1. 若集合，則集合的子集的個數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
2. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則＝（ ）
A. B. 9C. D.
3. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
4. 無字證明即無需語言的證明（prf withut wrds），本質(zhì)上是一種數(shù)學語言，形式上是隱含數(shù)學命題或定理的證明的圖象或圖形，可能包含數(shù)學符號、記號、方程，但不附帶文字．如圖，C為線段AB上的點，且，，O為AB的中點，以AB為直徑做半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D．連結OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．則下面可由進行無字證明的不等式為（ ）

A. B.
C. D.
5. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上有單調(diào)性，且，則下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 使不等式成立的一個充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
7. 若二次函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對任意， ，都有，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、多選題
9. 下列選項正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若且，則
D. 若，則
10. 已知不等式的解集是，則（ ）
A. B.
C. D.
11. 定義，設，則（ ）
A. 有最大值，無最小值
B. 當?shù)淖畲笾禐?br>C. 不等式的解集為
D. 的單調(diào)遞增區(qū)間為
三、填空題
12. 若關于x不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)m的最小值是__________.
13. 已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式____
14. 已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域都是，且它們在上的圖象如圖所示，則不等式的解集是_______．
四、解答題
15. 已知全集，已知函數(shù)定義域為集合，.
（1）當時，求；
（2）已知：①“”是“”的充分條件；②“”是“”的必要不充分條件；
從這兩個條件中任選一個，補充到橫線處，若 ，求實數(shù)的取值范圍.
16. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）寫出函數(shù)的增區(qū)間（不需要證明）；
（3）若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.
17. 通過前面一個月的學習，大家認識了一個朋友：基本不等式.即當時有（當且僅當時不等式取“＝”）.我們稱為正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，為它們的幾何平均數(shù)，兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù).這只是均值不等式的一個簡化版本.均值不等式的歷史可以追溯到19世紀，由Chebycheff在1882年發(fā)表的論文中首次提出.均值不等式，也稱為平均值不等式或平均不等式，是數(shù)學中的一個重要公式.它的基本形式包括調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術平均數(shù)和平方平均數(shù)之間的關系.它表明：個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，且當這些數(shù)全部相等時，算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)相等.
（1）寫出時算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關系，并寫出取等號的條件（無需證明）；
（2）利用你寫出的式子，求的最小值；
（3）如圖，把一塊長為6的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再將它的邊沿虛線折轉(zhuǎn)做成一個無蓋的方底盒子.問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？
18. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
（1）求，的值；
（2）判斷在上單調(diào)性，并用定義證明；
（3）設，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
19. 2023年10月20日，國務院新聞辦舉辦了2023年三季度工業(yè)和信息化發(fā)展情況新聞發(fā)布會工業(yè)和信息化部表示，2023年前三季度，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展保持強勁的發(fā)展勢頭．在這個重要的乘用車型升級時期，某公司科研人員努力攻克了動力電池單體能量密度達到300Wh/kg的關鍵技術，在技術水平上使得純電動乘用車平均續(xù)駛里程超過460公里．該公司通過市場分析得出，每生產(chǎn)1千塊動力電池，將收入萬元，且該公司每年最多生產(chǎn)1萬塊此種動力電池，預計2024年全年成本總投入2.5x萬元，全年利潤為Fx萬元．由市場調(diào)研知，該種動力電池供不應求．（利潤＝收入－成本總投入）
（1）求函數(shù)Fx的解析式；
（2）當2024年動力電池產(chǎn)量為多少塊時，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？
2024-2025學年內(nèi)蒙古赤峰市高一上學期期中考試數(shù)學質(zhì)量檢測試卷
一、單選題
1. 若集合，則集合的子集的個數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
【正確答案】C
【分析】先將集合A化簡，再判斷得解.
【詳解】，
所以集合A的子集的個數(shù)為4．
故選：C.
2. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則＝（ ）
A. B. 9C. D.
【正確答案】D
【分析】求出冪函數(shù)的解析式，再代入求值.
【詳解】設，由的圖象經(jīng)過點，得，解得，即，
所以.
故選：D
3. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域，以及指定范圍內(nèi)函數(shù)值正負排除部分選項后，即可選出正確選項.
【詳解】由函數(shù)定義域相關知識可知分母不為零，則，即，
即fx的定義域為，可排除A；
當時，，可排除CD．
故選.
4. 無字證明即無需語言的證明（prf withut wrds），本質(zhì)上是一種數(shù)學語言，形式上是隱含數(shù)學命題或定理的證明的圖象或圖形，可能包含數(shù)學符號、記號、方程，但不附帶文字．如圖，C為線段AB上的點，且，，O為AB的中點，以AB為直徑做半圓．過點C作AB的垂線交半圓于D．連結OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E．則下面可由進行無字證明的不等式為（ ）

A. B.
C. D.
【正確答案】A
分析】利用射影定理求得，結合整理得出正確答案.
【詳解】由于是圓的直徑，所以，圓的半徑為，
而，由射影定理得.
