選:A.
解法2：設(shè)正三棱柱外接球的半徑為
因正三棱柱的高為，由對(duì)稱性知其外接球球心必在高線的中點(diǎn)，
故此時(shí).
故選:A.
4．A
【分析】根據(jù)圓錐表面積公式求出母線長(zhǎng)，再由等面積法,可得圓錐內(nèi)部最大球即與圓錐相切的球的半徑以及球的體積.
【詳解】畫出圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖
設(shè)母線長(zhǎng)為，依題意
解得：
所以圓錐的高為作出圓錐軸截面圖象，
設(shè)圓錐內(nèi)部最大球即與圓錐相切的球的半徑為
根據(jù)等面積法求解得：
解得，
故選：A．
5．C
【分析】把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是其外接球的直徑，由此求得，即得，作，垂足為，連接，是二面角的平面角，，從而可得，即得，再由體積公式可得結(jié)論．
【詳解】∵PA，PB，PC兩兩垂直，所以可以把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖，是該長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)處的三條棱，
長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是其外接球的直徑，
由得，
所以，
作，垂足為，連接，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，同理?br>又，平面，所以平面，
而平面，所以，
所以是二面角的平面角，所以，
由得，而，
又，
所以，所以，
，
故選：C．
6．C
【分析】分別表示出圓柱和圓錐的體積與以及圓柱和圓錐的側(cè)面積，然后依據(jù)題意比值求解；
【詳解】設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為，高分別為，
所以，
圓柱的側(cè)面積，
圓錐的側(cè)面積，
又因?yàn)?，代入?br>解得：，即
故選：C.
7．AD
【分析】根據(jù)線面、面面關(guān)系可判斷AD；舉反例可判斷BC.
【詳解】對(duì)于A，，，所以或，而，故，故正確；
對(duì)于B，如圖，長(zhǎng)方體中，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，如圖，長(zhǎng)方體中，
，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若α//β，，則，而，故，故正確.
故選：AD.
8．ACD
【分析】由題意有是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，求面積判斷A；利用線面平行、面面平行的判定證面面，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征有面，當(dāng)重合時(shí)三棱錐體積最大，且當(dāng)在上除外運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面，判斷B、C；根據(jù)已知求得，再由到直線的距離為判斷D.
【詳解】由題意，可得是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，故其面積為，A對(duì)；
由題設(shè)，面，面，則面，
同理可證面，且在面內(nèi)，故面面，
根據(jù)正方體性質(zhì)，易得面，即面，
結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)，易知當(dāng)重合時(shí)，三棱錐體積最大，
由A分析，易知棱錐的高，
此時(shí)到面的距離，則，B錯(cuò)；
由上知，當(dāng)在上除外運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面，軌跡長(zhǎng)為，C對(duì)；
若點(diǎn)為的中點(diǎn)，此時(shí)，且，
所以，則，
所以到直線的距離為，D對(duì).
故選：ACD
9．
【分析】由，，從而截面為梯形求解.
【詳解】解：如圖所示：
因?yàn)?，所以，所以截面為梯形?br>因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，則，
梯形的高為，
所以梯形的面積為：，
故答案為：
10．
【分析】根據(jù)澆鑄前后體積不變列方程，求得圓錐的高.
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，圓錐的底面半徑為，高為，
則圓柱的側(cè)面積為，又，代入解得，
故，又，又，解得.
故答案為：.
11．
【分析】圓錐半側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)扇形，則對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是底圓周長(zhǎng)的一半，可求出扇形的圓心角為弧度，沿圓錐側(cè)面移動(dòng)到D，利用余弦定理可求最短距離.
【詳解】
如圖，沿母線剪下作出半側(cè)面展開(kāi)圖，得到的是扇形，
設(shè)扇形的圓心角為弧度，則根據(jù)題意知，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)的一半，
得：，即，
在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，由余弦定理得：
，
所以，故所求的最短距離為.
故答案為：.
