1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，空間四邊形中，，點在上，且滿足，點為的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
3．已知兩條直線，若與平行，則實數(shù)（ ）
A．B．3C．或3D．1或
4．如圖，在正方體中，，分別為棱和的中點，則和所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
5．與圓關于直線對稱的圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．在四棱錐中，底面，底面是正方形，.則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為（ ）
A．B．C．5D．10
8．已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（ ）
A．B．C．D．8
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知橢圓的左、右焦點分別是、，點為橢圓上一點且，則下列關于橢圓的結論正確的有（ ）
A．離心率為B．長軸長為8
C．的周長為18D．的面積為9
10．已知圓，直線，點P在直線l上運動，直線，分別切圓C于點A，B.則下列說法正確的是（ ）
A．四邊形的面積最小值為
B．M為圓C上一動點，則最小值為
C．最短時，弦直線方程為
D．最短時，弦長為
11．已知圓和圓.設為平面上的點，滿足：存在過點的無數(shù)對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，下列所有滿足條件的點的坐標有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．一動圓與圓：內切，且與圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程是 ．
13．在空間直角坐標系中，若一條直線經過點，且以向量為方向向量，則這條直線可以用方程來表示，已知直線的方程為，則點到直線的距離為 .
14．已知橢圓，點，，為其長軸上從左到右的3個四等分點，分別過這三點作斜率為的一組平行線，交橢圓于，，，，，，則6條直線，，，…的斜率乘積為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．的三個頂點是，，，求：
(1)邊上的高所在直線的方程；
(2)邊的垂直平分線的方程；
(3)外接圓的方程.
16．已知圓，直線.
(1)求證：直線恒過定點；
(2)直線被圓截得的弦何時最短？并求截得的弦長最短時的值以及最短弦長；
(3)在（2）的條件下，求以短弦長為直徑的圓的方程.
17．已知橢圓的上頂點為，兩個焦點為、，半焦距為，原點到經過，兩點的直線距離為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)過且垂直于的直線與橢圓交于，兩點，，求的周長.
18．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，D，E分別是線段，的中點，在平面ABC內的射影為.
(1)求證：平面BDE；
(2)若點F為棱的中點，求點到平面BDE的距離；
(3)若點F為線段上的動點（不包括端點），求平面FBD與平面BDE夾角的余弦值的取值范圍.
19．“曲線”：由半橢圓與半橢圓組成，其中，.如圖，設點是相應橢圓的焦點，和分別是“曲線”與軸的交點，為線段的中點.
(1)若等邊三角形的重心坐標為，求“曲線”的方程；
(2)設是“曲線”的半橢圓上任意的一點.求證：當取得最小值時，在點或處；
(3)作垂直于軸的直線與“曲線”交于兩點，求線段中點的軌跡方程.
答案
1．【正確答案】D
【詳解】由直線得其斜率為，
設直線的傾斜角為（），則，
所以，所以直線的傾斜角為，
故選：D
2．【正確答案】B
【詳解】由題意
，
又，
.
故選：B
3．【正確答案】A
【詳解】直線平行，則，
所以.
故選：A
4．【正確答案】B
【詳解】分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖，設正方體棱長為2，
則，，，，
，
，
所以和所成角的余弦值為，
故選：B．

5．【正確答案】C
【詳解】解：設圓心關于直線對稱的點的坐標為，
所以，解得，故對稱圓的圓心為，對稱圓的半徑和原來的圓一樣，
故對稱圓的方程為；
故選：C．
6．【正確答案】A
【詳解】在四棱錐中，平面，且四邊形為正方形，
以為坐標原點，分別以AB，AD，為，，軸， 建立如圖所示空間直角坐標系.

則B1,0,0，D0,1,0，P0,0,1，C1,1,0，
從而，PD=0,1,?1，，
設平面的法向量為n=x,y,z，則，令，則，
設直線與平面所成的角為，則.
故選：A
7．【正確答案】C
【詳解】直線過定點，直線，即過定點，
又，即直線與直線垂直，
因此，則，
當且僅當時取等號，所以的最大值為5.
故選：C
8．【正確答案】B
【詳解】由球的表面積為，得，球半徑，
以正四面體的棱為正方體的面對角線，將該正四面體放到正方體中，則正方體的內切球即與正四面體的六條棱均相切，
正方體的棱長為，所以此四面體的體積為.
故選：B
9．【正確答案】ACD
【詳解】由橢圓方程可知：，所以，
所以：離心率，所以選項A正確；
長軸，所以選項B錯誤；
由橢圓的定義可知：，
所以的周長為，所以選項C正確；
設，所以，因為，
所以由勾股定理可得：，即：，
化簡得：，
解之得：或，即：或，
所以的面積為： ，故選項D正確.
故選：ACD.
10．【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)已知，結合圖形，利用直角三角形、圓的性質、直線方程以及點到直線的距離公式、勾股定理計算求解.
【詳解】對于A，由切線長定理可得，又因為，所以，
所以四邊形的面積，
因為，當時，取最小值，且，
所以四邊形的面積的最小值為，故A正確；
對于B，因為，所以最小值為，故B錯誤；
對于C，由題意可知點，，在以為直徑的圓上，設，
其圓的方程為：，
化簡為，與方程相減可得：，
則直線的方程為，當最短時，，則，
解得，故直線的方程為，故C正確；
對于D，當最短時，圓心C到直線的距離，
所以弦長為，故D正確.
故選：ACD.

