2023年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷數(shù)學(xué)·全解全析注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫(xiě)結(jié)果。1．若是純虛數(shù)，，則的實(shí)部為______.【答案】1【分析】依題意有，代入中化簡(jiǎn)可求實(shí)部.【詳解】是純虛數(shù)，且，則有，故，實(shí)部為1.故答案為：1.2．已知集合，，若，則_________.【答案】2【分析】根據(jù)交集結(jié)果即可得到.【詳解】，，，.故答案為：2.3．三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.【答案】【分析】設(shè)出圓的一般方程為，利用待定系數(shù)法，分別將三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，解方程組求出，從而得出圓的一般方程，再根據(jù)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，即可得出答案.【詳解】設(shè)所求圓的一般方程為：，，由圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，解得：，則所求圓的一般方程為：，所以的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.故答案為：.4．已知向量，設(shè)與的夾角為，則__________.【答案】##【分析】由平面向量的夾角公式代入計(jì)算即可得出答案.【詳解】由平面向量的夾角公式得，.故答案為：.5．函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值為__________.【答案】1【分析】由奇函數(shù)的定義求解即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，必有，則，于是得恒成立，即，解得：.故答案為：1.6．若關(guān)于的方程組有無(wú)窮多組解，則的值為________ 【答案】【分析】根據(jù)二元一次方程組有無(wú)窮多組解知兩方程為同一方程，由此可求得，代入可得結(jié)果.【詳解】方程組有無(wú)窮多組解，與為同一方程，，.故答案為：.7．南宋數(shù)學(xué)家楊輝善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求離散量的垛積問(wèn)題，在他的專著《詳解九章算法·商功》中給出了著名的三角垛公式，則數(shù)列的前項(xiàng)和為____________．【答案】【分析】由三角垛公式可知數(shù)列的前項(xiàng)和為，根據(jù)，采用分組求和法，結(jié)合等差、等比求和公式可求得結(jié)果.【詳解】，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列的前項(xiàng)和 .故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列中的分組求和法的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺髷?shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行變型，從而與已知的三角垛公式聯(lián)系起來(lái)，利用所給的三角垛公式來(lái)進(jìn)行求和.8．在的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與各二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則______．【答案】或【分析】利用賦值法確定各項(xiàng)系數(shù)的和，由二項(xiàng)式的性質(zhì)得各二項(xiàng)式系數(shù)的和，利用比值為，列出關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】因?yàn)?/span>的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，所以由題意得，所以，或，解得，或．故答案為：或．9．已知三棱錐 中，平面，，，則三棱錐外接球的體積為______．【答案】【分析】將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，確定外接球球心的位置，求出底面三角形的外接圓半徑，進(jìn)而求得三棱錐外接球半徑，即可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以在中，根據(jù)余弦定理可得：，即．所以，所以∠ABC=120°，所以底面是頂角為120°的等腰三角形．由題意將三棱錐補(bǔ)成如圖所示的直三棱柱，則該直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上．設(shè)外接圓的半徑為r，三棱錐外接球的半徑為R，由正弦定理得，，所以，，所以三棱錐外接球的體積為，故答案為：10．“青山”飲料廠推出一款新產(chǎn)品——“綠水”，該廠開(kāi)展促銷活動(dòng)，將罐“綠水”裝成一箱，且每箱均有罐可以中獎(jiǎng)．若從一箱中隨機(jī)抽取罐，則能中獎(jiǎng)的概率為______．【答案】##【分析】記一箱中能中獎(jiǎng)的“綠水”灌裝飲料分別記為、，不能中獎(jiǎng)的“綠水”灌裝飲料分別記為、、、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記一箱中能中獎(jiǎng)的“綠水”灌裝飲料分別記為、，不能中獎(jiǎng)的“綠水”灌裝飲料分別記為、、、，從一箱中隨機(jī)抽取罐，所有基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中，事件“隨機(jī)抽取的罐能中獎(jiǎng)”所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共種，故所求概率為.故答案為：.11．已知為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離與之和的最小值為________．【答案】【分析】首先得到圓心的坐標(biāo)與半徑，由拋物線方程得到焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，依題意可得點(diǎn)到直線的距離，即可得到點(diǎn)到直線的距離與之和為，再數(shù)形結(jié)合得到的最小值.【詳解】解：因?yàn)閳A，所以，半徑，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為直線，則點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的距離與之和為，所以當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，其最小值為.故答案為：12．英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，則___________【答案】【分析】由牛頓數(shù)列的定義可得與的關(guān)系式，代入可得 ，進(jìn)而通過(guò)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，，所以，所以，即：，又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：. 二、選擇題：（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的位置，講代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑。13．已知為奇函數(shù)，且時(shí)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)及解析式求解即可.【詳解】為奇函數(shù)，且時(shí)，，.故選：D14．如圖為函數(shù)在上的圖像，則的解析式只可能是（    ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間上的符號(hào)，利用排除法求解即可．【詳解】對(duì)于B.的定義域?yàn)?/span>R，且，故為偶函數(shù)；對(duì)于D.的定義域?yàn)?/span>R，且，故為偶函數(shù)；由圖象，可知為奇函數(shù)，故排除B、D；對(duì)于C.當(dāng)時(shí)，由，可知，則，而，此時(shí)，故排除D；故選：A.15．已知函數(shù)，，，且，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，分析可知函數(shù)的最小正周期為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>，，且，所以，函數(shù)的最小正周期滿足，則，所以，，故當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：A.16．下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用作差法、對(duì)數(shù)運(yùn)算公式及基本不等式可比較與，再運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性可比較與.