注意事項(xiàng)：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)問120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級(jí)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑：非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽宇筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.
1. 下列選項(xiàng)中，與直線平行的直線是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知橢圓C：，“”是“點(diǎn)為C的一個(gè)焦點(diǎn)”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 已知曲線，從曲線上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足為，且，則點(diǎn)N的軌跡方程為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知不全為零的實(shí)數(shù)、、滿足，則直線被圓所截得的線段長(zhǎng)的最小值為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，且C過點(diǎn)，則（ ）
A. 10B. 49C. 50D. 1201
6. 已知雙曲線C：（，）的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在C上，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
7. 直線l：與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
8. 已知橢圓：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且是面積為的直角三角形.則的方程為（ ）
A B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱側(cè)面，可以得到以下哪些圖形（ ）
A 兩條平行直線B. 兩條相交直線C. 圓D. 橢圓
10. 設(shè)拋物線C：的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓A：的一條切線，切點(diǎn)為Q，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為B.則（ ）
A. l與圓A相交B. 當(dāng)點(diǎn)P，A，B共線時(shí)，
C. 時(shí)，的面積為2或6D. 滿足的點(diǎn)P恰有2個(gè)
11. 已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線與圓相切于點(diǎn)，與第二象限內(nèi)的漸近線交于點(diǎn)，則（ ）
A. 雙曲線的離心率
B. 若，則的漸近線方程為
C. 若，則漸近線方程為
D. 若，則的漸近線方程為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知圓與x軸相切，則__________.
13. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)恰為圓的圓心，點(diǎn)是與圓的一個(gè)交點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為__________，點(diǎn)到直線的距離為__________.
14. 已知曲線C是橢圓被雙曲線（）所截得部分（含端點(diǎn)），點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，，，則的最大值與最小值的比值是__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式，（a，b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)）為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓C：.
（1）求C的面積；
（2）若直線l：交C于A，B兩點(diǎn)，求.
16. 已知橢圓C：上的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于兩點(diǎn)，若面積是面積的3倍，求的值.
17. 已知橢圓C：，直線l過原點(diǎn)，且與C相交于A，B兩點(diǎn)，并與點(diǎn)構(gòu)成三角形.
（1）求的周長(zhǎng)的取值范圍：
（2）求的面積S的最大值.
18. 已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，過作直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求直線l的方程．
19. 若平面內(nèi)的曲線C與某正方形A四條邊的所在直線均相切，則稱曲線C為正方形A的一條“切曲線”，正方形A為曲線C的一個(gè)“切立方”.
（1）圓的一個(gè)“切立方”A的其中一條邊所在直線的斜率是1，求這個(gè)“切立方”A四條邊所在直線的方程：
（2）已知正方形A的方程為，且正方形A為雙曲線的一個(gè)“切立方”，求該雙曲線的離心率e的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)的圖象為曲線C，試問曲線C是否存在切立方，并說明理由.2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試
高二數(shù)學(xué)試題（A）
注意事項(xiàng)：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)問120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級(jí)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑：非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽宇筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.
1. 下列選項(xiàng)中，與直線平行的直線是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先將直線方程化為一般式方程，然后判斷是否成立，注意分析重合情況.
【詳解】，
對(duì)于A：，可知兩直線重合，不符合；
對(duì)于B：，所以不平行，不符合；
對(duì)于C：，所以不平行，不符合；
對(duì)于D：，，且，所以兩直線平行，符合；
故選：D.
2. 已知橢圓C：，“”是“點(diǎn)為C的一個(gè)焦點(diǎn)”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用橢圓幾何性質(zhì)，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)與之間的關(guān)系式可得結(jié)論.
【詳解】若可得得一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即充分性成立；
若“點(diǎn)為C的一個(gè)焦點(diǎn)”，則可得，即，可知必要性成立，
因此，“”是“點(diǎn)為C的一個(gè)焦點(diǎn)”的充要條件.
