一、單選題（每小題5分，共40分）
1．（5分）已知點(diǎn)P（﹣2，1）到直線l：3x﹣4y+m＝0的距離為1，則m的值為（ ）
A．﹣5或﹣15B．﹣5或15C．5或﹣15D．5或15
2．（5分）設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（3，0），若|AF|＝|BF|，則|AB|＝（ ）
A．2B．22C．3D．32
3．（5分）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2024項(xiàng)中有（ ）個(gè)奇數(shù)．
A．1012B．1348C．1350D．1352
4．（5分）已知x，y∈R，向量a→=(x，1，1)，b→=(1，y，1)，c→=(3，?6，3)，且a→⊥c→，b→∥c→，則|a→+b→|=（ ）
A．22B．23C．4D．3
5．（5分）定義一個(gè)集合Ω，集合元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全為0的實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得λ1OP1→+λ2OP2→+λ3OP3→=0→．已知（1，0，0）∈Ω，則（0，0，1）?Ω的充分條件是（ ）
A．（0，0，0）∈ΩB．（﹣1，0，0）∈Ω
C．（0，1，0）∈ΩD．（0，0，﹣1）∈Ω
6．（5分）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如圖，一座斜拉橋共有10對(duì)拉索，在索塔兩側(cè)對(duì)稱排列，已知拉索上端相鄰兩個(gè)錯(cuò)的間距|PiPi+1|（i＝1，2，3，…，9）均為4m，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距|AiAi+1|、|BiBi+1|（i＝1，2，3，…，9）均為16m，最短拉索P1A1滿足|OP1|＝60m，|OA1|＝96m，若建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則最長(zhǎng)拉索P10B10所在直線的斜率為（ ）
A．15B．516C．2564D．25
7．（5分）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的離心率為5，C的一條漸近線與圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝（ ）
A．455B．355C．255D．55
8．（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
①存在點(diǎn)Q，使得C1Q∥A1C；
②存在點(diǎn)Q，使得C1Q⊥A1C；
③對(duì)于任意點(diǎn)Q，Q到A1C的距離的取值范圍為[22，63]；
④對(duì)于任意點(diǎn)Q，△A1CQ都是鈍角三角形．
A．①②③B．①④C．②③D．②④
二、多選題（每小題6分，共18分）
（多選）9．（6分）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)
B．如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列
C．?dāng)?shù)列0，2，4，6，8，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n
D．?dāng)?shù)列1，2，2，22，4，?的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(2)n?1
（多選）10．（6分）下列命題是真命題的有（ ）
A．直線l的方向向量為a→=（1，﹣1，2），直線m的方向向量為b→=(2，1，?12)，則l與m垂直
B．直線l的方向向量為a→=（0，1，﹣1），平面α的法向量為n→=（1，﹣1，﹣1），則l⊥α
C．平面α，β的法向量分別為n1→=（0，1，3），n2→=（1，0，2），則α∥β
D．平面α經(jīng)過三點(diǎn)A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量n→=（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t＝1
（多選）11．（6分）已知點(diǎn)P是左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的橢圓C：x28+y24=1上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．若∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積為42
B．使△F1PF2為直角三角形的點(diǎn)P有6個(gè)
C．|PF1|﹣2|PF2|的最大值為6?22
D．若M(1，12)，則|PF1|+|PM|的最大、最小值分別為42+52和42?52
三、填空題（每小題5分，共15分）
12．（5分）已知向量a→=（0，﹣1，1），b→=（4，1，0），|λa→+b→|=29且λ＞0，則λ＝ ．
13．（5分）已知圓C：x2+y2﹣2x+m＝0與圓（x+3）2+（y+3）2＝4外切，點(diǎn)P是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線5x+12y+8＝0的距離的最大值為 ．
14．（5分）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，他們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，則csθ的最大值為 ．
四、解答題（共77分）
