第一部分
知識清單
1.判斷三條線段是否能圍成三角形，只要把較短的兩條線段的長度相加的和與第三條線段比較即可。若較短兩邊的長度和大于第三條線段，就一定能圍成三角形；否則，就不能圍成三角形。
2.三角形任意兩邊之和大于第三邊。
3.利用三角形邊的關(guān)系，可以判斷三條長度已知的線段能否圍成三角形。
第二部分
典型例題
例1：淘氣家、笑笑家和學(xué)校的位置在地圖上可構(gòu)成一個三角形，其中淘氣家距離學(xué)校3千米，笑笑家距離學(xué)校15千米，那么淘氣家和笑笑家的距離（ ）。
A．可能是13千米B．可能小于12千米
C．一定大于15千米D．可能大于18千米
答案：A
分析：由于淘氣家、笑笑家和學(xué)校的位置在地圖上可構(gòu)成一個三角形，已知淘氣家距離學(xué)校3千米，笑笑家距離學(xué)校15千米，根據(jù)在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，先求出淘氣家和笑笑家的距離的取值范圍，再解答即可。
詳解：15＋3＝18（千米）
15－3＝12（千米）
所以淘氣家和笑笑家的距離大于12千米小于18千米；
A．18＜13＜12；此選項符合題意；
B．淘氣家和笑笑家的距離大于12千米小于18千米，因此此選項不符合題意；
C．淘氣家和笑笑家的距離大于12千米小于18千米，因此可能大于15千米，也可能小于15千米；此選項不符合題意；
D．淘氣家和笑笑家的距離大于12千米小于18千米，因此此選項不符合題意；
故答案為：A
例2：一個三角形的兩條邊分別是15厘米和6厘米，第三條邊一定比( )厘米長，比( )厘米短。
答案： 1 31
分析：任意三角形的兩邊之和必須大于第三邊，任意兩邊的差必須小于第三邊。這個三角形的第三條邊小于（15＋16）厘米，大于（16－15）厘米。
詳解：15＋16＝31（厘米）
16－15＝1（厘米）
一個三角形的兩條邊分別是15厘米和6厘米，第三條邊一定比1厘米長，比31厘米短。
例3：一個三角形的三條邊分別長4厘米，3厘米，7厘米。( )
答案：×
分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，第三條邊小于兩條邊的和，大于兩條邊的差，據(jù)此判斷即可。
詳解：4＋3＝7（厘米）
兩邊之和等于第三邊，不能形成三角形。題干說法錯誤。
故答案為：×
例4：用3根分別長10厘米、20厘米、30厘米的小棒能擺成一個三角形嗎？
答案：不能
分析：先求出兩條較短邊的長度之和，再與第三條邊的長度比較，發(fā)現(xiàn)兩邊之和等于第三邊，不能擺成三角形。
詳解：10＋20＝30（厘米）
30＝30
答：不能擺成三角形。
點睛：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。
：基礎(chǔ)過關(guān)練
一、選擇題
1．下面（ ）組線段可以組成三角形。
A．3cm，8cm，9cmB．5cm，5cm，10cmC．2cm，4cm，8cm
2．等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和2cm，則這個三角形的周長是（ ）。
A．7cmB．8cmC．7cm或8cmD．無法確定
3．把一根鐵絲在箭頭處剪斷，然后首尾相連組成一個三角形。一定能圍成三角形的是（ ）。
A． B． C．
4．一個三角形的周長是20cm，其中一條邊長5cm，另外兩條邊的長度可能是（ ）。
A．5cm和10cm B．6cm和9cmC．4cm和11cm
5．能擺成三角形的3根小木棒長度（單位：厘米）是（ ）。
A．3、5、8B．4、4、9C．5、6、12D．5、7、11
6．一個等腰三角形的兩條邊長分別是6厘米和15厘米，那么這個等腰三角形的周長是（ ）。
A．27cmB．30cmC．36cmD．27cm或36cm
二、填空題
7．用三根長度是整厘米的小棒圍成一個三角形，其中兩根小棒的長度分別是6厘米和9厘米，第三根小棒的長度最短是( )厘米，最長是( )厘米。
8．如果三角形的兩條邊的長分別是6厘米，10厘米，那么第三條邊的長比( )厘米長，比( )厘米短。
9．一個三角形的邊長都是整厘米數(shù)，其中兩條邊分別是4厘米和9厘米，第三條邊最短是( )厘米，最長是( )厘米。
10．一個三角形的一條邊長9厘米，一條邊長3厘米，第三條邊的長度最長是( )厚米，最短是( )厘米。（邊長都是整厘米數(shù)）
11．在一個三角形中，第一條邊是5厘米，第二條邊是7厘米，則第三條邊最長是( )厘米（填整厘米數(shù)）。
12．一個等腰三角形的兩條邊長分別是2厘米和4厘米，那么第三條邊的長度( )（填“一定”、“可能”或“不可能”）是2厘米。