【詳解】∵，，∴，所以.∵∴比較與的大小，即比較與的大小.令，則.令，則.所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減.又因?yàn)?/span>，所以，即.所以，即.綜上所述，.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用. 三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列個(gè)體必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟。17．（本題滿分14分，本題共有兩個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為菱形，，，(1)若四棱錐的體積為，求的長(zhǎng)；(2)求平面與平面所成鈍二面角的正切值【答案】(1)(2) 【分析】（1）過(guò)作于，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得底面，設(shè)，求出，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解；（2）取的中點(diǎn)，連接，以的方向?yàn)?/span>軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）如圖，過(guò)作于，連接，因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，面，所以底面，設(shè)，因?yàn)?/span>，，所以，在菱形中，，則為等邊三角形，則所以四棱錐的體積，解得；（2）取的中點(diǎn)，連接，則，以的方向?yàn)?/span>軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為， 則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面與平面所成鈍二面角為，則，所以，則，所以，故平面與平面所成鈍二面角的正切值為 18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求A；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）運(yùn)用二倍角公式及和角公式代入化簡(jiǎn)解方程即可.（2）根據(jù)銳角三角形得B的范圍，運(yùn)用正弦定理邊化角，將所求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的對(duì)勾函數(shù)，研究其值域即可.【詳解】（1）∵，∴，∴，又∵ ，∴，即，又∵，∴，又∵，∴，又，即，∴，又∵，∴.（2）由（1）知，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，即，與△ABC為銳角三角形矛盾，所以不成立；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以．由，得．所以 ，故 ．因?yàn)?/span>，所以，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為． 19．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）若函數(shù)的最大值為5．(1)求t的值；(2)已知a>0，b>0，且a+2b=t，求的最小值．【答案】(1)(2)4 【分析】（1）將含有兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)形式，研究各段函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而求得t的值.（2）運(yùn)用“1”的代換及基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?/span>t>0，所以，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，且是連續(xù)函數(shù)，所以，所以.（2）由（1）知，則．因?yàn)?/span>，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．又，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值4． 20．（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分）在直角坐標(biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，兩動(dòng)點(diǎn)滿足，向量與共線.(1)求的頂點(diǎn)的軌跡方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與（1）的軌跡相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.(3)若為點(diǎn)的軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在；理由見(jiàn)解析 【分析】（1）設(shè)，由知，由且向量與共線，知在邊的中垂線上，由此能求出的頂點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線方程為，代入雙曲線方程，得，再由根的判別式和韋達(dá)定理即可求出的取值范圍；（3）通過(guò)由特殊到一般的方法進(jìn)行求解.【詳解】（1）設(shè)，由知，是的重心，.且向量與共線，在邊的中垂線上，，又，化簡(jiǎn)得，即所求的軌跡方程是.（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線方程為，代入得，，且，解得.，則或，，則的取值范圍是.（3）設(shè)，則，即.當(dāng)軸時(shí)，，即，故猜想.當(dāng)不垂直軸時(shí)，，.又與同在內(nèi)，.故存在，使恒成立.【點(diǎn)睛】軌跡問(wèn)題一般方法有三種：定義法，相關(guān)點(diǎn)法.定義法：（1）判斷動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否滿足某種曲線的定義；（2）設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，求方程中的基本量（3）求軌跡方程相關(guān)點(diǎn)法：（1）分析題目：與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)在已知曲線上；（2）尋求關(guān)系式，，；（3）將，代入已知曲線方程；（4）整理關(guān)于，的關(guān)系式得到M的軌跡方程 21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知數(shù)列，給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于任意的，存在，當(dāng)時(shí)，都有成立；②對(duì)于任意的，存在，當(dāng)時(shí)，都有成立．(1)已知數(shù)列滿足性質(zhì)①，且，，試寫(xiě)出的值；(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：數(shù)列滿足性質(zhì)①；(3)若數(shù)列滿足性質(zhì)①②，且當(dāng)時(shí)，同時(shí)滿足性質(zhì)①②的存在且唯一.證明：數(shù)列是等差數(shù)列．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由性質(zhì)①，可求出且，所以，同理可求得的值；（2）由，驗(yàn)證性質(zhì)①，即可證明；（3）數(shù)列滿足性質(zhì)①②，帶入驗(yàn)證，即可得：當(dāng)時(shí)，，即可證明滿足條件的數(shù)列是等差數(shù)列.（1）因?yàn)閿?shù)列滿足性質(zhì)①，且，所以，所以，又因?yàn)?/span>，即，所以，同理可得：.（2）因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，對(duì)于任意的，令，則，. 又，則，即.又，所以，即對(duì)于任意的.所以，對(duì)于任意的，令，則當(dāng)時(shí)，都有成立，所以，數(shù)列滿足性質(zhì)①.（3）由題意，數(shù)列滿足性質(zhì)①②，且當(dāng)時(shí)，同時(shí)滿足性質(zhì)①②的存在,即對(duì)于任意的，存在，當(dāng)時(shí)，都有成立，所以，當(dāng)時(shí)，，即.對(duì)于任意的,有，對(duì)于任意的,有,，又當(dāng)時(shí)，同時(shí)滿足性質(zhì)①②的存在且唯一,所以，當(dāng)時(shí)，,所以，滿足條件的數(shù)列是等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問(wèn)題的求解策略：1、通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2、遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問(wèn)題得以解決.
 

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