2023屆內蒙古包頭市高三二模數學（文）試題 一、單選題1．若，則（    ）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】由題設即可求結果.【詳解】由.故選：B2．設集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據一元二次不等式化簡集合,即可由集合的交運算求解.【詳解】由得，所以，故選：C3．已知為拋物線上第一象限的一點，以點B為圓心且半徑為12的圓經過C的焦點F，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據拋物線的方程結合拋物線的定義列式求解.【詳解】由題意可得：拋物線的焦點坐標，準線，則，解得.故選：D.4．正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體．若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個正八面體，已知該正八面體的體積為36，則生成它的正方體的棱長為（    ）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】設正方體的棱長為，由條件結合錐體體積公式列方程求解即可.【詳解】設正方體棱長為，可得正八面體是由兩個四棱錐構成，四棱錐的底面為邊長為的正方形，高為，則正八面體體積為，解得，∴.故選：B.5．設，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對數的性質可得：，，，即可得出答案.【詳解】，，，故.故選：C.6．函數的圖象在點處的切線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導數的幾何意義求切線方程即可.【詳解】由，則，而，所以點處的切線方程為，即.故選：A7．已知，且，則＝（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二倍角余弦公式、因式分解可得，結合角的范圍求值即可.【詳解】由，所以或，又，故.故選：B8．若函數在的大致圖象如下圖，則（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據圖象結合最小正周期和零點求，進而可求結果.【詳解】設函數的最小正周期為，由圖象可得：，即，可得，解得，則，所以.故選：A.9．若是奇函數，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據奇函數的定義結合對數運算求解即可.【詳解】由題意得，解得，則的定義域為，又為奇函數，所以，可得，當時，，其定義域為，，所以是奇函數，故.故選：A.10．小王家訂了一份報紙，送報人可能在早上之間把報送到小王家，小王離開家去工作的時間在早上之間．用A表示事件：“小王在離開家前能得到報紙”，設送報人到達的時間為x，小王離開家的時間為y，看成平面中的點，則用幾何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出圖形，利用面積比求解即可.【詳解】根據題意作出圖形如圖所示，基本事件位于矩形內及邊界，事件發(fā)生，則，即事件A應位于五邊形BCDEF內及邊界，則.故選：A.11．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長的棱的長度為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三視圖還原幾何體，注意線面垂直關系，進而求其它各棱長，即可得答案.【詳解】由三視圖，幾何體如下圖示，且面，而面，故，所以，顯然為最長棱.故選：C12．已知A，B，C為球O的球面上的三個點，為△ABC的外接圓，若的面積為12π，，則當△ABC的面積最大時，球O的表面積為（    ）A．84π B．96π C．180π D．192π【答案】D【分析】求得的半徑，根據正弦定理得出，，然后代入整理得出的面積，設，，求導得出函數的最大值，進而得出，根據勾股定理求出球的半徑，即可得出答案.【詳解】設的半徑為，球的半徑為，則，所以.由正弦定理可得，，，因為，所以，所以，設，，則，因為，由可得，，由可得，，因為，所以，所以，所以，所以，在上單調遞增；由可得，，由，可知，所以，所以，在上單調遞減.所以，當時，取得唯一極大值，也是最大值，此時，為等邊三角形，且，所以，，由圖象可得，在中，有，，所以，，即，所以，球的表面積為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：利用導數求出函數，的最值是解決本題的關鍵. 二、填空題13．若x，y滿足約束條件則的最小值為______．【答案】1【分析】畫出可行域，根據最小的幾何意義判斷取最小值時所過的點，即可得結果.【詳解】由題設可得如下可行域，要使最小，即直線上下平移過程中，與可行域有交點情況下截距最小，所以，當過與的交點時有最小值，故.故答案為：114．已知，，與的夾角為θ，且，則θ＝______．【答案】/【分析】利用向量數量積的運算律可得，結合已知模長及數量積定義求夾角即可.【詳解】由，即，所以，又，則.故答案為：15．已知圓C經過點和點，且圓心在直線上，則圓C的標準方程為__________．【答案】【分析】求出線段AB的中垂線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心坐標，根據兩點間距離公式求出半徑，可得圓的方程．【詳解】因為，，所以直線的斜率為，線段中點為，所以中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得，所以圓心的坐標為.根據兩點間的距離公式，得半徑，因此，所求的圓的方程為.故答案為：.16．雙曲線C：（，）的兩個焦點為，，以C的虛軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的漸近線交于點H，若的面積為，則C的離心率為______．【答案】【分析】根據相切關系可得直線的斜率，進而得方程為，聯(lián)立兩直線方程得交點坐標，即可由面積公式得的關系，由齊次式即可求解離心率.【詳解】設直線與圓相切于,由題意可知,，所以 ，所以,所以直線方程為，聯(lián)立和得 ，故 因此，故，因此，故 ，故答案為： 三、解答題17．已知等差數列的前n項和為，等比數列的前n項和為，，，．(1)若，且等比數列的公比大于0，求和的通項公式；(2)若，求．