13．有兩根長度分別是3厘米和6厘米的小棒，能和它們圍成三角形的第3根小棒最長是( )厘米，最短是( )厘米。（填入整數(shù)）
三、判斷題
14．三角形的兩邊之和有時可以等于第三邊。( )
15．有長度為3厘米、4厘米、5厘米和7厘米的小棒各一根，任意取其中三根小棒都可以圍成一個三角形。( )
16．三角形兩條邊的和一定大于或等于第三條邊。( )
17．長度分別是2cm、2cm、4cm的三根小棒可以圍成1個三角形。( )
18．一個三角形的三邊長都是整厘米，其中兩邊長分別為10cm和7cm，第三邊最長是17cm。( )
19．麗麗用3根長度分別是5厘米，7厘米和10厘米的小棒可以圍成一個三角形。( )
：培優(yōu)提升練
四、解答題
20．淘氣的姐姐身高1.72米，體重52千克，腿長約95厘米。淘氣說他姐姐走一步能邁2米，對于這種說法，你相信嗎？請從數(shù)學(xué)角度解釋理由。
21．做風(fēng)箏。
（1）做一個等腰三角形風(fēng)箏。它的一個頂角是80°，它的一個底角是多少度？
（2）做一個等腰三角形風(fēng)箏，它的一腰長是6分米，它的底邊長的取值范圍應(yīng)在多少厘米之間？你的根據(jù)是什么？（取整厘米數(shù)，只考慮能否做成的因素，不考慮其它因素）
22．一個等腰三角形的兩條邊分別是5厘米、8厘米，那么它的周長是多少厘米長？
23．淘氣打算從兩根8厘米、兩根4厘米和兩根3厘米的小棒中，任意選取其中的三根，擺一個等腰三角形，一共可以擺出幾種？請你用自己喜歡的方式列舉出來。
24．兩根小棒的長度分別是5厘米和9厘米，要用它們擺成一個三角形，第三根小棒的長度可能是多少厘米？請列出來。（至少列出6種可能長度，取整厘米數(shù)。）
25．一根鐵絲可以圍成一個邊長9厘米的正方形，如果用它圍一個三角形，其中一條邊長12厘米。這個三角形的另外兩條邊長可能是多少厘米？請寫出所有結(jié)果。（邊長取整厘米）
26．人民體育場廣場即將舉辦放風(fēng)箏比賽，爸爸準(zhǔn)備給笑笑做一個等腰三角形的風(fēng)箏參賽，他把一根長竹條截了三根竹條，分別是65厘米、65厘米和130厘米。
（1）爸爸把這三根竹條首尾相接做風(fēng)箏框架，能做成嗎？為什么？
（2）如果你準(zhǔn)備的竹條總長和笑笑爸爸的相同，做成一個腰長80厘米的風(fēng)箏，那么底長應(yīng)是多少厘米？
1．A
分析：三角形的兩邊之和大于第三邊，據(jù)此算出結(jié)果作比較，即可選出答案。
詳解：A．3＋8＝11，11＞9，符合；
B．5＋5＝10，10＝10，不符合；
C．2＋4＝6，6＜8，不符合。
故答案為：A
2．C
分析：當(dāng)?shù)妊切蔚难?cm時，3＋2＞3，此時等腰三角形的三邊是3cm、3cm和2cm；
當(dāng)?shù)妊切蔚难?cm時，2＋2＞3，此時等腰三角形的三邊是3cm、2cm和2cm；
將三角形的三邊相加，即可求出三角形的周長。
詳解：①3＋3＋2＝8（cm）
②3＋2＋2＝7（cm）
所以，這個三角形的周長是7cm或者8cm。
故答案為：C
點睛：本題考查了等腰三角形的周長，掌握等腰三角形的特征，周長的計算方法是解題關(guān)鍵。
3．C
分析：根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進(jìn)行解答即可。
詳解：A．2＋2＜6，所以不能圍成三角形；
B．2＋3＝5，所以不能圍成三角形；
C．2＋4＞4，所以可以圍成三角形。
故答案為：C
點睛：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的特性進(jìn)行分析、解答即可。
4．B
分析：三角形三條邊的總長度就是該三角形的周長，三角形任意兩邊的長度之和大于第三邊，任意兩邊的長度之差小于第三邊，依此選擇。
詳解：A．5cm＋10cm＋5cm＝20cm，但，5cm＋5cm＝10cm，10cm＝10cm，因此另外兩條邊的長度不可能是5cm和10cm。
B．6cm＋9cm＋5cm＝20cm，且，5cm＋6cm＞9cm，9cm－5cm＜6cm，因此另外兩條邊的長度可能是6cm和9cm。
C．4cm＋11cm＋5cm＝20cm，但，4cm＋5cm＜11cm，因此另外兩條邊的長度不可能是4cm和11cm。
故答案為：B
點睛：解答此題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形周長的計算，以及應(yīng)掌握三角形三條邊之間的關(guān)系。
5．D
分析：判斷三角形能否構(gòu)成，關(guān)鍵是看三條線段是否滿足：任意兩邊之和是否大于第三邊，但通常不需一一驗證，其簡便方法是將較短兩邊之和與較長邊比較。
詳解：A．3＋5＝8（厘米）