15．（13分）如圖所示，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，BE=12BB1，DF=23DD1．
（1）求證：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
（2）若EF→=xAB→+yAD→+zAA1→，求x+y+z的值．
16．（15分）已知關(guān)于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，方程C表示圓．
（2）若圓C與直線l：x+2y﹣4＝0相交于M，N兩點(diǎn)，且MN=45，求m的值．
17．（15分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1．N是B1C1的中點(diǎn)，M是DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：D1N∥平面CB1M；
（2）求平面CB1M與平面BB1C1C的夾角余弦值；
（3）求點(diǎn)B到平面CB1M的距離．
18．（17分）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，右焦點(diǎn)為F，已知|A1F|＝3，|A2F|＝1．
（1）求橢圓方程及其離心率；
（2）已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線A2P交y軸于點(diǎn)Q，若三角形A1PQ的面積是三角形A2FP 面積的二倍，求直線A2P的方程．
19．（17分）如圖1，在平行四邊形ABCD中，D＝60°，DC＝2AD＝2，將△ADC沿AC折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置，且PC⊥BC，連接PB得三棱錐P﹣ABC，如圖2．
（1）證明：平面PAB⊥平面ABC；
（2）在線段PC上是否存在點(diǎn)M，使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為58，若存在，求出|PM||PC|的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
答案與試題解析
一、單選題（每小題5分，共40分）
1．（5分）已知點(diǎn)P（﹣2，1）到直線l：3x﹣4y+m＝0的距離為1，則m的值為（ ）
A．﹣5或﹣15B．﹣5或15C．5或﹣15D．5或15
【分析】根據(jù)條件，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于m的方程，再求出m的值．
解：因?yàn)辄c(diǎn)P（﹣2，1）到直線l：3x﹣4y+m＝0的距離為1，
所以|3×(?2)?4×1+m|9+16=1，解得m＝15或5．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題．
2．（5分）設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（3，0），若|AF|＝|BF|，則|AB|＝（ ）
A．2B．22C．3D．32
【分析】利用已知條件，結(jié)合拋物線的定義，求解A的坐標(biāo)，然后求解即可．
解：F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)（1，0），點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（3，0），|AF|＝|BF|＝2，
由拋物線的定義可知A（1，2）（A不妨在第一象限），所以|AB|=(3?1)2+(?2)2=22．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
3．（5分）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2024項(xiàng)中有（ ）個(gè)奇數(shù)．
A．1012B．1348C．1350D．1352
【分析】對(duì)數(shù)列中的數(shù)進(jìn)行歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，結(jié)合題意得到答案．
解：在數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144中，每3個(gè)數(shù)中前2個(gè)都是奇數(shù)，后一個(gè)是偶數(shù)，
又2022＝3×674，
故該數(shù)列前2024項(xiàng)有2×674+2＝1350個(gè)奇數(shù)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查歸納定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）已知x，y∈R，向量a→=(x，1，1)，b→=(1，y，1)，c→=(3，?6，3)，且a→⊥c→，b→∥c→，則|a→+b→|=（ ）
A．22B．23C．4D．3
【分析】先根據(jù)a→⊥c→，b→∥c→，求出x，y的值，然后利用模長(zhǎng)公式求解
解：∵x，y∈R，向量a→=(x，1，1)，b→=(1，y，1)，c→=(3，?6，3)，且a→⊥c→，b→∥c→，
∴3x?6+3=0y?6=13，
解得x＝1，y＝﹣2，故a→=(1，1，1)，b→=(1，?2，1)，
故|a→+b→|＝|（2，﹣1，2）|＝3．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的模的求法，考查向量垂直、向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
