1. 已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【正確答案】D
【分析】由復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算和的性質(zhì)可得答案.
【詳解】復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.
故選：D.
2. 某車間從生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取了1000個(gè)進(jìn)行一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的檢測(cè)，整理檢測(cè)結(jié)果得到此項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示.若用分層抽樣的方法從質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間的零件中抽取170個(gè)進(jìn)行再次檢測(cè)，則質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間內(nèi)的零件應(yīng)抽取（ ）
A. 30個(gè)B. 40個(gè)C. 60個(gè)D. 70個(gè)
【正確答案】C
【分析】由分層抽樣按比例計(jì)算．
【詳解】設(shè)質(zhì)量指標(biāo)在區(qū)間內(nèi)的零件應(yīng)抽取個(gè)，則
，解得，
故選：C．
3. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設(shè)“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是2”為事件，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”為事件，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件，則下列說法正確的是（ ）
A. 事件與事件互斥
B.
C.
D. 事件與事件不相互獨(dú)立
【正確答案】C
【分析】由互斥事件的定義判斷A；應(yīng)用列舉法計(jì)算，判斷BC；利用獨(dú)立事件的定義判斷D.
【詳解】顯然事件A與事件B可以同時(shí)發(fā)生，事件與事件不互斥，A錯(cuò)誤；
拋擲一枚骰子兩次的樣本點(diǎn)數(shù)共36種：，
，，
，，
，
事件B的樣本點(diǎn)為
，共18種，
事件C的樣本點(diǎn)為，共12種，
事件的樣本點(diǎn)為，共6種，
因此，B錯(cuò)誤；，C正確；
而，于是，則事件B與事件C相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤.
故選：C
4. 已知兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，給出四個(gè)命題：
①若，，，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的命題是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】由面面垂直的判定定理，可判斷①的真假；由面面平行的判定定理及線面垂直的幾何特征，可以判斷②的真假；由面面垂直的判定定理，及線面垂直的幾何特征，可以判斷③的真假；根據(jù)線面平行的幾何特征及面面平行的判定方法，可以判斷④的真假．
【詳解】①若，，，如圖，則與不一定垂直，故①為假命題；
②若，根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，則；故②為真命題；
③若，則，故③為真命題；
④若，如圖，則與可能相交，故④為假命題．
故選B．
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定定理、性質(zhì)定義、幾何特征是解答的關(guān)鍵．
5. 若非零向量、滿足，且，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義和運(yùn)算法則即可計(jì)算.
【詳解】，
，
∴，
.
故選：B.
6. 靈運(yùn)塔，位于九江市都昌縣東湖南山濱水區(qū)，踞南山之巔，南望鄱湖，當(dāng)代新建仿古塔．某校開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，有建模課題組的學(xué)生選擇測(cè)量靈運(yùn)塔的高度，為此，他們?cè)O(shè)計(jì)了測(cè)量方案．如圖，靈運(yùn)塔垂直于水平面，他們選擇了與靈運(yùn)塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測(cè)得米，在A，B兩點(diǎn)觀察塔頂C點(diǎn)，仰角分別為和，，則靈運(yùn)塔的高度CD是（ ）
A. 45米B. 50米C. 55米D. 60米
【正確答案】B
【分析】設(shè)，進(jìn)而可得，由余弦定理得：，可求．
【詳解】設(shè)米，在中，，則，
在中，，則，
因?yàn)?，所以由余弦定理得：，整理得：，解?米).
故選：B
7. 已知圓錐的高為，它的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】直接利用扇形弧長(zhǎng)公式和面積公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意知，
設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，母線長(zhǎng)為l，
則，底面圓周長(zhǎng)為，
又扇形的弧長(zhǎng)為，
所以，解得，得，
所以底面圓的面積為，扇形面積為，
所以圓錐的表面積為.
故選：A
8. 如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 3
【正確答案】B
【分析】連接，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，判斷出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.分別求出,,利用余弦定理即可求解.
【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，

設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有.
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.
同理可求：
因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以?br>所以在三角形中，,,
由余弦定理得.
故選B.