在直角三角形中，，
由射影定理得，
由，所以.
故選：A
這道題的設計較為經(jīng)典，結合了幾何和代數(shù)的知識點，對考生的基礎知識要求較高,有助于考查學生的綜合能力.題目的解題過程按照邏輯順序展開，先利用射影定理，再結合圓和直角三角形的性質(zhì)，這樣的分析過程符合數(shù)學解題的思路.
5. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上有單調(diào)性，且，則下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義和性質(zhì)可得且在上有單調(diào)性，所以在上單調(diào)遞增，再逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.
【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，
由可得，
因為在上有單調(diào)性，所以在上有單調(diào)性，
因為，所以在上單調(diào)遞增，
對于A：，故選項A不正確；
對于B：，故選項B正確；
對于C：，故選項C不正確；
對于D：，，，
所以，故選項D不正確；
故選：B.
6. 使不等式成立的一個充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】先求出不等式的等價條件，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義，由集合法求解.
【詳解】因為，
所以，
解得
若使不等式成立的一個充分不必要條件，
則x的范圍是的一個真子集，
故選：A
7. 若二次函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意，由求解.
【詳解】解：因為二次函數(shù)在上為減函數(shù)，
所以，解得，
所以的取值范圍為，
故選：D
8. 已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對任意， ，都有，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關于對稱且在2,+∞上為減函數(shù)，則不等式等價于，解得的取值范圍，即可得答案.
【詳解】解:因為函數(shù)為偶函數(shù)，
所以函數(shù)的圖象關于對稱，
因為對任意， ，都有，
所以函數(shù)在2,+∞上為減函數(shù)，
則，
解得.
即實數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.
二、多選題
9. 下列選項正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若且，則
D. 若，則
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)時不成立說明選項A錯誤，利用不等式的性質(zhì)判斷選項B，結合題目條件和作差法判斷選項C和D.
【詳解】A.當時，，故選項A錯誤.
B. ∵，，∴，
∵，，∴，∴.故選項B正確.
C. ∵，∴，∵，∴，
∴.故選項C正確.
D. ∵，
∴,
∴.故選項D錯誤.
故選：BC.
10. 已知不等式的解集是，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)題意，得到和是方程的兩個實數(shù)根，且，結合韋達定理，可得判定A正確，C正確，D正確，再令，可得判定B正確.
【詳解】由不等式的解集是，
可得和是方程的兩個實數(shù)根，且，
則，可得，所以A錯誤，C正確；
由，可得，所以D正確；
又由，令，可得，所以B正確.
故選：BCD.
11. 定義，設，則（ ）
A. 有最大值，無最小值
B. 當?shù)淖畲笾禐?br>C. 不等式的解集為
D. 的單調(diào)遞增區(qū)間為
【正確答案】BC
【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象逐項判斷即可.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖實線部分，
對于A，根據(jù)圖象，可得無最大值，無最小值，故A錯誤；
對于B，根據(jù)圖象得，當時，的最大值為，故B正確；
對于C，由，解得，結合圖象，得不等式的解集為，
故C正確；
對于D，由圖象得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D錯誤.
故選：BC.
三、填空題
12. 若關于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)m的最小值是__________.
【正確答案】
【分析】分離參數(shù)得，再設新函數(shù)，求出其最小值即可.
【詳解】因為關于不等式在區(qū)間上有解，
所以在區(qū)間上有解，
令，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則在區(qū)間上也單調(diào)遞減，
所以，
所以，則實數(shù)m的最小值是.
故答案為.
13. 已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式____
【正確答案】或
【分析】根據(jù)題意設設，進而利用待定系數(shù)法求解即可.
【詳解】解：設，
由題意可知，
所以，解得或，
所以或.
故或
14. 已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域都是，且它們在上的圖象如圖所示，則不等式的解集是_______．
【正確答案】
【分析】不等式轉(zhuǎn)化為或，再結合函數(shù)的性質(zhì)和圖象，即可求解.
【詳解】或，
得或，
解得：或，或，
所以不等式的解集為.
故
四、解答題
15. 已知全集，已知函數(shù)的定義域為集合，.
（1）當時，求；
（2）已知：①“”是“”的充分條件；②“”是“”的必要不充分條件；
從這兩個條件中任選一個，補充到橫線處，若 ，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）或x>5
（2）條件選擇見解析，
【分析】（1）求函數(shù)定義域得集合，解分式不等式得集合，然后由集合的運算法則計算；
（2）解含有參數(shù)的不等式得集合，選①得集合是集合的子集，根據(jù)包含關系得不等式組求解；選項②得集合是集合的真子集，根據(jù)包含關系得不等式組求解．
小問1詳解】
由題意，由得，，-
當時，， -
∵全集，
∴或，或，
∴或.
【小問2詳解】
由題意，，
∵對任意實數(shù)，都有，∴集合.