5．（5分）定義一個(gè)集合Ω，集合元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全為0的實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得λ1OP1→+λ2OP2→+λ3OP3→=0→．已知（1，0，0）∈Ω，則（0，0，1）?Ω的充分條件是（ ）
A．（0，0，0）∈ΩB．（﹣1，0，0）∈Ω
C．（0，1，0）∈ΩD．（0，0，﹣1）∈Ω
【分析】利用空間向量的基本定理，結(jié)合充要條件，判斷選項(xiàng)即可．
解：不全為0的實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得λ1OP1→+λ2OP2→+λ3OP3→=0→．
所以3個(gè)向量無法構(gòu)成三維空間坐標(biāo)系的一組基，
又因?yàn)椋?，0，0）∈Ω，所以對(duì)于A三者不能構(gòu)成一組基，
故不能推出（0，0，1）?Ω，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，（1，0，0）∈Ω，（﹣1，0，1）∈Ω，且（1，0，0），（﹣1，0，0）共線，
所以（0，0，1）可以屬于Ω，此時(shí)三者不共面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，顯然三者可以構(gòu)成一組基，與條件不符合，故可以推出（0，0，1）?Ω，故C正確；
對(duì)于D，三者無法構(gòu)成一組基，故不能推出（0，0，1）?Ω，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的基本定理的應(yīng)用，充要條件的判斷，是基礎(chǔ)題．
6．（5分）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如圖，一座斜拉橋共有10對(duì)拉索，在索塔兩側(cè)對(duì)稱排列，已知拉索上端相鄰兩個(gè)錯(cuò)的間距|PiPi+1|（i＝1，2，3，…，9）均為4m，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距|AiAi+1|、|BiBi+1|（i＝1，2，3，…，9）均為16m，最短拉索P1A1滿足|OP1|＝60m，|OA1|＝96m，若建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則最長(zhǎng)拉索P10B10所在直線的斜率為（ ）
A．15B．516C．2564D．25
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，即可求解．
解：|OA10|＝|OA1|+|A1A10|＝96+9×16＝240m，
|OP10|＝|OP1+|P1P10|＝60+9×4＝96m，
故B10（﹣240，0），P10（0，96），
則kP10B10=0?96?240?0=25．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的離心率為5，C的一條漸近線與圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝（ ）
A．455B．355C．255D．55
【分析】利用雙曲線的離心率，求解漸近線方程，然后求解圓的圓心到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解|AB|即可．
解：雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的離心率為5，
可得c=5a，所以b＝2a，
所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±2x，
一條漸近線與圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B兩點(diǎn)，圓的圓心（2，3），半徑為1，
圓的圓心到直線y＝2x的距離為：|4?3|1+4=15，
所以|AB|＝21?15=455．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題．
8．（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
①存在點(diǎn)Q，使得C1Q∥A1C；
②存在點(diǎn)Q，使得C1Q⊥A1C；
③對(duì)于任意點(diǎn)Q，Q到A1C的距離的取值范圍為[22，63]；
④對(duì)于任意點(diǎn)Q，△A1CQ都是鈍角三角形．
A．①②③B．①④C．②③D．②④
【分析】根據(jù)題意，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果．
解：由題知，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)，
建立以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，如圖所示：
則A1（0，0，1），C（1，1，0），C1（1，1，1），設(shè)Q（0，1，a），其中0≤a≤1，
所以C1Q=(?1，0，a?1)，A1C→=(1，1，?1)，
當(dāng)C1Q=λA1C→，即（﹣1，0，a﹣1）＝λ（1，1，﹣1），
所以?1=λ0=λa?1=?λ，顯然方程組無解，
所以不存在λ使得C1Q→∥λA1C→，
即不存在點(diǎn)Q，使得C1Q∥A1C，故①錯(cuò)誤；
當(dāng)C1Q?A1C→=?1+0+1?a=0時(shí)，解得a＝0，
即存在點(diǎn)Q，使得C1Q⊥A1C，故②正確；
因?yàn)锳1Q→=(0，1，a?1)，其中0≤a≤1，
所以點(diǎn)Q到A1C的距離為：|A1Q→|2?(A1Q→?A1C→|A1C→|)2=1+(1?a)2?(2?a)23