故選：C
3. 已知曲線，從曲線上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足為，且，則點(diǎn)N的軌跡方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量找到三點(diǎn)的關(guān)系，設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)，由三點(diǎn)關(guān)系得到的坐標(biāo)，然后代入曲線，得到點(diǎn)N的軌跡方程.
【詳解】∵，∴三點(diǎn)共線，且
又∵軸，
∴設(shè)，則，，
∵點(diǎn)在上，
∴，即.
故選：B.
4. 已知不全為零的實(shí)數(shù)、、滿足，則直線被圓所截得的線段長(zhǎng)的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可知，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)，直線截圓所得弦長(zhǎng)最小，結(jié)合勾股定理即可得解.
【詳解】因?yàn)椴蝗珵榱愕膶?shí)數(shù)、、滿足，
則直線的方程可化為，即，
由可得，即直線過定點(diǎn)，
因?yàn)?，即點(diǎn)在圓內(nèi)，
圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，
當(dāng)時(shí)，圓心到的距離取最大值，且最大值為，
所以，直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為.
故選：B.
5. 已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，且C過點(diǎn)，則（ ）
A. 10B. 49C. 50D. 1201
【答案】D
【解析】
【分析】由條件知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，半焦距長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，根據(jù)的關(guān)系，可求.
【詳解】橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，過點(diǎn)，
∴，∴ ，∴.
故選：D.
6. 已知雙曲線C：（，）的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在C上，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知列方程組求得，再由離心率公式計(jì)算．
【詳解】點(diǎn)在C上，右焦點(diǎn)，，
則，解得，
所以離心率，
故選：A．
7. 直線l：與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
【答案】C
【解析】
【分析】利用直線恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，即可得到結(jié)論.
【詳解】由整理得：，
可知圓圓心坐標(biāo)為，半徑為，
再由直線l：恒過點(diǎn)，
由圓心到點(diǎn)的距離為，可知，
所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，
即直線l與圓一定有兩個(gè)交點(diǎn).
故選：C.
8. 已知橢圓：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且是面積為的直角三角形.則的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直線斜率的關(guān)系得到兩直線垂直，且知道直角三角形中，得到，
由面積求出的值，由橢圓定義和橢圓的性質(zhì)求出的值，得到橢圓方程.
【詳解】∵，∴，
∵，∴設(shè)，
則，
∴，
∴，∴，
∵，
∵，
∴，
∴橢圓方程為：.
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱的側(cè)面，可以得到以下哪些圖形（ ）
A. 兩條平行直線B. 兩條相交直線C. 圓D. 橢圓
【答案】CD
【解析】
【分析】分平面與底面平行和平面與底面的夾角為銳角兩種情況，得到圖形為圓和橢圓.
【詳解】一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱的側(cè)面，若平面與底面平行，則得到的圖形為圓，
若平面與底面夾角為銳角時(shí)，可以得到的圖形為橢圓.
故選：CD
10. 設(shè)拋物線C：的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓A：的一條切線，切點(diǎn)為Q，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為B.則（ ）
A. l與圓A相交B. 當(dāng)點(diǎn)P，A，B共線時(shí)，
C. 時(shí)，的面積為2或6D. 滿足的點(diǎn)P恰有2個(gè)
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，由拋物線與圓的方程，可得準(zhǔn)線方程與圓心半徑，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，可得答案；
對(duì)于B，由題意作圖，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)圓的切線性質(zhì)與勾股定理，可得答案；
對(duì)于C，根據(jù)拋物線的性質(zhì)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用分類討論，結(jié)合圖象，可得答案；
對(duì)于D，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求得固定線段的中垂線，聯(lián)立方程求交點(diǎn)，可得答案.
【詳解】對(duì)于A，由拋物線，即，則準(zhǔn)線，
由圓整理可得，則圓心，半徑r=1，
由圓心到直線y=?1的距離為，則圓與直線相切，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由題意作圖如下：
由共線，且，當(dāng)時(shí)，，則，，
，，故B正確；
對(duì)于C，由，則令，，解得，
當(dāng)時(shí)，的高為，面積為，如下圖：
當(dāng)時(shí)，的高為，面積為，如下圖：
故C正確；
對(duì)于D，由題意可作圖如下：
.