-
選①：因為“”是“”的充分條件，則集合是集合的子集，
所以，解得：，
因此，實數(shù)的取值范圍是；
選②：因為“”是“”的必要不充分條件，
所以集合是集合的真子集，
所以且等號不同時取得，解得：，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
16. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）寫出函數(shù)的增區(qū)間（不需要證明）；
（3）若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.
【正確答案】（1）
（2）和
（3）
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的解析式；
（2）由（1）直接可寫出函數(shù)的增區(qū)間；
（3）求出函數(shù)函數(shù)的對稱軸，在分別根據(jù)，，三種情況，結合二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最小值.
【小問1詳解】
解：設，則，
所以
又，
所以
又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以當時，；
所以；
【小問2詳解】
解：由（1）可知，函數(shù)的增區(qū)間和
【小問3詳解】
解：因為
所以
所以函數(shù)的對稱軸為；
當時，即時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，
所以；
當時，即時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)，
所以；
當時，即時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以；
綜上，
17. 通過前面一個月的學習，大家認識了一個朋友：基本不等式.即當時有（當且僅當時不等式取“＝”）.我們稱為正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，為它們的幾何平均數(shù)，兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù).這只是均值不等式的一個簡化版本.均值不等式的歷史可以追溯到19世紀，由Chebycheff在1882年發(fā)表的論文中首次提出.均值不等式，也稱為平均值不等式或平均不等式，是數(shù)學中的一個重要公式.它的基本形式包括調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術平均數(shù)和平方平均數(shù)之間的關系.它表明：個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，且當這些數(shù)全部相等時，算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)相等.
（1）寫出時算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間關系，并寫出取等號的條件（無需證明）；
（2）利用你寫出的式子，求的最小值；
（3）如圖，把一塊長為6的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再將它的邊沿虛線折轉(zhuǎn)做成一個無蓋的方底盒子.問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？
【正確答案】（1）答案見解析
（2）
（3）切去的正方形邊長為時，才能使盒子的容積最大，
【分析】（1）由題意得，當，，即可求解；
（2）由（1），當時，，即可求解；
（3）設小正方形的邊長為，得到盒子的容積為則，利用不等式，即可求解.
【小問1詳解】
解：由題意，當時，若，可得，
即算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關系為，當且僅當時，等號成立.
【小問2詳解】
解：由（1）中，當，可得，
可得時，，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以的最小值為.
【小問3詳解】
解：設小正方形的邊長為，則盒子高為，底邊邊長為，
可得盒子的容積為，其中，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以切去的正方形邊長為時，才能使盒子的容積最大，最大容積為.
18. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
（1）求，的值；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）設，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1），；
（2）單調(diào)遞增，證明見解析
（3）
【分析】（1）由題可得圖象過點結合可得，的值；
（2）由單調(diào)性證明步驟可證得結論；
（3）由題可得，后討論k結合單調(diào)性可得，即可得范圍.
【小問1詳解】
)因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，
則，解得，.所以函數(shù)，
經(jīng)檢驗，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，；
【小問2詳解】
在上單調(diào)遞增.
證明如下：設
則，
其中，，
所以，即，
故函數(shù)上單調(diào)遞增；
【小問3詳解】
因為對任意的，總存在，使得，所以，
因為在上單調(diào)遞增，所以，
當時，；所以恒成立，符合題意；
當時，在上單調(diào)遞增，則，
所以，解得；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，
所以，解得.，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
19. 2023年10月20日，國務院新聞辦舉辦了2023年三季度工業(yè)和信息化發(fā)展情況新聞發(fā)布會工業(yè)和信息化部表示，2023年前三季度，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展保持強勁的發(fā)展勢頭．在這個重要的乘用車型升級時期，某公司科研人員努力攻克了動力電池單體能量密度達到300Wh/kg的關鍵技術，在技術水平上使得純電動乘用車平均續(xù)駛里程超過460公里．該公司通過市場分析得出，每生產(chǎn)1千塊動力電池，將收入萬元，且該公司每年最多生產(chǎn)1萬塊此種動力電池，預計2024年全年成本總投入2.5x萬元，全年利潤為Fx萬元．由市場調(diào)研知，該種動力電池供不應求．（利潤＝收入－成本總投入）
（1）求函數(shù)Fx的解析式；
（2）當2024年動力電池的產(chǎn)量為多少塊時，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？
【正確答案】（1）
（2）當2024年動力電池的產(chǎn)量為7000塊時，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是207.5萬元．
【分析】（1）根據(jù)已知函數(shù)模型得出函數(shù)解析式；
（2）分別利用二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式求出分段函數(shù)兩段的最大值，然后比較可得．
【小問1詳解】
由題意得，
∵，
∴當時，，
當時，，
綜上所述，函數(shù)Fx的解析式為．
【小問2詳解】
由（1）得，
當時，，
∴Fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴；
當時，
，
當且僅當，即時，，
∵，
∴Fx的最大值為207.5，
故當2024年動力電池的產(chǎn)量為7000塊時，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是207.5萬元．

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