1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測(cè)試范圍：人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第一章~第三章（空間向量與立體幾何+直線與圓+圓錐曲線）。
5．難度系數(shù)：0.65。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若直線的傾斜角為，則（ ）
A．0B．C．D．不存在
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>為一常數(shù)，故直線的傾斜角為，故選：C
2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為C，點(diǎn)B關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為D，則向量的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為，
，點(diǎn)B關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為.
則.故選：B.
3．已知圓，圓，則兩圓的位置關(guān)系（ ）
A．內(nèi)切B．外切C．相交D．相離
【答案】B
【解析】易知圓的圓心為，半徑為；
圓可化為，圓心，半徑為；
圓心距，所以兩圓外切.故選：B
4．已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，若，則（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】A
【解析】拋物線，準(zhǔn)線，,
由拋物線的定義可知，解得.
故選：A.
5．如圖，在平行六面體中，，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】平行六面體中，，
因?yàn)?，，，?br>所以
，
所以，即的長(zhǎng)為，
故選：A.
6．點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，，則的最大值是（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【解析】設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，即
故,
,
當(dāng)且僅當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.
故選：A
7．已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】C
【解析】橢圓的方程為，則，，，
連接，，
則由橢圓的中心對(duì)稱性可知，
可知為平行四邊形，則，
可得的周長(zhǎng)為，
當(dāng)AB位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，AB取最小值，最小值為，
所以周長(zhǎng)為．
故選：C.
8．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方形內(nèi)部（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，給出以下三個(gè)結(jié)論：
①存在點(diǎn)滿足；
②存在點(diǎn)滿足與平面所成角的大小為；
③存在點(diǎn)滿足；
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，
設(shè)，，則，
若，則，解得，
所以存在點(diǎn)滿足，故①正確；
因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為n=a,b,c，
則，取，
設(shè)與平面所成角為，，
則，
令，，則，所以，
令，，則，所以，
所以存在點(diǎn)滿足與平面所成角的大小為，故②正確；
因?yàn)?，?br>所以，所以，
所以存在點(diǎn)滿足，故③正確.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與垂直B．與共線
C．與所成角為銳角D．，，，可作為空間向量的一組基底
【答案】BC
【解析】對(duì)A：，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：由、，有，故與共線，故B正確；
對(duì)C：，且與不共線，
故與所成角為銳角，故C正確；
對(duì)D：由與共線，故，，不可作為空間向量的一組基底，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．已知圓，直線.則以下命題正確的有（ ）
A．直線l恒過定點(diǎn)
B．y軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為
C．直線l與圓C恒相交
D．直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線的方程為
【答案】CD
【解析】對(duì)于A，直線，即，
由，解得，故直線過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B, 圓，當(dāng)時(shí)，，故y軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，直線過定點(diǎn)，,故點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線l與圓C恒相交，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線過圓心，則，解得，
故直線方程為：，即，故D正確.
故選：CD
11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，下列說法正確的是（ ）
A．若拋物線上存在一點(diǎn)，到焦點(diǎn)的距離等于4，則拋物線的方程為
B．若，則直線的傾斜角為
C．
D．若點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，則的最小值為
【答案】AC
【解析】設(shè)，直線的方程為，
由，得，
則，
所以，，
對(duì)于A：若拋物線上存在一點(diǎn)，到焦點(diǎn)的距離等于4，
即，則，解得，
所以拋物線的方程為，故A正確；
對(duì)于B：，
即，代入，
可得，解得，
所以直線的斜率，即直線的傾斜角為或，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，故C正確；
對(duì)于D：若點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，則，
所以拋物線方程為，，
連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
則，
，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
綜上，最小值為，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，．那么三角形外接圓的方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)的外接圓方程為，則
，解得，
所以三角形外接圓的方程為.
故答案為：
13．已知棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則 ．
【答案】
【解析】由題意可知：，且，
因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，

則，
所以
.
故答案為：
14．設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）.若，則雙曲線的離心率 ， .
【答案】2
【解析】如圖，
由題意，知，設(shè)雙曲線的焦距為，則.
由，得，且，
所以，所以，即，
所以雙曲線的離心率.
連接，設(shè)，
則.
在和中，由余弦定理的推論，
得，
化簡(jiǎn)整理，得，
所以在中，由余弦定理的推論，
得.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）
已知兩直線和的交點(diǎn)為．
(1)直線過點(diǎn)且與直線平行，求直線的一般式方程；
(2)圓過點(diǎn)且與相切于點(diǎn)，求圓的一般方程．
【解析】（1）直線與直線平行，故設(shè)直線為，（1分）
聯(lián)立方程組，解得．（3分）
直線和的交點(diǎn)．
又直線過點(diǎn)，則，解得，（4分）
即直線的方程為．（5分）
（2）設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（6分）
的斜率為，故直線的斜率為1，（7分）
由題意可得解得（10分）
故所求圓的方程為．（11分）
化為一般式：．（13分）
16．（15分）
在正四棱柱中，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)到直線的距離；
(2)求證：面.
【解析】（1）

如圖,以為原點(diǎn)，以分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，（1分，建系正確即可）
正四棱柱,為中點(diǎn),
（2分）
則點(diǎn)到直線的距離為：.（8分）
（2）由（1）可得，
則，（9分）
由可得，（11分）
又由可得，（13分）
又，（14分）
故面.（15分）
17．（15分）
已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程：
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，若的面積為，求直線的斜率.
【解析】（1）由橢圓的離心率為，得，（1分）
解得，（2分）
由橢圓過點(diǎn)，得，（3分）
聯(lián)立解得，（4分）
所以橢圓的方程為.（5分）
（2）依題意，直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，（6分）
，則，
由消去得，顯然，（7分）
則，（8分）
的面積（10分）
，（13分）
解得，（14分）
所以直線的斜率.（15分）

18．（17分）
如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點(diǎn).

(1)證明：∥平面；
(2)若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，，（1分，輔助線表述正確即可）
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，，（2分）
又，，
，，
所以四邊形是平行四邊形，（3分）
，（4分）
又平面，平面，
平面.（5分）

（2），，又，，
，則，（6分）
又平面平面，平面平面，
平面，（7分）
，又，
所以，，兩兩互相垂直，
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，（8分）
（i）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，即，令，可得，，
，（10分）
又平面的一個(gè)法向量為，（11分）
，
所以二面角的余弦值為.（12分）
（ii）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，
設(shè)，，，
，（13分）
由（i）知平面的一個(gè)法向量為，
所以點(diǎn)到平面的距離為，（15分）
則，解得或，（16分）
又，所以，
即存在點(diǎn)到平面的距離為，且.（17分）
19．（17分）
已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P是C上異于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為，且.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知過點(diǎn)的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）.
（i）求m的取值范圍；
（ii）設(shè)直線AD與直線BE交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上.
【解析】（1）由題意可知，因?yàn)椋?（1分）
設(shè)，則，所以，（2分）
又，（3分）
所以.（4分）
所以雙曲線C的方程為.（5分）
（2）（i）由題意知直線l的方程為.（6分）
聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，（7分）
因?yàn)橹本€l與雙曲線左右兩支相交，所以，
即滿足：，（10分）
所以或；（11分）
（ii），（12分）
直線AD的方程為
直線BE的方程為.（13分）
聯(lián)立直線AD與BE的方程，得，（14分）
所以，
所以，
所以
.
所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)始終為1，故點(diǎn)Q在定直線上.（17分）

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