第一部分
知識清單
1.三角形的內(nèi)角和等于180°。也就是說，三角形的內(nèi)角和與三角形的大小、形狀無關(guān)，三角形的內(nèi)角和永遠是180°。
2. 三角形內(nèi)角和等于180°。
3. 根據(jù)“三角形內(nèi)角和等于180°” ，當已知三角形中兩個內(nèi)角的度數(shù)時，可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)，并可以由此判斷三角形的形狀。
第二部分
典型例題
例1：等腰三角形中，頂角是50°，底角是（ ）。
A．50°B．65°C．可能是50°，也可能是65°
答案：B
分析：三角形內(nèi)角和為180°，根據(jù)等腰三角形的特征可知，等腰三角形的兩個底角度數(shù)相等。先用180°減去50°求出兩個底角的和，再用兩個底角的和除以2即可。
詳解：（180°－50°）÷2
＝130°÷2
＝65°
因此底角是65°。
故答案為：B
例2：一個等腰三角形中的一個角是40°，如果這個角是頂角，則這個三角形的底角是( )°，它是一個( )三角形；如果這個角是底角，則這個三角形的頂角是( )°，它是一個( )三角形。（本題第2、第4空填“銳角”“直角”或“鈍角”。）
答案： 70 銳角 100 鈍角
分析：三角形內(nèi)角和180°，等腰三角形兩底角相等。用三角形內(nèi)角和減去頂角的度數(shù)求得差，再除以2求得一個底角是多少度，再根據(jù)三個角的度數(shù)判斷這是一個什么三角形；用底角的度數(shù)乘2求出兩個底角的和，再用三角形內(nèi)角和減去兩個底角的和，就是頂角的度數(shù)，再根據(jù)三個角的度數(shù)判斷這是一個什么三角形。三個角都是銳角的三角形，叫銳角三角形；有一個角是直角的三角形，叫直角三角形；有一個角是鈍角的三角形，叫鈍角三角形。
詳解：（180°－40°）÷2
＝140°÷2
＝70°
180°－40°×2
＝180°－80°
＝100°
一個等腰三角形中的一個角是40°，如果這個角是頂角，則這個三角形的底角是（70）°，它是一個（銳角）三角形；如果這個角是底角，則這個三角形的頂角是（100）°，它是一個（鈍角）三角形。
例3：在三角形中，如果∠A＋∠B＝∠C，那么這個三角形是直角三角形。( )
答案：√
分析：因為三角形內(nèi)角和為180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，又因為∠A＋∠B＝∠C，據(jù)此可以計算出∠C的度數(shù)，通過∠C的度數(shù)判斷該三角形是什么三角形即可。
詳解：由分析可得：
因為∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝∠C，
所以2∠C＝180°
2∠C÷2＝180°÷2
∠C＝90°
那么這個三角形是直角三角形。
故答案為：√
點睛：本題考查了三角形內(nèi)角和是180°的靈活運用，是基礎題，需要熟練掌握判斷三角形類型的方法。
例4：一個等腰三角形風箏的一個底角是40度，它的頂角是多少度？
答案：100度
分析：等腰三角形的兩個底角相等。根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180度可知，頂角＝180度－底角×2，據(jù)此解答即可。
詳解：已知底角40度
頂角＝180度－2×底角＝180度－2×40度＝180度－80度＝100（度）
答：它的頂角是100度。
：基礎過關(guān)練
一、選擇題
1．任意一個三角形中，至少有（ ）個銳角。
A．1B．2C．3
2．鈍角三角形的兩個銳角和（ ）。
A．小于90B．等于90°C．大于90°
3．把一個大三角形分成兩個小三角形，每個小三角形的內(nèi)角和是（ ）。
A．180°B．90°C．120°D．無法確定
4．一個三角形中至少有（ ）個銳角。
A．1B．2C．3D．無法確定
5．有一大一小兩個三角形，小冬把較小的三角形的三個角撕下來，拼成的情況如圖，如果把另一個較大的三角形的三個角也撕下來，拼在一起的圖是（ ）。

A． B． C． D．都有可能
6．一個三角形中，如任意兩個角的度數(shù)之和都大于第三個角，那么這個三角形是（ ）。
