專(zhuān)題21.橢圓的焦點(diǎn)三角形初探一．學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握橢圓的焦點(diǎn)三角形及常見(jiàn)結(jié)論.二．概念梳理: 焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論：橢圓定義可知：中，（1）. .（2）. 焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為（3）..（4）. 焦點(diǎn)三角形的面積為：.①設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大.②．S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取得最大值，最大值為bc；（5）. 假設(shè)焦點(diǎn)的內(nèi)切圓半徑為，則.（6）.焦半徑公式:設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，那么，，進(jìn)一步，有推導(dǎo)：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式:，由于代入兩點(diǎn)間距離公式可得，整理化簡(jiǎn)即可得. 同理可證得.（7）.設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，那么，由于,故我們有（8）若約定橢圓，分別為左、右焦點(diǎn)；頂點(diǎn)在第一象限；，則對(duì)于橢圓，離心率（9） 若，對(duì)橢圓有，若，對(duì)于橢圓，有， 若，對(duì)橢圓，有.（10） 對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心的軌跡方程為.三．典例分析例1．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為，則（    ）A．9 B．3 C．4 D．8解析：由焦點(diǎn)三角形面積公式得，故選：B例2．已知橢圓，其左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若的內(nèi)切圓的面積為，則該橢圓的方程為（    ）A． B． C． D．解析：所以，而，所以可得，解得，，由，得，所以該橢圓的方程為．故選：A． 例3．已知是橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是E上的一點(diǎn)，若，且，則E的離心率為（    ）A． B． C． D．解析：又，所以，即，故E的離心率為.故選：C.例4.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓C上不與A、B重合的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.解析：如圖，由題意，，設(shè)，，由橢圓定義，，在中，由余弦定理，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)P為橢圓的短軸端點(diǎn)，所以的最小值為.                 例4圖                             例5圖例5.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使，則橢圓C的離心率的取值范圍是______.解析：橢圓C上存在點(diǎn)P，使等價(jià)于最大張角大于等于60°，如圖，，即，又，所以.  例6.已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A． B． C． D．解：如圖所示：設(shè)，由，代入焦半徑公式到可得：.再由 .結(jié)合（1），（2）式可得，，故，，這樣在三角形與三角形中分別使用余弦定理可得:.小結(jié)：通過(guò)坐標(biāo)表示出焦半徑的關(guān)系，進(jìn)而解出橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.例7.設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為_(kāi)__________.解：由已知可得，．∴．由焦半徑公式可知設(shè)，由焦半徑公式可知再代入橢圓方程可解得的坐標(biāo)為．例8．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為(    )A． B． C． D．解析：∵是的中點(diǎn)，G是的重心，∴三點(diǎn)共線(xiàn)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則由平行于軸知，，則,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則，∴橢圓的離心率為．故選：A﹒   四．習(xí)題演練1．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓上，且滿(mǎn)足，則的值是（    ）A．14 B．17 C．20 D．23解析：由前述結(jié)論可知，選D.2．已知點(diǎn)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則使得的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（    ）A． B． C． D．不能確定選B.3．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,是上的點(diǎn),,,則的離心率為  (      )A.            B.            C.            D.解析：，選D4．設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為，，如果，，則橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．解析：由于.故即.故選：A.4. 已知為橢圓的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且,求此橢圓離心率的取值范圍.解析：由橢圓的定義，得，平方得①.由，②，是銳角，由余弦定理得③，③得 ④由②④，得， 是銳角， ，即且 .由②③可知 ⑤由①⑤可得 ，，，即，.則橢圓離心率的取值范圍是.5．橢圓的兩焦點(diǎn)是、，為橢圓上與、不共線(xiàn)的任意一點(diǎn)，為的內(nèi)心，延長(zhǎng)交線(xiàn)段于點(diǎn)，則的值等于（     ）A． B． C． D．【詳解】連接.在△MF1I中,F1I是∠MF1N的角平分線(xiàn),根據(jù)三角形內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理,，同理可得,故有，根據(jù)等比定理.故選：B6．已知分別為雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，為的內(nèi)心，點(diǎn)滿(mǎn)足，若且，記的外接圓半徑為，則的值為（    ）A． B． C． D．1【詳解】設(shè)，由題意得，因?yàn)辄c(diǎn)滿(mǎn)足，所以點(diǎn)G是的重心，則，又因?yàn)?/span>，所以軸，則的縱坐標(biāo)是，所以，設(shè)，則，所以，即，則，由余弦定理得，即，解得或，所以，則，解得，故選：A 

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