【答案】(1)，(2)或 【分析】（1）設的公差為d，的公比為q，根據已知寫出的表達式.然后列出方程組，求解即可得出的值，代入即可得出答案；（2）檢驗可得不滿足題意.根據等比數列前項和公式可得，解得，或.分別求出的值，得出，然后根據等差數列前項和公式計算即可得出答案.【詳解】（1）設的公差為d，的公比為q，，則，．聯(lián)立，即，因為，解得，                 所以，.（2）設的公差為d，的公比為q.當時，，不滿足題意，所以.所以，，整理可得，解得，或.           當時，，由，得，所以，故 ；當時，，由，得，所以，故 .18．某學校為了解高三學生的學習成績變化情況，隨機調查了100名學生，得到這些學生一輪復習結束相對于高二期末學習成績增長率的頻數分布表.的分組學生數16243012108（1）估計這個學校的高三學生中，學習成績增長率不低于的學生比例；（2）求這個學校的高三學生學習成績增長率的平均數與標準差的估計值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）（精確到）附：.【答案】（1）；（2）0.25；0.146.【分析】（1）根據題意得學習成績增長率不低于的學生有人，進而根據頻率估計即可；（2）根據頻率分布估計平均數和方差即可.【詳解】（1）根據學習成績增長率頻數分布表得，所調查的名學生中，學習成績增長率不低于的學生有人，所以學習成績增長率不低于的學生頻率為，用樣本頻率分布估計總體分布得這個學校高三學生成績增長率不低于的學生比例為（2）.19．如圖，四棱錐S—ABCD中，側面底面ABCD，，，，，E，F分別是SC和AB的中點，．(1)證明：平面SAD；(2)點P在棱SA上，當時，求四棱錐P—AFCD的體積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）設M為SD的中點，證明，根據線面平行判定定理證明結論；（2）首先證△為等腰直角三角形，若為中點，連接，易知，，應用面面垂直性質得面ABCD，進而有，易得，再證△△判斷為中點，最后應用棱錐體積公式求體積.【詳解】（1）設M為SD的中點，連接ME，MA，因為ME是的中位線，所以，又且，所以底面ABCD為平行四邊形，所以，又且，故且，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.（2）由，，即，故，所以△為等腰直角三角形，若為中點，連接，所以，，又，，即△為等邊三角形，所以，因為面面ABCD，面底面ABCD，，面，所以面ABCD，面ABCD，故，在△中，，即，若為中點，則，故，在△中，，則，又，P在棱SA上，且，易知：△△，所以，又，由（1）M為SD的中點，故為中點，所以到面距離等于到面距離的一半，又面ABCD，即，由，則四棱錐P—AFCD的體積.20．設函數．(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若f（x）有兩個極值點，，求a的取值范圍．【答案】(1)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為(2) 【分析】（1）運用導數研究函數的單調性.（2）將問題轉化為，是的兩個不同的根，分離參數研究與有兩個不同的交點，運用導數研究的圖象進而求得a的范圍.【詳解】（1）∵，∴，當時，∴，定義域為R，則，∴，，∴的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）∵有兩個極值點，（），∴，是的兩個不同的根.即：，是的兩個不同的根.∴令，則，是與的兩個不同的交點.∴，∴，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，又∵，，當時，；當時，，∴圖象如圖所示，所以，所以，即：a的取值范圍為.21．已知定點，及動點，點R是直線MQ上的動點，且．(1)求點R的軌跡C的方程；(2)過點的直線與曲線C交于點A，B，試探究：的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，最大值為 【分析】（1）設點的坐標為，由條件列關系式求軌跡方程；（2）設直線AB的方程為，聯(lián)立方程組結合設而不求法求的面積，利用導數求其最大值.【詳解】（1）設點的坐標為，由已知，，，因為點R是直線MQ上，所以，因為，所以，即， 所以化簡得，．因為，所以，故點R的軌跡C的方程為．（2）過點的斜率為的直線與曲線沒交點，不滿足要求，故設直線AB的方程為，由，消去x并整理，得，方程的判別式，設，則，                  所以，的面積，  設，則，設，則，在是增函數，              故，即，有，因此，當，即時，S存在最大值為．【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22．在直角坐標系中，曲線C的參數方程為（t為參數）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．(1)寫出C的普通方程；(2)若A，B是C上異于坐標原點O的兩動點，且，，并與線段AB相交于點P，求點P軌跡的極坐標方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）消參求普通方程；（2）設，根據得，再根據得 ，進而可得，再由A，P，B三點共線，可得，整理可得，進而可求解.【詳解】（1）由C的參數方程消去參數t，得C的普通方程為．（2）根據（1），設，（，且），則，因為，所以，得，       又，因為，所以，即，      因為A，P，B三點共線，所以，即，整理得，把和，代入上式，得，故點P軌跡的極坐標方程為．23．已知函數．(1)畫出和的圖象；(2)若，求a的值．【答案】(1)圖象見解析(2)6 【分析】（1）利用分段函數的性質作圖；（2）利用絕對值不等式的解法結合函數圖象求解.【詳解】（1）由已知得，，  和的圖象如圖所示．（2）的圖象是由函數的圖象向左平移a（）個單位長度，或向右平移（）個單位長度得到的，根據圖象，可知把函數的圖象向右平移不符合題意，只能向左平移．              當向左平移使的圖象的右支經過的圖象上的點時為臨界狀態(tài)，如圖所示，此時的圖象的右支對應的函數解析式為，的圖象的左支與的圖象的一部分重合，代入點的坐標，則，解得．因為，所以，故a的值為6． 

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