一、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式
二、圓錐曲線第二定義
結(jié)論：動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為一個(gè)常數(shù)，即eq \f(|MF|,|MA|)＝e.
(1)當(dāng)0＜e＜1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓；
(2)當(dāng)e＝1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是拋物線；
(3)當(dāng)e＞1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．此時(shí)定點(diǎn)F為圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線l叫做圓錐曲線對(duì)應(yīng)該焦點(diǎn)F的一條準(zhǔn)線x＝eq \f(a2,c)，常數(shù)e就是該圓錐曲線的離心率，此結(jié)論稱為圓錐曲線的統(tǒng)一定義(也稱為第二定義)．
三、拋物線的簡單幾何性質(zhì)
四、拋物線的焦點(diǎn)弦
1．已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ為直線AB的傾斜角)；
(3)S△ABO＝eq \f(p2,2sin θ)(θ為直線AB的傾斜角)；
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
(5)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．
2．當(dāng)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線的對(duì)稱軸垂直時(shí)，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長等于2p
模塊一 拋物線的概念與基本性質(zhì)
【題型1】拋物線的焦半徑相關(guān)計(jì)算
（2023·雅禮中學(xué)高二期中）拋物線焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為拋物線上一點(diǎn)，且，的面積為，則拋物線方程為
A．B．C．D．
若拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為（ ）
A．4B．5C．6D．7
(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，直線的斜率為eq \r(3)且經(jīng)過點(diǎn)F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，若|AF|＝4，則以下結(jié)論正確的是( )
A．p＝2B．F為AD中點(diǎn)
C．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝2
【題型2】拋物線的焦點(diǎn)弦
過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝6，則|AB|＝________.
已知AB是拋物線2x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)弦，若|AB|＝4，則AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為________．
【題型3】拋物線的軌跡問題
若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓B．拋物線C．直線D．雙曲線
設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)A，B都在拋物線C上，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
C．設(shè)點(diǎn)R是線段AF的中點(diǎn)，則點(diǎn)R的軌跡方程為
D．若，則弦AB的中點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的最小值為3
若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則的軌跡方程是 ．
若動(dòng)圓M經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)且與直線x＝2相切，則圓心M的坐標(biāo)滿足的方程是 ．
【題型4】拋物線的光學(xué)性質(zhì)
探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口的直徑為60 cm，燈深40 cm，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是( )
A．y2＝eq \f(25,4)xB．y2＝eq \f(45,4)x
C．x2＝－eq \f(45,2)yD．x2＝－eq \f(45,4)y
拋物線的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)焦點(diǎn)的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸（即光線在曲線上某一點(diǎn)處反射等效于在這點(diǎn)處切線的反射），過拋物線上一點(diǎn)作其切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，，垂足為，拋物線的焦點(diǎn)為，射線交于點(diǎn)，若．則 ， ．

拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則 ．
根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點(diǎn)Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線于B點(diǎn)，則 .
【題型5】拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題
如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長方形和拋物線構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有，已知行車道總寬度，那么車輛通過隧道的限制高度為（ ）