（1）立體幾何中的翻折（展開）問題截圖的關(guān)鍵是：翻折（展開）過程中的不變量；
（2）立體幾何中距離的最值一般處理方式：
①幾何法：通過位置關(guān)系，找到取最值的位置（條件），直接求最值；
②代數(shù)法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用代數(shù)法求最值.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 如圖，在三棱錐中，能推出的條件是（ ）
A. ，B. ，
C. 平面平面，D. 平面
【正確答案】BCD
【分析】利用線面垂直的判定與性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：對(duì)于A， ，，不能證明，不能推出；
對(duì)于B，，，，則平面，，能推出；
對(duì)于C，平面平面，平面平面，，平面，，能推出；
對(duì)于D，平面，，能推出；
故選：BCD．
10. 某科技學(xué)校組織全體學(xué)生參加了主題為“創(chuàng)意之匠心，技能動(dòng)天下”的文創(chuàng)大賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（ ）
A. 在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生有160人
B. 圖中的值為0.020
C. 估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為86.7
D. 估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的80%分位數(shù)為95
【正確答案】ACD
【分析】對(duì)于A，由頻率分布直方圖求出的頻率，再乘以400可得結(jié)果，對(duì)于B，由各組的頻率和為1可求得結(jié)果，對(duì)于C，先判斷中位數(shù)所在的區(qū)間，再列方程求解，對(duì)于D，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.
【詳解】由題意，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故A正確；
由，得，故B錯(cuò)誤；
由于前3組的頻率和，前4組的頻率和，所以中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為，則，得，故C正確；
低于90分的頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為，
則，解得，故D正確.
故選：ACD.
11. 在中，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則為銳角三角形.
C. 等式恒成立.
D. 若，則
【正確答案】ACD
【分析】由正弦定理可得即結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可判斷A；由余弦定理可判斷為銳角，而角和角無法確定即可判斷B；由正弦定理以及兩角和的正弦公式可判斷C；求出角，，，由正弦定理可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A：在中，若，則，由正弦定理可得，
所以，即，所以，可得，
故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：由余弦定理可得只能判斷角為銳角，而角和角無法確定是什么角，所以得不出為銳角三角形，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：由正弦定理可得，右邊等于左邊顯然成立，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：因?yàn)?，，所以，?br>由正弦定理可得，故選項(xiàng)D正確；
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為___________.
【正確答案】且．
【分析】由數(shù)量積大于0，再除去共線的值即可參數(shù)范圍．
【詳解】由題意，，
又，時(shí)，兩向量相等，夾角為0，
所以的范圍是且．
故且．
13. 如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，是等邊三角形，且面積為，則______．
【正確答案】##
【分析】求出，，再利用余弦定理求解.
【詳解】解：因?yàn)槭堑冗吶切?，且面積為，所以，解得，所以．因?yàn)?，所以?br>由題得，
在中，由余弦定理得，
即，解得．
故答案：
14. 在四棱柱中，底面，底面是正方形，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_____．
【正確答案】
【分析】結(jié)合題意，建立坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的數(shù)量積公式，計(jì)算夾角余弦值，即可．
【詳解】
結(jié)合題意，繪制圖形，建立坐標(biāo)系，得到點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：
故
，所以
本道題考查了向量數(shù)量積公式，考查了異面直線所成角余弦值計(jì)算方法，難度中等．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知中，，是邊上一點(diǎn)，，，.
（1）求的長(zhǎng)；
（2）求的面積.
【正確答案】（1）；（2）.
【分析】（1）在中，由正弦定理求出的長(zhǎng)；
（2）在中，求出，由余弦定理求出，再由三角形面積公式求解即可.
【詳解】（1）由已知，
則中，；
（2）中，，，，
由余弦定理得：，解得，
所以的面積為.
本題主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.
16. 如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.將△ADE與△BCF分別沿AE，BF折起，使得點(diǎn)D、C重合(記為點(diǎn)P)，形成圖2，且△PEF是等腰直角三角形.
（1）證明：平面PAE⊥平面PBF；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若，求四棱錐的體積.
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）.
【分析】（1）應(yīng)用線面垂直判定證面，再由面面垂直的判定證結(jié)論；
（2）連接PG，PH，GH，且G，H分別為AB，EF的中點(diǎn)，根據(jù)二面角的定義找到其對(duì)應(yīng)的平面角，根據(jù)題設(shè)求該角正弦值即可；
（3）根據(jù)已知求得PH，結(jié)合PH⊥平面ABFE，棱錐的體積公式求體積.