由拋物線整理可得，則其焦點(diǎn)，易知，
由直線的斜率，線段中點(diǎn)，
則線段的中垂線方程為，整理可得，
聯(lián)立，消可得，，
所以線段的中垂線與拋物線存在兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線與圓相切于點(diǎn)，與第二象限內(nèi)的漸近線交于點(diǎn)，則（ ）
A. 雙曲線的離心率
B. 若，則的漸近線方程為
C. 若，則的漸近線方程為
D. 若，則的漸近線方程為
【答案】AC
【解析】
【分析】利用可得，與漸近線斜率相比較即可構(gòu)造不等式求得離心率，知A正確；根據(jù)斜率關(guān)系可知直線為雙曲線一條漸近線，利用可構(gòu)造方程求得B正確；分別利用和可構(gòu)造方程求得CD正誤.
【詳解】
對(duì)于A，，，，，
，，又與第二象限內(nèi)的漸近線交于點(diǎn)，
，即，，，A正確；
對(duì)于B，由A知：，又，，
直線即為雙曲線的一條漸近線，
，，又，
，，
，
，，
，整理可得：，
，，，
即，解得：，的漸近線方程為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，
，，
，整理可得：，即，
，，的漸近線方程為，C正確；
對(duì)于D，，，，
，
，，
，整理可得：，
，，，的漸近線方程為，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線離心率、漸近線的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠利用余弦定理和漸近線斜率構(gòu)造關(guān)于的方程，進(jìn)而求得雙曲線的離心率和漸近線方程.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知圓與x軸相切，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】整理圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，明確圓心與半徑，由切線建立方程，可得答案.
【詳解】由圓的方程整理可得圓，則圓心，半徑，
由圓與軸相切，則，解得.
故答案為：.
13. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)恰為圓的圓心，點(diǎn)是與圓的一個(gè)交點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為__________，點(diǎn)到直線的距離為__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由圓標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心，從而知道焦點(diǎn)坐標(biāo)和的值，寫出拋物線方程后聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求得結(jié)果.
【詳解】∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，
∴圓心為0,1，半徑，
∴，即，即拋物線C：，F(xiàn)0,1
聯(lián)立方程組，
解得或（∵舍去）
∴
∴或
∵直線與軸重合，∴點(diǎn)到直線的距離為，
由對(duì)稱性可知，無論取哪個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離相等，
∴取，直線，
∴點(diǎn)到直線的距離，
故答案為：①4 ②
14. 已知曲線C是橢圓被雙曲線（）所截得的部分（含端點(diǎn)），點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，，，則的最大值與最小值的比值是__________.
【答案】2
【解析】
【分析】由橢圓的定義，可得焦半徑的和，整理所求差值為函數(shù)，利用分類討論并結(jié)合圖象，可得答案.
【詳解】由橢圓，則，，
易知為橢圓的左右焦點(diǎn)，
由為橢圓上的點(diǎn)，則，可得，
所以，聯(lián)立，解得，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，則取得最小值
如下圖：
；
當(dāng)時(shí)，取得最大值，則取得最大值，如下圖：
.
所以的最大值與最小值的比值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式，（a，b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)）為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓C：.
（1）求C的面積；
（2）若直線l：交C于A，B兩點(diǎn)，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由橢圓C的方程可知的值，代入橢圓的面積公式即可；
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求解.
【小問1詳解】
由橢圓C的方程可知，，
所以，橢圓C的面積；
【小問2詳解】
聯(lián)立，得，
設(shè)，則，，
∴，
所以，.
16. 已知橢圓C：上的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于兩點(diǎn)，若面積是面積的3倍，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)與同底不等高的特點(diǎn)將面積比表示為高之比，結(jié)合直線與橢圓聯(lián)立后所得方程的判別式求解出的值.