A．B．C．D．
石城永寧橋，省級(jí)文物保護(hù)單位，位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn).永寧橋建筑風(fēng)格獨(dú)特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋.當(dāng)石拱橋拱頂離水面1.6m時(shí)，水面寬6.4m，當(dāng)水面下降0.9m時(shí)，水面的寬度為（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
為落實(shí)“二十大”不斷實(shí)現(xiàn)人民對(duì)美好生活的向往，某小區(qū)在園區(qū)中心建立一座景觀噴泉．如圖所示，噴頭裝在管柱OA的頂端A處，噴出的水流在各個(gè)方向上呈拋物線狀．現(xiàn)要求水流最高點(diǎn)B離地面4m，點(diǎn)B到管柱OA所在直線的距離為2m，且水流落在地面上以O(shè)為圓心，6m為半徑的圓內(nèi)，則管柱OA的高度為（ ）
A．2mB．3mC．2.5mD．1.5m
如圖是一座拋物線形拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬時(shí)，拱頂距離水面，當(dāng)水面上升后，橋洞內(nèi)水面寬為（ ）
A．B．C．D．
圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，水面寬4m，水面下降2m后，水面寬8m，則橋拱頂點(diǎn)O離水面l的距離為 .
一拋物線型的拱橋如圖所示：橋的跨度米，拱高米，在建造時(shí)每隔4米用一個(gè)柱子支撐，則支柱的長度 米．
【題型6】利用幾何性質(zhì)計(jì)算求值
已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)D，若且，則 .
在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．若的面積等于的面積的2倍，則 ．
已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N，若，則
已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，線段的延長線交于點(diǎn)，若，則 ．
焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
模塊二 拋物線中最值問題
【題型7】對(duì)稱軸上的點(diǎn)到拋物線距離最小問題
已知A(2,0)，B為拋物線y2＝x上的一點(diǎn)，則|AB|的最小值為________．
已知拋物線，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，距離＝ ，
已知拋物線，圓，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．5B．C．2D．3
已知點(diǎn)在拋物線上，且為焦點(diǎn)，若為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為 .
【題型8】直線到拋物線距離最小問題
（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）若動(dòng)點(diǎn)P在直線上，動(dòng)點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為（ ）
A．B．C．D．
已知拋物線y2＝2x，直線l的方程為x－y＋3＝0，點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最短距離為________，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
已知直線和直線，則拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為 .
【題型9】拋物線中的線段和差最值問題
已知P是拋物線x2＝4y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(8,7)，
則|PA|＋|PQ|的最小值為________．
已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若點(diǎn)，則周長的最小值為（ ）．
A．13B．12C．10D．8
已知點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為 .
【題型10】其它最值問題
知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)到x軸的距離為6，則的最大值為 ．
已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值 .
點(diǎn)A，B是拋物線上的兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若，中點(diǎn)D到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d，則的最小值為 ．
已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，作垂直于準(zhǔn)線，垂足為N，若以為直徑的圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F，則的最小值為________
已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，、是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，過的中點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為 ．
已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
模塊三 拋物線與直線聯(lián)立韋達(dá)化運(yùn)算
【題型11】焦點(diǎn)弦中點(diǎn)相關(guān)運(yùn)算與證明
已知拋物線 的焦點(diǎn)為 F，直線與該拋物線交于A、B 兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)Q作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，若，則 ．
直線y＝x－1被拋物線y2＝4x截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是________．
已知拋物線 的焦點(diǎn)為 F，直線與該拋物線交于A、B 兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)Q作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P，若，則 ．
已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)．若為線段的中點(diǎn)，且，則 ．
設(shè)拋物線W：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l：y＝x＋m與拋物線W相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)．
(1)求m的取值范圍；(2)求證：點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為定值．
物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【題型12】拋物線的焦點(diǎn)弦韋達(dá)化計(jì)算
（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，直線過拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，弦長為12，則直線的方程為 .
（2022上·廣東深圳·高二校考期末）已知點(diǎn)是拋物線C：上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且，直線l：與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.
（1）求拋物線C的方程；（2）若，求k的值.
過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為，求拋物線C的方程．
已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，x軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為eq \f(π,4)的直線被拋物線所截得的弦長為6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【題型13】不過焦點(diǎn)的弦長相關(guān)計(jì)算
過點(diǎn)(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為( )
A．2eq \r(13)B．2eq \r(15)
C．2eq \r(17)D．2eq \r(19)
設(shè)點(diǎn)P(x，y)(y≥0)為平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)P到定點(diǎn)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大eq \f(1,2).
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)若直線l：y＝kx＋1與點(diǎn)P的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2eq \r(6)，求實(shí)數(shù)k的值．
【題型14】垂直關(guān)系的處理
若拋物線y2＝4x與直線y＝x－4相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求證OA⊥OB.
過拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1時(shí)，|AF|＝2.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若拋物線C上存在點(diǎn)M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直線l的方程．
【題型15】向量數(shù)量積的處理
已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，若直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F，且，則________
已知拋物線y2＝2px(p＞0)上點(diǎn)T(3，t)到焦點(diǎn)F的距離為4.
(1)求t，p的值；
(2)如圖所示，設(shè)A，B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且
(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．求證直線AB必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
類型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
圖象
性質(zhì)
焦點(diǎn)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
準(zhǔn)線
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
對(duì)稱軸
x軸
y軸
頂點(diǎn)
O(0,0)
離心率
e＝1
開口方向
向右
向左
向上
向下

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