=2(a?12)2+323∈[22，63]，故③正確；
因?yàn)镼C→=(1，0，?a)，QA1→=(0，?1.1?a)，其中0≤a≤1，
所以cs＜QC→，QA1→＞=QC→?QA1→|QC→||QA1→|=a2?a1+a2?1+(1?a)2=(a?1)a1+a2?1+(1?a)2≤0，
所以三角形A1CQ為直角三角形或鈍角三角形，故④錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．
二、多選題（每小題6分，共18分）
（多選）9．（6分）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)
B．如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列
C．?dāng)?shù)列0，2，4，6，8，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n
D．?dāng)?shù)列1，2，2，22，4，?的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(2)n?1
【分析】利用數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式一一判定選項(xiàng)即可．
解：對(duì)于A，∵數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其自變量n∈N+，
∴數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，常數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2≠0，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，∵a1=(2)0，a2=2，a3=(2)2，a4=(2)3，a5=(2)4，?，
∴數(shù)列1，2，2，22，4，?的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(2)n?1，故D正確．
故選：AD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
（多選）10．（6分）下列命題是真命題的有（ ）
A．直線l的方向向量為a→=（1，﹣1，2），直線m的方向向量為b→=(2，1，?12)，則l與m垂直
B．直線l的方向向量為a→=（0，1，﹣1），平面α的法向量為n→=（1，﹣1，﹣1），則l⊥α
C．平面α，β的法向量分別為n1→=（0，1，3），n2→=（1，0，2），則α∥β
D．平面α經(jīng)過三點(diǎn)A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量n→=（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t＝1
【分析】對(duì)于A，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解，
對(duì)于B，結(jié)合方向向量的定義，以及向量的數(shù)量積公式，推得l∥α或l?α，即可求解，
對(duì)于C，結(jié)合兩個(gè)法向量不共線，即可求解，
對(duì)于D，結(jié)合法向量的定義，以及空間向量的數(shù)量積公式，即可求解．
解：a→=（1，﹣1，2），b→=(2，1，?12)，
則a→?b→=0，即直線l與m垂直，故A正確，
直線l的方向向量為a→=（0，1，﹣1），平面α的法向量為n→=（1，﹣1，﹣1），
則a→?n→=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝0，即a→⊥n→，
所以l∥α或l?α，故B錯(cuò)誤，
n1→=（0，1，3），n2→=（1，0，2）不共線，
則α∥β不成立，故C錯(cuò)誤，
∵A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），
∴AB→=(?1，1，1)，BC→=(?1，1，0)，
∵向量n→=（1，u，t）是平面α的法向量，
∴n→?AB→=0n→?BC→=0，
∴?1+u+t=0?1+u=0，即u+t＝1，故D正確．
故選：AD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
（多選）11．（6分）已知點(diǎn)P是左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的橢圓C：x28+y24=1上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．若∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積為42
B．使△F1PF2為直角三角形的點(diǎn)P有6個(gè)
C．|PF1|﹣2|PF2|的最大值為6?22
D．若M(1，12)，則|PF1|+|PM|的最大、最小值分別為42+52和42?52
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積的相關(guān)結(jié)論即可判斷A；結(jié)合橢圓性質(zhì)可判斷B；結(jié)合橢圓定義可求線段和差的最值，判斷CD．
解：點(diǎn)P是左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的橢圓C：x28+y24=1上的動(dòng)點(diǎn)，
A選項(xiàng)：由橢圓方程x28+y24=1，所以a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2﹣b2＝4，
