2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷
理科數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)寫在答題卡上，將條形碼粘貼在規(guī)定區(qū)域．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．
3．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題否定為全稱量詞命題即可得解.
【詳解】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，
所以命題“，”的否定是“，”.
故選：A
2. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.
【詳解】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：
拋物線的開口向左，焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，
且，所以，，
所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：C
3. 已知a，，則“”是方程“表示圓”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念判斷即可.
【詳解】由可化為，
當(dāng)時(shí)，，表示圓，
當(dāng)表示圓時(shí)，，推不出，
所以“”是方程“表示圓”的充分不必要條件，
故選：A
4. 長(zhǎng)方體中，分別為棱中點(diǎn)，則兩點(diǎn)的距離為（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】連接，利用兩次勾股定理求解.
【詳解】連接，
在中，，
在中，.
故選：D.

5. P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)M是線段PF的中點(diǎn)，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形中位線定理，先求出，然后再根據(jù)橢圓的定義，即可算出.
【詳解】設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，連接，
因?yàn)镸是線段PF的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闄E圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，
又由橢圓的定義，有，所以.
故選：C
6. 已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)兩圓相交求出公共弦所在直線方程，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解即可.
【詳解】由題意知，圓與圓相交，且公共弦所在直線方程為.
又圓的圓心為，半徑為，
所以圓心到直線的距離為，
由弦長(zhǎng)公式得.
故選：B.
7. 若實(shí)數(shù)m滿足，則曲線與曲線的（ ）
A. 離心率相等B. 焦距相等C. 實(shí)軸長(zhǎng)相等D. 虛軸長(zhǎng)相等
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一分析判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以曲線與曲線都是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，
，
所以兩曲線的焦點(diǎn)和焦距都相同，故B正確；
因?yàn)椋噪x心率不相等，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)椋詫?shí)軸長(zhǎng)不相等，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以虛軸長(zhǎng)不相等，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
8. 已知點(diǎn)滿足方程，點(diǎn)．若斜率為斜率為，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)題意分析可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，結(jié)合橢圓方程運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)，
則，可得，
即點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，且，
所以點(diǎn)的軌跡為，整理得，
由題意可知：，
所以.
故選：A.
9. 如圖，平行六面體所有棱長(zhǎng)都為1，底面為正方形，．則對(duì)角線的長(zhǎng)度為（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基底法求解即可.
【詳解】由題知，
所以，
所以，即.
故選：B.
10. 、是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，、是左、右焦點(diǎn)．若，則四邊形的面積是（ ）
A. B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】判斷四邊形為矩形，設(shè)，，可得，結(jié)合雙曲線定義可得，化簡(jiǎn)得，即可求得四邊形的面積．
【詳解】解：由可知，，所以，
因?yàn)?，是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，
設(shè)，，由雙曲線的定義可得，
所以，
又因?yàn)?，所以，所以?br>所以四邊形的面積．
故選：D．
11. 已知命題：橢圓的離心率為，若，則；命題：雙曲線的兩條漸近線的夾角為，使．下列命題正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的離心率判斷命題的真假性，根據(jù)雙曲線的漸近線判斷命題的真假性，進(jìn)而根據(jù)邏輯連接詞逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)于命題：若，可知：，所以命題為假命題；
對(duì)于命題：雙曲線的漸近線為，若，則，所以命題為真命題；
可知： ，，為假命題， 為真命題，
所以A、B、D錯(cuò)誤，C正確,
故選：C.
12. 已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點(diǎn)四點(diǎn)．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析可知：的中點(diǎn)即為弦的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)直線：，可得，
設(shè)的中點(diǎn)為，連接OM，則，，
因?yàn)?，則，即為弦的中點(diǎn)，
設(shè)，則，
因?yàn)椋?br>可得，兩式相減得，
整理得，可得，
即，可得，
所以橢圓的離心率為.
故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 拋物線上一點(diǎn)M到x軸的距離為6，則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為______．
【答案】10
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的概念求解即可.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)M到x軸的距離為6，
所以，則，
所以點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為.
故答案為：
14. 在平面直角坐標(biāo)系中，過作圓O：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可知四點(diǎn)共圓，且為直徑，求出圓的方程，兩圓方程相減即可得公共弦所在直線方程.
【詳解】由切線的性質(zhì)可知，，
故四點(diǎn)共圓，且為直徑，
由中點(diǎn)為，,
所以在圓上，
即，
兩圓方程相減可得，公共弦的方程為.
故答案為：
15. 設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第二象限．若為等腰三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)方程求，由題意分析可得，列方程求解即可.
【詳解】由題意可知：，
設(shè)，
因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)且在第二象限，則，，
又因?yàn)闉榈妊切危?，則，
即，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：,
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，．以下各曲線中，存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得且的曲線有________．（請(qǐng)將所有符合要求的曲線方程序號(hào)寫在橫線上）
①；②；③；④．
【答案】①③
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知：曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，對(duì)于①：利用直線過點(diǎn)，分析判斷；對(duì)于②：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系分析判斷；對(duì)于③：聯(lián)立方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而分析判斷；對(duì)于④：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.
【詳解】因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，斜率，
所以中垂線的斜率，方程為，即，
由題意可知：曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
對(duì)于①：直線過點(diǎn)，且在曲線內(nèi)，
所以曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故①正確；
對(duì)于②：曲線的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離，
所以曲線與直線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：聯(lián)立方程，解得或，
所以曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故③正確；
對(duì)于④：令，解得，
即為的漸近線，兩者沒有交點(diǎn)，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①③.
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 已知圓C過，，且圓心C在直線l：上．經(jīng)過點(diǎn)的直線m交圓C于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，求直線m的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由圓心在直線的垂直平分線與直線l：上求得，從而求得圓的半徑，進(jìn)而得解；
（2）根據(jù)題意求得圓心C到直線m的距離為，分類討論直線m的斜率存在與否兩種情況，結(jié)合點(diǎn)線距離公式求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以直線AB的垂直平分線的斜率為，其方程為，即，
聯(lián)立，解得，則，
又圓C半徑，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以在中，，則圓心C到直線m的距離為，
當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m方程為，此時(shí)C到直線m距離為2，滿足題意；
當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為，即，
所以，解得，
所以直線m的方程為，即，
綜上可得，直線m方程為或．
18. 拋物線的準(zhǔn)線被圓截得的弦長(zhǎng)為．
（1）求的值；
（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過原點(diǎn)．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合垂徑定理可得到準(zhǔn)線距離為，進(jìn)而可得拋物線的方程；
（2）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理證明即可.
【小問1詳解】
圓，即，圓心，半徑為2，
則到準(zhǔn)線距離為，所以準(zhǔn)線方程為，可得，
所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問2詳解】
設(shè)直線方程為，
聯(lián)立方程，消去x得，
則，可得，
又因?yàn)椋?br>則，
可得，即以線段為直徑的圓過點(diǎn)．