所以三條線段不能圍成三角形；
B．4＋4＝8（厘米）
8＜9
所以三條線段不能圍成三角形；
C．5＋6＝11（厘米）
11＜12
所以三條線段不能圍成三角形；
D．5＋7＝12（厘米）
12＞11
所以三條線段能圍成三角形。
能構(gòu)成三角形的一組是5厘米、7厘米、11厘米。
故答案為：D
點睛：本題主要考查了三角形三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊。
6．C
分析：6厘米＋6厘米＜15厘米，6厘米的長的邊不能為腰，所以腰長為15厘米，底長為6厘米，這個等腰三角形的周長等于兩腰的長度加底長，據(jù)此即可解答。
詳解：6厘米＋6厘米＜15厘米，6厘米的長的邊不能為腰，所以腰長為15厘米，底長為6厘米。
15×2＋6
＝30＋6
＝36（厘米）
故答案為：C
點睛：明確等腰三角形的腰長是多少是解答本題的關(guān)鍵。
7． 4 14
分析：根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊解答即可。
詳解：根據(jù)分析：9－6＜第三邊＜6＋9
所以3＜第三邊＜15
用三根長度是整厘米的小棒圍成一個三角形，其中兩根小棒的長度分別是6厘米和9厘米，第三根小棒的長度最短是（4）厘米，最長是（14）厘米。
8． 4 16
分析：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，據(jù)此即可解答。
詳解：10－6＝4（厘米）
10＋6＝16（厘米）
所以第三條邊的長比4厘米長，比16厘米短。
9． 6 12
分析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據(jù)此解答。
詳解： SKIPIF 1 < 0 （厘米）
SKIPIF 1 < 0 （厘米）
5厘米＜第三邊＜13厘米
那么第三邊最長就是12厘米，最短就是6厘米。
一個三角形的邊長都是整厘米數(shù)，其中兩條邊分別是4厘米和9厘米，第三條邊最短是6厘米，最長是12厘米。
10． 11 7
分析：三角形三邊之間的關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊；據(jù)此解答。
詳解：根據(jù)分析：9－3＝6（厘米），9＋3＝12（厘米），所以第三條邊大于6厘米小于12厘米，那么第三條邊的長度最長是11厘米，最短是7厘米。
11．11
分析：根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進(jìn)行解答即可。
詳解：因為7－5＜第三邊＜7＋5，所以2＜第三邊＜12，即第三邊的取值在2～12厘米（不包括2厘米和12厘米），因為三條邊都是整厘米數(shù)，所以第三邊最長為：12—1＝11（厘米）
點睛：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的特性進(jìn)行分析、解答即可。
12．不可能
分析：三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和一定大于第三條邊；
等腰三角形的兩條腰相等，假如腰是2厘米，則看2厘米、2厘米、4厘米能不能組成三角形；假如腰是4厘米，則看4厘米、4厘米、2厘米能不能組成三角形；再根據(jù)結(jié)果進(jìn)行解答。
詳解：假如腰是4厘米；
4＋2＞4，則4厘米、4厘米、2厘米能組成三角形。
假如腰是2厘米；
2＋2＝4，則2厘米、2厘米、4厘米不能組成三角形，所以第三條邊的長度不可能是2厘米。
點睛：本題考查的知識點較多，需學(xué)生熟練掌握等腰三角形的特征、三角形的三邊關(guān)系以及事件的確定性與不確定性。
13． 8 4
分析：任意三角形的兩邊之和必須大于第三邊，任意兩邊的差必須小于第三邊。
詳解：3＋6－1
＝9－1
＝8（厘米）
6﹣3＋1
＝3＋1
＝4（厘米）
圍成三角形的第3根小棒最長是8厘米，最短是4厘米。
有兩根長度分別是3厘米和6厘米的小棒，能和它們圍成三角形的第3根小棒最長是（8）厘米，最短是（4）厘米。（填入整數(shù)）
點睛：本題考查了三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用。
14．×
詳解：三角形三邊關(guān)系是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。例如：如果三角形三條邊是2、2、4， 2＋2＝4，不符合三角形三邊關(guān)系，不能構(gòu)成三角形。
故答案為：×
15．×
