【基礎落實練】
1.(5分)袋中有大小相同的5個球,分別標有1,2,3,4,5五個號碼,任意抽取2個球,設2個球號碼之和為X,則X的所有可能取值的個數(shù)為( )
A.25B.10C.7D.6
【解析】選C.X的可能取值為1+2=3,1+3=4,1+4=2+3=5,1+5=4+2=6,
2+5=3+4=7,3+5=8,4+5=9.
2.(5分)設隨機變量ξ的概率分布列如表,則P(|ξ-3|=1)=( )
A.712B.12C.512D.16
【解析】選A.因為112+a+13+13=1,所以a=14,由|ξ-3|=1,解得ξ=2或ξ=4,所以P(|ξ-3|=1)=P(ξ=2)+P(ξ=4)=14+13=712.
3.(5分)設隨機變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,則E(X)和D(X)分別為( )
A.4,8B.2,8C.2,16D.2+b,16
【解析】選B.由題意可知E(Y)=2E(X)+b=4+b,D(Y)=4D(X)=32,所以E(X)=2,D(X)=8.
4.(5分)有10件產品,其中3件是次品,從中任取兩件,若X表示取得次品的個數(shù),則P(X124.68,因此,當購進32份時,利潤更大.
15.(10分)某大學志愿者協(xié)會有10名同學,成員構成如表,表中部分數(shù)據不清楚,只知道從這10名同學中隨機抽取1名同學,該名同學的專業(yè)為數(shù)學的概率為25,現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學參加社會公益活動(每名同學被選到的可能性相同).
(1)求m,n的值;
(2)求選出的3名同學恰為專業(yè)互不相同的男生的概率;
(3)設X為選出的3名同學中是女生或專業(yè)為數(shù)學的人數(shù),求隨機變量X的分布列、數(shù)學期望及方差.
【解析】(1)因為該名同學的專業(yè)為數(shù)學的概率為25,所以1+m10=25,解得m=3,
因為m+n+6=10,所以n=1.
(2)設事件A為“選出的3名同學恰為專業(yè)互不相同的男生”,則P(A)=C31C32+C33C103=112.
(3)由題意可知,這10名學生中是女生或專業(yè)為數(shù)學的人數(shù)為7,X所有可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=C33C103=1120,P(X=1)=C71C32C103=740,
P(X=2)=C72C31C103=2140,P(X=3)=C73C103=724,
故X的分布列為:
故E(X)=0×1120+1×740+2×2140+3×724=2110,
D(X)= (0-2110)2×1120+(1-2110)2×740+(2-2110)2×2140+(3-2110)2×724=49100.
【素養(yǎng)創(chuàng)新練】
16.(5分)(多選題)(2023·承德模擬)設隨機變量ξ的分布列如表:
則下列說法正確的是( )
A.當{an}為等差數(shù)列時,a2+a2 023=11 012
B.數(shù)列{an}的通項公式可能為an=2 0252 024n(n+1)
C.當數(shù)列{an}滿足an=12n(n=1,2,…,2 023)時,a2 024=122 024
D.當數(shù)列{an}滿足P(ξ≤k)=k2ak(k=1,2,…,2 024)時,(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2)
【解析】選ABD.對于A,因為{an}為等差數(shù)列,
所以S2 024=2 024(a1+a2 024)2=1,
則有a2+a2 023=a1+a2 024=11 012,故A正確;
對于B,若數(shù)列{an}的通項公式為
an=2 0252 024n(n+1)=2 0252 024(1n-1n+1),
則S2 024=2 0252 024(1-12+12-13+…+12 024-12 025)=2 0252 024(1-12 025)=1,故B正確;
對于C,因為an=12n(n=1,2,…,2 023),所以S2 024=12(1-122 023)1-12+a2 024=1-122 023+a2 024=1,則有a2 024=122 023,故C錯誤;
對于D,令Sk=P(ξ≤k)=k2ak,則ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)2ak+1-k2ak,故ak+1ak=kk+2,所以anan-1=n-1n+1(n≥2),
即(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2),故D正確.
17.(5分)冰壺比賽的場地如圖所示,其中左端(投擲線MN的左側)有一個發(fā)球區(qū),運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺擲出,使冰壺沿冰道滑行,冰道的右端有一圓形營壘區(qū),以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心O的遠近決定勝負,甲、乙兩人進行投擲冰壺比賽,規(guī)定冰壺的中心落在圓O中得3分,冰壺的中心落在圓環(huán)A中得2分,冰壺的中心落在圓環(huán)B中得1分,其余情況均得0分.已知甲、乙投擲冰壺的結果互不影響,甲、乙得3分的概率分別為13,14;甲、乙得2分的概率分別為25,12;甲、乙得1分的概率分別為15,16.甲、乙所得分數(shù)相同的概率為________;若甲、乙兩人所得的分數(shù)之和為X,則X的均值為______.
【解析】由題意知,甲得0分的概率為1-13-25-15=115,乙得0分的概率為1-14-12-16=112,
則甲、乙所得分數(shù)相同的概率為13×14+25×12+15×16+115×112=2990.
因為甲、乙兩人所得的分數(shù)之和為X,則X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6,
則P(X=0)=115×112=1180;
P(X=1)=115×16+15×112=136;
P(X=2)=115×12+15×16+25×112=110;
P(X=3)=115×14+15×12+25×16+13×112=1990;P(X=4)=15×14+25×12+13×16=1136;
P(X=5)=25×14+13×12=415;
P(X=6)=13×14=112,
則E(X)=0×1180+1×136+2×110+3×1990+4×1136+5×415+6×112=4712.
答案:2990 4712ξ
1
2
3
4
P
112
a
13
13
商品
D
E
F
猜對的概率
0.8
0.5
0.3
獲得的獎金/元
100
200
300
X
-1
0
1
P
12
1-q
q-q2
X
0
1
2
3
P
14
a
14
b
X
0
1
2
3
P
435
1835
1235
135
ξ
0
1
2
P
b-a
b
a
銷售量/份
15
16
17
18
天數(shù)
20
30
40
10
X
30
31
32
33
34
35
36
P
125
325
14
725
1150
225
1100
項目
中文
英語
數(shù)學
體育
男
n
1
m
1
女
1
1
1
1
X
0
1
2
3
P
1120
740
2140
724
ξ
1
2
3
…
2 023
2 024
P
a1
a2
a3
…
a2 023
a2 024

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