難點點睛：解答本題的難點在于C的判斷，解答時要注意結合圓的公共弦方程的求解，求出直線AB方程，然后利用垂徑定理求出弦長.
11．【正確答案】AB
【詳解】設點坐標為，
由存在過點P的無數(shù)對互相垂直的直線和，得一定有無數(shù)對直線和的斜率存在，
設直線的方程分別為，
即：，
由直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，又兩圓半徑相等，
得圓心到直線與圓心到直線的距離相等，，
化簡得，或，
關于的方程有無窮多解，則或，解得或，
所以點坐標為或.
故選：AB
12．【正確答案】
由圓與圓的位置關系可得，再由橢圓的定義即可得解.
【詳解】由題意，圓：的圓心為，半徑為，
圓：的圓心為，半徑為，
設動圓的圓心，半徑為，
動圓與圓：內切，與圓：外切，
所以，，
所以，
所以的軌跡是以原點為中心，焦點在軸上的橢圓，且，，
所以，
橢圓的方程為.
故．
13．【正確答案】
【分析】由題設直線經過點，且為一個方向向量，易得，應用點線距離的向量求法求點到直線的距離.
【詳解】由題設，直線為，經過點，且為一個方向向量，
所以，故到直線的距離為.
故2
14．【正確答案】
【詳解】不妨設左右頂點的坐標分別為，
，，為其長軸上從左到右的3個四等分點，故與原點重合，
設橢圓上任意一點坐標為Px0,y0，且Px0,y0不與重合，即，
則，所以，
則，
由對稱性可知，，故，
同理可得，
所以6條直線，，，…的斜率乘積為.
故答案為.
15．【正確答案】(1)；
(2)；
(3).
【詳解】（1）直線的斜率，
所以邊上的高所在直線的方程，即.
（2）直線的斜率，線段的中點，
所以邊的垂直平分線的方程為，即.
（3）線段的中點，則邊的垂直平分線的方程為，即，
由，解得，因此外接圓的圓心為，半徑，
所以外接圓的方程為.
16．【正確答案】(1)證明見解析；
(2)當?shù)姆匠虨闀r最短；，最短弦長為；
(3)
【詳解】（1）直線的方程可化為，由，解得，
所以直線恒過定點.
（2）圓的圓心，半徑，
令點，當直線時，直線被圓截得的弦長最短，
直線的斜率為，由得直線的斜率為，解得
此時的方程為，即，
圓心到直線的距離為，最短弦長為
所以當?shù)姆匠虨闀r最短；，最短弦長為.
（3）由（2）知，以短弦長為直徑的圓的圓心為，半徑為，
所以以短弦長為直徑的圓的方程.
17．【正確答案】(1)；
(2)13.
【詳解】（1）依題意，不妨令，，則，又是直角三角形，
于是，解得，
所以橢圓的離心率.
（2）由（1）知，，，橢圓的方程為，
如圖所示，，，即為正三角形，
又過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，則為線段的垂直平分線，
直線的斜率為，直線的方程：，
由消去并整理得：，
，，
解得，得，由垂直平分線段，得，
因此的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為
.
18．【正確答案】(1)證明過程見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）連接，因為在平面ABC內的射影為，
所以⊥平面，
因為平面，所以⊥，⊥，
因為為邊長為2的等邊三角形，D是線段的中點，
所以⊥，
因為，平面，
所以⊥平面，
因為平面，所以⊥，
因為，四邊形為平行四邊形，
所以平行四邊形為菱形，故⊥，
因為D，E分別是線段，的中點，所以，
故⊥，
因為，平面，
所以⊥平面；
（2）由（1）知，兩兩垂直，
以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
因為⊥，D是線段的中點，
所以由三線合一可得，
又，故為等邊三角形，
，
由（1）知，⊥平面；故平面的一個法向量為，
點到平面BDE的距離；
（3）點F為線段上的動點（不包括端點），設，
，則，故，故，
設平面的法向量為，
則，
解得，令，則，故，
又平面的一個法向量為，
故，
令，
則，
因為，故，
，
平面FBD與平面BDE夾角的余弦值取值范圍是.
19．【正確答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1）解：因為等邊的重心坐標為，
.
在半橢圓中，
由，
，
解得，
因此“曲線”的方程為.
（2）證明：設Px,y，則，.
，開口向下，
對稱軸為：，
當或時，
取得最小值時，即在點或處.
（3）由題可知，直線的斜率，則設直線，
設在上，
當時，.
設在半橢圓上，
當時，.
的中點為,
即線段中點的軌跡方程為.

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