所以△F1PF2的面積為S=b2tan∠F1PF22=4≠42，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：當(dāng)PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2時(shí)，△F1PF2為直角三角形，這樣的點(diǎn)P有4個(gè)，
設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為S，T，則|F1F2|＝4，|OS|＝2，故|OS|=12|F1F2|，同理|OT|=12|F1F2|，
知∠F1SF2＝∠F1TF2＝90°，所以當(dāng)P位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)△F1PF2也為直角三角形，
其他位置不滿足，滿足△F1PF2為直角三角形的點(diǎn)P，故B正確；
C選項(xiàng)：由于|PF1|?2|PF2|=2a?|PF2|?2|PF2|=42?3|PF2|，
所以當(dāng)|PF2|最小即|PF2|=a?c=22?2時(shí)，|PF1|﹣2|PF2|取得最大值6?22，故C正確；
D選項(xiàng)：因?yàn)閨PF1|+|PM|=2a?|PF2|+|PM|=42+|PM|?|PF2|，
又||PM|?|PF2||≤|MF2|=52，則|PF1|+|PM|的最大、最小值分別為42+52和42?52，
當(dāng)點(diǎn)P位于直線MF2與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的相關(guān)知識(shí)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．
三、填空題（每小題5分，共15分）
12．（5分）已知向量a→=（0，﹣1，1），b→=（4，1，0），|λa→+b→|=29且λ＞0，則λ＝ 3 ．
【分析】根據(jù)所給的向量坐標(biāo)寫出要求模的向量坐標(biāo)，用求模長(zhǎng)的公式寫出關(guān)于變量λ的方程，解方程即可，解題過程中注意對(duì)于變量的限制，把不合題意的結(jié)果去掉．
解：∵a→=（0，﹣1，1），b→=（4，1，0），∴λa→+b→=（4，1﹣λ，λ），
∴16+（λ﹣1）2+λ2＝29（λ＞0），
∴λ＝3，
故3．
【點(diǎn)評(píng)】向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題，好多問題都是以向量為載體的．
13．（5分）已知圓C：x2+y2﹣2x+m＝0與圓（x+3）2+（y+3）2＝4外切，點(diǎn)P是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線5x+12y+8＝0的距離的最大值為 4 ．
【分析】利用兩圓的外切關(guān)系先計(jì)算m，再根據(jù)圓上一動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的最值計(jì)算即可．
解：圓C：x2+y2﹣2x+m＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+y2＝1﹣m，
可得C（1，0），其半徑為1?m(m＜1)，
圓（x+3）2+（y+3）2＝4的圓心為（﹣3，﹣3），半徑為2，
因?yàn)閮蓤A外切，所以1?m+2=(1+3)2+(3)2，解得m＝﹣8，
可得圓C的半徑為3，
因?yàn)閳A心C（1，0）到直線5x+12y+8＝0的距離為|5+0+8|52+122=1，
則點(diǎn)P到直線5x+12y+8＝0的距離的最大值為3+1＝4．
故4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查直線和圓的關(guān)系，屬中檔題．
14．（5分）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，他們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，則csθ的最大值為 25 ．
【分析】首先以AB，AD，AQ三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，M（0，y，2），從而可求出向量EM→，AF→的坐標(biāo)，由csθ=|cs＜EM→，AF→＞|得到csθ=2?y5?y2+5，對(duì)函數(shù)2?y5?y2+5求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可判斷該函數(shù)為減函數(shù)，從而求出csθ的最大值．
解：根據(jù)已知條件，AB，AD，AQ三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則：
A（0，0，0），E（1，0，0），F(xiàn)（2，1，0）；
M在線段PQ上，設(shè)M（0，y，2），0≤y≤2；
∴EM→=(?1，y，2)，AF→=(2，1，0)；
∴csθ=|cs＜EM→，AF→＞|=2?yy2+5?5；
設(shè)f（y）=2?yy2+5?5，f′(y)=?2y?55(y2+5)y2+5；
函數(shù)g（y）＝﹣2y﹣5是一次函數(shù)，且為減函數(shù)，g（0）＝﹣5＜0；
∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0；
∴f（y）在[0，2]上單調(diào)遞減；
∴y＝0時(shí)，f（y）取到最大值25．
故25．
【點(diǎn)評(píng)】考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決異面直線所成角的問題，異面直線所成角的概念及其范圍，向量夾角的概念及其范圍，以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．