19. 如圖1、2，已知圓方程為，點(diǎn)．M是圓上動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）記點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)是否存在一條直線，使得直線與曲線交于兩點(diǎn)，且是線段中點(diǎn)．
【答案】（1）
（2）不存在這樣的直線
【解析】
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求得點(diǎn)的軌跡方程.
（2）利用點(diǎn)差法求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和點(diǎn)的軌跡方程聯(lián)立，根據(jù)方程組無解求得正確答案.
【小問1詳解】
由中垂線性質(zhì)知，
所以
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線
設(shè)此雙曲線方程為，則
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
【小問2詳解】
設(shè)可得
兩式相減得
由題意，所以
直線方程為，
由，得
∵．∴不存在這樣直線．
20. 如圖，已知四棱錐中，是正方形，平面，點(diǎn)分別是棱、對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（不是端點(diǎn)），滿足．

（1）證明：∥平面；
（2）求距離的最小值，并求此時(shí)二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）最小值為2；正弦值為
【解析】
【分析】（1）作交于，作交于，根據(jù)題意結(jié)合平行線的性質(zhì)可證，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）建系，利用空間向量可知當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，取到最小值，進(jìn)而利用空間向量求二面角.
【小問1詳解】
作交于，則，可得，
作交于，連接，則，可得，
在直角三角形和中，因?yàn)椋?br>所以．則，
且，可得，
因?yàn)?，則，所以四邊形是平行四邊形，
可得，且平面平面，
所以∥平面．
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫媸钦叫危砸詾樵c(diǎn)，

分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
可得，當(dāng)，即是中點(diǎn)時(shí)，的最小值為2，
此時(shí)，可得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
令，則，可得，
平面的一個(gè)法向量，
所以，
設(shè)二面角平面角為，可知為銳角，，
所以，即二面角的正弦值為．
21. 已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，離心率為．斜率為的直線（不過原點(diǎn)）交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線過時(shí)，周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)斜率分別為，且依次成等比數(shù)列，求值，并求當(dāng)面積為時(shí)，直線的方程．
【答案】（1）；
（2）；或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的周長(zhǎng)為求出，再根據(jù)離心率求出，從而求出橢圓方程.
（2）設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理表示出依次成等比數(shù)列，進(jìn)而求出的值；再利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式表示出的面積，求解即可得到的值，從而得到直線的方程.
【小問1詳解】
由題意，，解得，所以.
故橢圓的方程為．
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立得，，
且，
所以．
由題意，，故.
.
此時(shí)，，
.
又點(diǎn)O到直線的距離，故三角形的面積,
解得或，
所以直線l方程為或.

（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答．并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)誤、漏涂均不給分，如果多做、則按所做的第一題計(jì)分．
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線C與x軸交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；
（2）直線l與曲線C有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，令即可得解；
（2）化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立直線與曲線普通方程，利用判別式求解.
【小問1詳解】
，得
所以曲線C與x軸交點(diǎn)得坐標(biāo)為；
【小問2詳解】
，
得，即為直線l的方程，
曲線C的普通方程為，
方程與聯(lián)立得，
得．
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知x、y、z均為正實(shí)數(shù)，且．
（1）求的最大值；
（2）若，證明：．
【答案】（1）3 （2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）因?yàn)椋每挛鞑坏仁郊纯汕蟮米畲笾担?br>（2）由（1）結(jié)合已知條件可得，則有，再利用基本不等式即可求證.
【小問1詳解】
因?yàn)椋裕?br>又x、y、z均正實(shí)數(shù)，
由柯西不等式有，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，
即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為3.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?，，?br>由（1）得，
即，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)椋?，即?br>

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