分析：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊。據(jù)此解答。
詳解：三角形兩邊之和大于第三邊，如果取3厘米、4厘米和7厘米的小棒，3＋4＝7（厘米），不能圍成一個三角形。
故答案為：×
點睛：掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵。
16．×
分析：根據(jù)三角形三邊的關(guān)系：任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊，據(jù)此解答。
詳解：根據(jù)分析可知，三角形兩條邊的和一定大于第三邊。
原題干說法錯誤。
故答案為：×
點睛：熟練掌握三角形三邊的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。
17．×
分析：根據(jù)三角形三條邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；進(jìn)行解答即可。
詳解：2＋2＝4（cm）
不能滿足三角形三條邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊。
原題說法錯誤。
故答案為：×
點睛：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的特性進(jìn)行分析、解答。
18．×
分析：根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，解答此題即可。
詳解：10＋7＝17（cm）
10－7＝3（cm）
3cm＜第三邊＜17cm
第三邊最長是16cm，原題說法錯誤。
故答案為：×
點睛：熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵。
19．√
分析：根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進(jìn)行解答即可。
詳解：5＋7＝12（厘米）；12厘米＞10厘米；
10－7＝3（厘米）；3厘米＜5厘米；
麗麗用3根長度分別是5厘米，7厘米和10厘米的小棒可以圍成一個三角形。
原題干說法正確。
故答案為：√
點睛：熟練掌握三角形三邊的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵。
20．不相信；理由見詳解
分析：先求出兩條腿的長度之和，根據(jù)三角形的第三條邊一定小于兩邊之和可知：姐姐走一步的長度一定小于她兩條腿的長度之和；據(jù)此解答。
詳解：95＋95＝190（厘米）
190厘米＝1.9米
1.9米＜2米
答：不相信，兩條腿與姐姐走一步的長度看成一個三角形，那么姐姐走一步的長度一定小于1.9米，而2米大于1.9米，所以姐姐走一步不能邁2米。
點睛：解答此題的關(guān)鍵是明確三角形的兩邊之和大于第三條邊。
21．（1）50度；
（2）0厘米和12厘米之間
分析：（1）等腰三角形的兩個底角相等，180°減去頂角的度數(shù)，再除以2即等于一個底角的度數(shù)。
（2）根據(jù)兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊進(jìn)行解答。
詳解：（1）（180－80）÷2
＝100÷2
＝50（度）
答：它的一個底角是50度。
（2）6－6＝0（厘米）
6＋6＝12（厘米）
0厘米＜底邊＜12厘米
答：它的底邊長的取值范圍應(yīng)在0厘米和12厘米之間。
點睛：本題主要考查學(xué)生對三角形的內(nèi)角和、三角形的分類和三角形三邊間的關(guān)系的掌握。
22．18厘米或者21厘米
分析：等腰三角形兩個腰相等，當(dāng)腰是5厘米時，三條邊是5厘米、5厘米和8厘米，5＋5＞8，符合三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)腰是8厘米時，三條邊是8厘米、8厘米和5厘米，5＋8＞8，符合三角形的三邊關(guān)系；據(jù)此把三條邊相加即是周長。
詳解：（1）當(dāng)腰是5厘米時：5＋5＋8
＝10＋8
＝18（厘米）
（2）當(dāng)腰是8厘米時：8＋8＋5
＝16＋5
＝21（厘米）
答：它的周長是18厘米或者21厘米。
點睛：此題主要考查學(xué)生對等腰三角形性質(zhì)的理解與三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用。
23．4種；各種情況見詳解
分析：只要符合兩腰長度之和大于底邊長度即可。
詳解：（1）8厘米、8厘米、4厘米
（2）8厘米、8厘米、3厘米