四、解答題（共77分）
15．（13分）如圖所示，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，BE=12BB1，DF=23DD1．
（1）求證：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
（2）若EF→=xAB→+yAD→+zAA1→，求x+y+z的值．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的共面定理，即可求解；
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，即可求解．
解：（1）證明：∵AC1→=AB→+AD→+AA1→=AB→+AD→+13AA1→+23AA1→=AB→+13AA1→+AD→+23AA1→=(AB→+BE→)+(AD→+DF→)=AE→+AF→，
∴A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
（2）∵EF→=AF→?AE→=AD→+DF→?(AB→+BE→)=AD→+23DD1→?AB→?13BB1→=?AB→+AD→+13AA1→，
EF→=xAB→+yAD→+zAA1→，
∴x＝﹣1，y＝1，z=13，
∴x+y+z=13．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
16．（15分）已知關(guān)于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，方程C表示圓．
（2）若圓C與直線l：x+2y﹣4＝0相交于M，N兩點(diǎn)，且MN=45，求m的值．
【分析】（1）方程C可化為：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，應(yīng)有5﹣m＞0．
（2）先求出圓心坐標(biāo)和半徑，圓心到直線的距離，利用弦長(zhǎng)公式求出m的值．
解：（1）方程C可化為：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，顯然，當(dāng)5﹣m＞0時(shí)，即m＜5時(shí)，方程C表示圓．
（2）圓的方程化為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，圓心C（1，2），半徑r=5?m，
則圓心C（1，2）到直線l：x+2y﹣4＝0 的距離為 d=|1+2×2?4|12+22=15，
∵M(jìn)N=45，則12MN=25，有 r2=d2+(12MN)2，
∴5?m=(15)2+(25)2，解得 m＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用．
17．（15分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1．N是B1C1的中點(diǎn)，M是DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：D1N∥平面CB1M；
（2）求平面CB1M與平面BB1C1C的夾角余弦值；
（3）求點(diǎn)B到平面CB1M的距離．
【分析】（1）取CB1中點(diǎn)E，連接NE，ME，易證四邊形D1MEN是平行四邊形，所以D1N∥ME，由線面平行的判定定理證明即可；
（2）以A為原點(diǎn)建系，利用向量法分別求出平面CB1M與平面BB1CC1的法向量，利用向量的夾角公式，求平面CB1M與平面BB1CC1的夾角的余弦值；
（3）由（2）得BB1→及平面CB1M的法向量，利用向量法即可求點(diǎn)B到平面CB1M的距離．
（1）證明：取CB1中點(diǎn)E，連接NE，ME，
由N是B1C1的中點(diǎn)，得NE∥CC1，且NE=12CC1，
由M是DD1的中點(diǎn)，得D1M=12DD1=12CC1，且D1M∥CC1，
則D1M∥NE，D1M＝NE，
所以四邊形D1MEN是平行四邊形，
所以D1N∥ME，
又ME?平面CB1M，D1N?平面CB1M，
故D1N∥平面CB1M．
（2）解：以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
有A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），M（0，1，1），C（1，1，0），C1（1，1，2），
則CB1→=（1，﹣1，2），CM→=(?1，0，1)，BB1→=(0，0，2)，
設(shè)平面CB1M的法向量為m→=(x1，y1，z1)，
m→?CB1→=x1?y1+2z1=0m→?CM→=?x1+z1=0，則m→=（1，3，1），
設(shè)平面BB1CC1的法向量為n→=(x2，y2，z2)，
n→?CB1→=x2?y2+2z2=0n→?BB1→=2z2=0，則n→=（1，1，0），
所以cs＜m→，n→＞=m→?n→|m→|?|n→|=1+31+9+1×1+1=22211，
故平面CB1M與平面BB1CC1的夾角的余弦值為22211．
（3）解：因?yàn)锽B1→=(0，0，2)，平面CB1M的法向量為m→=(1，3，1)，
所以點(diǎn)B到平面CB1M的距離為d=|BB1→?m→||m→|=21+9+1=21111．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行、點(diǎn)到平面的距離、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，屬于中檔題．
18．（17分）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，右焦點(diǎn)為F，已知|A1F|＝3，|A2F|＝1．