【小問1詳解】
由題設(shè)，易知，又為等腰直角三角形，故，
由且都在面內(nèi)，故面，面，
所以平面PAE⊥平面PBF；
【小問2詳解】
如圖，連接PG，PH，GH，且G，H分別為AB，EF的中點(diǎn)，
由（1）知，故PG⊥AB，又GH∥AE，AE⊥AB，
∴GH⊥AB，故∠PGH為二面角的平面角，
由（1）知，AE⊥平面PEF，又平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE，
又平面ABFE∩平面PFE，PH⊥EF，平面PFE，所以PH⊥平面ABFE，
設(shè)，則，，，，
故二面角的正弦值為；
【小問3詳解】
由（2）得PH⊥平面ABFE，又AB，所以，則，
故四棱錐的體積為1.
17. △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，.
（1）求角C；
（2）求△ABC的外接圓的半徑R，并求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2），
【分析】（1）由正弦定理結(jié)合和角公式得出角C；
（2）由正弦定理得出，由正弦定理的邊化角公式得出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.
【小問1詳解】
由題，因?yàn)?br>所以由正弦定理可得
即
在△ABC中，，且，B，
又，所以，則
【小問2詳解】
由正弦定理得，所以
由（1）知，，
所以
因?yàn)椋?br>則
即△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍為
18. 第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會(huì)成功舉辦的重要保障．某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并按照，，，，分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第二、三、四組的頻率之和為0.9，第一組和第五組的頻率相同．
（1）求，的值；
（2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的中位數(shù)（精確到0.1）；
（3）若先用分層隨機(jī)抽樣的方法從面試成績(jī)?cè)诙蔚暮蜻x者中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自同一分?jǐn)?shù)段的概率．
【正確答案】（1），
（2）69.4 （3）
【分析】（1）由頻率分布直方圖列方程組即能求出的值；
（2）由于第一、二組的頻率之和為0.3而第三組的頻率為0.45，所以中位數(shù)在第三組，根據(jù)比例即可求解中位數(shù)；
（3）根據(jù)分層抽樣，在段和段的候選者分別有1人和5人，列舉出這6人中選出2人的總的基本事件數(shù)，和選出的兩人來自同一分?jǐn)?shù)段的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可．
【小問1詳解】
因?yàn)榈诙⑷?、四組的頻率之和為0.9，
所以，解得．
再由第一組、第五組的頻率之和為，
即，得．
【小問2詳解】
根據(jù)頻率分布直方圖可知，第一、二組的頻率之和為0.3，第三組的頻率為0.45，
所以中位數(shù)在第三組，且為．
【小問3詳解】
由（Ⅰ）可得面試成績(jī)?cè)诙魏投蔚暮蜻x者分別有5人和25人，若用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取6人，則需在段中抽取1人，設(shè)為，在段中抽取5人，分別設(shè)為，，，，．
該試驗(yàn)的樣本空間為，共有15個(gè)樣本點(diǎn)．
設(shè)“從這6人中隨機(jī)抽取2人，這2人來自同一分?jǐn)?shù)段”為事件，則，有10個(gè)樣本點(diǎn)，
故．
19. 已知直三棱柱滿足，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求證：平面
（3）求三棱錐的體積.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）
【分析】（1）連接，，只需證明即可，由中位線定理結(jié)合線面平行的判定定理即可得證.
（2）只需證明，即可，由等腰直角三角形性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)以及判定定理即可得證.
（3）利用轉(zhuǎn)換法，只需求點(diǎn)到平面的距離和三角形的面積，由（2）的結(jié)論、點(diǎn)為的中點(diǎn)以及解直角三角形知識(shí)即可求解.
【小問1詳解】
如圖，
連接，，
四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，
與交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，
又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
又平面，且平面，
平面.
【小問2詳解】
直三棱柱滿足，，
又點(diǎn)為的中點(diǎn)，且面，面，
所以，，
又面，
平面.
【小問3詳解】
由圖可知，
，，，
又三棱柱為直三棱柱，且，
.
，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以.
由（2）可知平面.
所以點(diǎn)到平面的距離為，
又點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)到平面的距離為，

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