【詳解】解：將直線與橢圓聯(lián)立，
消去可得，
因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，
則，解得，
設(shè)到的距離為，到的距離為，易知F1?1,0，F(xiàn)21,0，
則，，
所以，解得或(舍去)，
故.

17. 已知橢圓C：，直線l過原點(diǎn)，且與C相交于A，B兩點(diǎn)，并與點(diǎn)構(gòu)成三角形.
（1）求的周長(zhǎng)的取值范圍：
（2）求的面積S的最大值.
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】（1）由橢圓定義得到的周長(zhǎng)為，設(shè)，且，求出，求出周長(zhǎng)的取值范圍；
（2）表達(dá)出，結(jié)合，得到面積的最大值.
【小問1詳解】
由題可得，，
則，故，
所以為橢圓的其中一個(gè)焦點(diǎn)，則另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
連接，由對(duì)稱性可知，，

故，
則的周長(zhǎng)為，
設(shè)，，
因?yàn)槿c(diǎn)構(gòu)成三角形，故不共線，所以，
故且，
則，
因?yàn)?，故?br>所以的周長(zhǎng)；
【小問2詳解】
，
不共線，故，
所以，S的最大值為12.
18. 已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，過作直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求直線l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用給的條件列方程求得的值，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）聯(lián)立圓與橢圓的方程，先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到表達(dá)式，再化簡(jiǎn)即可求得．
【小問1詳解】
由題可知，其中，所以,
又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，解得，
所以橢圓E的方程為．
【小問2詳解】
由橢圓的方程，得，
所以，
設(shè)，其中，因?yàn)椋?br>所以，
又點(diǎn)在橢圓上，所以，
聯(lián)立方程組，得，
解得或（舍），
當(dāng)時(shí)，，即或．
所以當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，直線的方程為；
當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，直線的方程為．
綜上，直線的方程為或.

19. 若平面內(nèi)的曲線C與某正方形A四條邊的所在直線均相切，則稱曲線C為正方形A的一條“切曲線”，正方形A為曲線C的一個(gè)“切立方”.
（1）圓的一個(gè)“切立方”A的其中一條邊所在直線的斜率是1，求這個(gè)“切立方”A四條邊所在直線的方程：
（2）已知正方形A的方程為，且正方形A為雙曲線的一個(gè)“切立方”，求該雙曲線的離心率e的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)的圖象為曲線C，試問曲線C是否存在切立方，并說明理由.
【答案】（1），
（2）
（3）曲線C存在切立方，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“切立方”的定義，結(jié)合圖象，找到一個(gè)“切立方”的四條邊所在直線的方程即可；
（2）根據(jù)“切立方”的定義，聯(lián)立與雙曲線，由于相切，則，根據(jù)，即可求出雙曲線的離心率的取值范圍；
（3）設(shè)第一個(gè)切點(diǎn)為，則切線為，根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱和正方形對(duì)邊平行，因此可設(shè)第二條切線為，同理求出第三條和第四條切線，然后驗(yàn)證四條切線形成的圖形是否為正方形即可.
【小問1詳解】
根據(jù)“切立方”的定義，設(shè)直線方程，可得
，，
，
，；
【小問2詳解】

由正方形A的方程為，則，
由正方形A為雙曲線的一個(gè)“切立方”，
則，聯(lián)立整理得，
則，
整理得，即，
由圖可知，則，
所以
【小問3詳解】
由曲線，設(shè)切點(diǎn)為，
聯(lián)立，
得，
即，
點(diǎn)在曲線和直線上，整理得，
則過該點(diǎn)的一條切線方程為，
即，
由函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此如果曲線C是存在“切立方”，
則正方形也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故與第一條邊平行的正方形的另一條邊所在直線為：，
設(shè)第三個(gè)切點(diǎn)為（），同理可得另兩條切線為，
若存在正方形，即，
由此可設(shè)，，
代入消元可得，
設(shè)，
由，，且在上，函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，
則由零點(diǎn)存在性定理可知在上有解，
因此曲線C存在切立方.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，再結(jié)合對(duì)稱性和零點(diǎn)存在性定義即可證明.

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