（1）求橢圓方程及其離心率；
（2）已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線A2P交y軸于點(diǎn)Q，若三角形A1PQ的面積是三角形A2FP 面積的二倍，求直線A2P的方程．
【分析】（1）由題意可得a+c=3a?c=1，求解a與c的值，再由隱含條件求解b，則橢圓方程可求；
（2）由題意可知，直線A2P的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為y＝k（x﹣2），取x＝0，得Q（0，﹣2k），分別求出△A1PQ的面積與△A2FP面積，再由已知列式求解k，則直線方程可求．
解：（1）由題意可知，a+c=3a?c=1，解得a=2c=1，
∴b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3．
則橢圓方程為x24+y23=1，橢圓的離心率為e=ca=12；
（2）由題意可知，直線A2P的斜率存在且不為0，
當(dāng)k＜0時(shí)，直線方程為y＝k（x﹣2），取x＝0，得Q（0，﹣2k）．
聯(lián)立y=k(x?2)x24+y23=1，得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．
Δ＝（﹣16k2）2﹣4（4k2+3）（16k2﹣12）＝144＞0，
2xP=16k2?124k2+3，得xP=8k2?64k2+3，則yP=?12k4k2+3．
S△A1PQ=S△A1A2Q?S△A1A2P=12×4×（﹣2k）?12×4×?12k4k2+3=?16k3+12k4k2+3．
S△A2FP=12×1×?12k4k2+3=?6k4k2+3．
∴?16k3+12k4k2+3=?12k4k2+3，即2k2＝3，得k=?62（k＜0）；
同理求得當(dāng)k＞0時(shí)，k=?62．
∴直線A2P的方程為y＝±62（x﹣2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．
19．（17分）如圖1，在平行四邊形ABCD中，D＝60°，DC＝2AD＝2，將△ADC沿AC折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置，且PC⊥BC，連接PB得三棱錐P﹣ABC，如圖2．
（1）證明：平面PAB⊥平面ABC；
（2）在線段PC上是否存在點(diǎn)M，使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為58，若存在，求出|PM||PC|的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）由題設(shè)條件，證明PA⊥BC，PA⊥AC，再由面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PM→=λPC→，(0≤λ≤1)，求出平面AMB與平面MBC的法向量，利用向量的夾角公式列方程即可求解．
（1）證明：由題意，在平行四邊形ABCD中，
D＝60°，DC＝2，AD＝1，
則在△ADC中，由余弦定理，
可得AC2＝AD2+DC2﹣2AD?DC?cs60°＝1+4﹣2×1×2×12=3，
則有AC2+AD2＝DC2，故AC⊥AD，即AC⊥PA，
又AD∥BC，所以AC⊥BC，
由題意，PC⊥BC，AC∩PC＝C，AC，PC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，又PA?平面PAC，所以PA⊥BC，
又AC∩BC＝C，AC，BC?平面ABC，
所以PA⊥平面ABC，又PA?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABC；
（2）解：過點(diǎn)A作Ax∥BC，由（1）可知，Ax，AC，AP兩兩垂直，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，C(0，3，0)，B(?1，3，0)，P(0，0，1)，P（0，0，1），
假設(shè)在線段PC上存在點(diǎn)M滿足題意，
設(shè)PM→=λPC→，(0≤λ≤1)，則有PM→=λ(0，3，?1)，
故M（0，3λ，1?λ)，
則AM→=(0，3λ，1?λ)，AB→=(?1，3，0)，BM→=(1，3λ?3，1?λ)，BC→=(1，0，0)，
設(shè)平面AMB的一個(gè)法向量為n→=(x，y，z)，
則有n→?AM→=3λy+(1?λ)z=0n→?AB→=?x+3y=0，令y=3，可得x=3，z=3λλ?1，
即n→=(3，3，3λλ?1)，
設(shè)平面MBC的一個(gè)法向量為m→=(a，b，c)，
則有m→?BM→=a+(3λ?3)b+(1?λ)c=0m→?BC→=a=0，令b=3，可得a＝0，c＝3，
即m→=(0，3，3)，
若平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為58，
則有|cs＜m→，n→＞|=|m→?n→||m→||n→|=|3+9λλ?1|23×12+9λ2(λ?1)2=58，
整理得81λ2+72λ﹣84＝0，解得λ=23或λ=?149（舍去），
故PM→=23PC→，即|PM||PC|=23，
故在線段PC上存在點(diǎn)M，當(dāng)|PM||PC|=23時(shí)，
可得平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為58．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的判定，考查面面角夾角的余弦值求法，屬難題．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
D
C
D
A
C

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