12．②③④
【分析】取中點(diǎn)，靠近的四等分點(diǎn)，依次連接、、、、，則多邊形即為平面截四棱錐所得的截面多邊形，可判斷①②③；取、中點(diǎn)、，結(jié)合垂直關(guān)系證得多邊形為截面在底面的投影，求出面積即可判斷④.
【詳解】
取中點(diǎn)，靠近的四等分點(diǎn)，依次連接、、、、，
連接交于點(diǎn)，
設(shè)，，
則為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，故為靠近的四等分點(diǎn)，故，
底面是菱形，，則為正三角形，，
又，，，
底面，底面，
，，，
，，，分別是棱，，，的中點(diǎn)，
，，
且，，
，，，四點(diǎn)共面，
，，
平面，平面，
多邊形即為平面截四棱錐所得的截面多邊形，
，平面，平面，
平面，，，，
四邊形為矩形，其面積為，
為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
，，，
的邊上的高，
，
截面的面積等于，故①錯(cuò)；
由圖可知，截面是一個(gè)五邊形，故②對(duì)；
由圖可知，截面與四棱錐四條側(cè)棱中的側(cè)棱、、相交，故③對(duì)；
取、中點(diǎn)、，則，
則底面，底面，
多邊形為截面在底面的投影，
且，
則多邊形的面積為，故④對(duì).
故答案為：②③④.
13．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件證明出線線平行，即可得到四點(diǎn)共面；
（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，，根據(jù)面面角的定義找到是平面與平面的夾角，然后直接求解該夾角的正弦值即可.
【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
則，
在正方體中，，，
所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
因?yàn)?，?br>所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以，所以，，，四點(diǎn)共面．
（2）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
連接，，，則點(diǎn)在上．
不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
則，，，，
所以是的中點(diǎn)，
所以，，
所以是平面與平面的夾角．
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以，所以．
14．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由可得平面，然后利用線面平行的性質(zhì)定理證得，進(jìn)而得；
（2）由條件可得，利用棱錐的體積公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）∵平面與直線相交于點(diǎn)，
∴平面平面．
∵四邊形是菱形，∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴，故．
（2）∵底面為菱形，，∴，為正三角形，
又，∴，
∵為的中點(diǎn)，∴到平面的距離與到平面的距離相等，
又平面，即平面，，
∴棱錐的體積為
．
15．(1)為線段的中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，結(jié)合是的中點(diǎn)即可判斷點(diǎn)位置,
（2）根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)，結(jié)合球的表面積公式，可得四棱錐的底面邊長(zhǎng)，即可根據(jù)平行得是異面直線與成的角或其補(bǔ)角，利用余弦定理即可求解.
【詳解】（1）為線段的中點(diǎn)，證明如下：
由于相交于，四邊形為正方形，故是的中點(diǎn)，
由于平面，平面，且平面,
故,
由于是的中點(diǎn)，故為線段的中點(diǎn).
（2）由球的表面積公式，得球的半徑，
設(shè)球心為，在正四棱錐中，高為，則必在上，
連，則,，故,
則在，有，
即，可得正方形的邊長(zhǎng)為，
側(cè)棱．
由（1）知，故是異面直線與成的角或其補(bǔ)角，
由于為等腰三角形，且,
故，
異面直線與所成的角為；
16．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用直四棱柱的性質(zhì)及線面平行的判定定理，可證平面平面，再由面面平行的性質(zhì)定理，即可得證；
（2）先根據(jù)棱柱的體積公式求得，過(guò)作于，連接，證明即為二面角的平面角，在三角形中求解即可．
【詳解】（1）由題意知，，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，
因?yàn)?，且平面，平面?br>所以平面，
又，、平面，
所以平面平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面．
（2）由題意知，底面為直角梯形，
所以梯形的面積，
因?yàn)樗睦庵捏w積為36，
所以，
過(guò)作于，連接，
因?yàn)槠矫?，且平面?br>所以，
又，、平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?
所以即為二面角的平面角，
在△中，，
所以，,
所以,
故二面角的余弦值為．

題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
C
A
A
C
C
AD
ACD


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