（3）4厘米、4厘米、3厘米
（4）3厘米、3厘米、4厘米
所以一共可以擺出4種。
點睛：本題主要考查學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的掌握和靈活運用。
24．13厘米、12厘米、11厘米、10厘米、9厘米、8厘米、7厘米、6厘米、5厘米
分析：三角形的三邊關(guān)系為三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差一定小于第三邊；據(jù)此解答即可。
詳解：5＋9＝14（厘米），9－5＝4（厘米）
則第三根小棒的長度比14厘米小，比4厘米大。
答：第三根小棒的長度可能是13厘米、12厘米、11厘米、10厘米、9厘米、8厘米、7厘米、6厘米、5厘米。
點睛：熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，靈活運用三角形的三邊關(guān)系解決問題。
25．見詳解
分析：正方形的周長為：9×4＝36（厘米），三角形的周長等于正方形的周長；用36減去12，求出另外兩條邊長的長度之和；三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三條邊，兩邊之差小于第三條邊；據(jù)此求出這個三角形的另外兩條邊長可能是多少厘米。
詳解：9×4＝36（厘米）
36－12＝24（厘米）
當(dāng)另外兩條邊長為1厘米、23厘米時，1＋12＜23，不符合三邊關(guān)系；
當(dāng)另外兩條邊長為2厘米、22厘米時，2＋12＜22，不符合三邊關(guān)系；
當(dāng)另外兩條邊長為3厘米、21厘米時，3＋12＜21，不符合三邊關(guān)系；
當(dāng)另外兩條邊長為4厘米、20厘米時，4＋12＜20，不符合三邊關(guān)系；
當(dāng)另外兩條邊長為5厘米、19厘米時，5＋12＜19，不符合三邊關(guān)系；
當(dāng)另外兩條邊長為6厘米、18厘米時，6＋12＝18，不符合三邊關(guān)系；
當(dāng)另外兩條邊長為7厘米、17厘米時，7＋12＞17，符合三邊關(guān)系；
當(dāng)另外兩條邊長為8厘米、16厘米時，8＋12＞16，符合三邊關(guān)系；
當(dāng)另外兩條邊長為9厘米、15厘米時，9＋12＞15，符合三邊關(guān)系；
當(dāng)另外兩條邊長為10厘米、14厘米時，10＋12＞14，符合三邊關(guān)系；
當(dāng)另外兩條邊長為11厘米、13厘米時，11＋12＞13，符合三邊關(guān)系；
當(dāng)另外兩條邊長為12厘米、12厘米時，12＋12＞12，符合三邊關(guān)系。
答：這個三角形的另外兩條邊長可能是7厘米、17厘米或者8厘米、16厘米或者9厘米、15厘米或者10厘米、14厘米或者11厘米、13厘米或者12厘米、12厘米。
點睛：熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵。
26．（1）不能，理由見詳解
（2）100厘米
分析：（1）三角形的三邊關(guān)系為三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差一定小于第三邊；據(jù)此判斷這三根竹條能否拼成一個風(fēng)箏框架。
（2）先將笑笑爸爸準(zhǔn)備三根竹條長度相加，求出竹條總長，也就是要做成風(fēng)箏周長。等腰三角形的兩條腰相等，則用風(fēng)箏周長減去2個80厘米，求出底長。
詳解：（1）65＋65＝130（厘米），130厘米＝130厘米
則這三個竹條，其中兩根的長度等于第三個竹條長度，不符合三角形的三邊關(guān)系，不能圍成一個三角形。
答：爸爸不能把這三根竹條首尾相接做成風(fēng)箏框架，因為兩邊之和等于第三邊，不符合三角形的三邊關(guān)系。
（2）65＋65＋130＝260（厘米）
260－80－80＝100（厘米）
答：底長應(yīng)是100厘米。
點睛：本題考查等腰三角形的特征和三角形的三邊關(guān)系，利用三角形的三邊關(guān)系判斷給出的三條線段能否組成三角形時，用較短的兩條邊的長度和與第三條邊比較大小解答。

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小學(xué)數(shù)學(xué)北師大版（2024）四年級下冊電子課本

探索與發(fā)現(xiàn)（二）三角形邊的關(guān)系

版本： 北師大版（2024）

年級： 四年級下冊

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