A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．無法確定
7．下列各組分別是同一個三角形中兩個內(nèi)角的度數(shù)，其中（ ）是鈍角三角形。
A．60°和30°B．75°和75°C．40°和51°D．45°和35°
二、填空題
8．一個直角三角形，一個銳角是40°，另一個銳角是( )°；一個等腰三角形，其中一個底角是40°，頂角是( )°。
9．一個等腰三角形的一個底角是55°，它的頂角是( )°，這是一個( )角三角形。
10．我們已經(jīng)知道三角形的3個角合起來能拼成一個平角，那么六邊形的6個角合起來能拼成( )個平角。
11．如圖，被擋住的角是( )度，這個三角形是( )三角形。

12．已知∠1、∠2、∠3分別是一個三角形的三個內(nèi)角，如果∠1＋∠2＝∠3，則這個三角形是( )三角形。
13．小明說：“一個三角形中，最小的角大于45°，這個三角形一定是鈍角三角形?！蹦阏J為他說的對嗎？( )（填“對”或“不對”）。你的理由是( )。
三、判斷題
14．鈍角三角形中兩個銳角的和一定大于90°。( )
15．在一個直角三角形中，如果其中一個銳角是34°，那么另一個銳角是66°。( )
16．在一個直角三角形中，已知其中一個銳角是43°則另一個銳角是47°。( )
17．在一個等腰三角形中，已知頂角是56°，它的一個底角是62°。( )
18．一個三角形，其中兩個內(nèi)角分別是30°和40°，這個三角形是銳角三角形。( )
19．在一個直角三角形中，其中一個銳角是 SKIPIF 1 < 0 ，則另一個銳角是 SKIPIF 1 < 0 。( )
：培優(yōu)提升練
四、計算題
20．算出下面各個未知角的度數(shù)。
五、解答題
21．我們知道三角形的內(nèi)角和等于180°，四邊形的內(nèi)角和等于360°，如果邊數(shù)為n的多邊形，其內(nèi)角和為（n－2）×180°；反過來，已知多邊形的內(nèi)角和，同樣利用內(nèi)角和公式可求出這個多邊形的邊數(shù)。
（1）求十邊形的內(nèi)角和。
（2）已知一個多邊形的內(nèi)角和是三角形內(nèi)角和的12倍，求這個多邊形的邊數(shù)。
22．我們佩戴的紅領(lǐng)巾的顏色是國旗紅，可用布、綢、緞等材料按照標準制作。分為小號、大號兩個規(guī)格。小號：底邊長100厘米、腰邊長60厘米。大號：底邊長120厘米、腰邊長72厘米。紅領(lǐng)巾中最大的角是120°。
（1）算式“100＋60×2”解決的問題是：
（2）紅領(lǐng)巾中另外兩個的角分別是多少度？
23．學校舉行風箏比賽，奇思做了一個風箏，風箏的造型是等腰三角形。其中有一個角是40°，其它兩個角各是多少度？
24．奶奶家有一塊三角形的菜地，最大角是最小角的5倍，另一個角是最小角的3倍，求這塊三角形菜地三個角的度數(shù)。
25．算一算。
自行車的大架一般做成三角形，俗稱三角架。一輛自行車的三角架中角的度數(shù)如圖所示。你能求出 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)嗎？
26． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是一個三角形的內(nèi)角， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的3倍， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的5倍， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是多少度？
1．B
分析：一個三個形的內(nèi)角和是180°，小于90°的角是銳角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是鈍角，依此判斷。
詳解：假設一個三角形中除銳角外的兩個角是，兩個直角或兩個鈍角或1個直角、1個鈍角，則這兩個角的和就等于或大于180°，所以任意一個三角形中都至少有兩個角是銳角。
故答案為：B
2．A
分析：三角形的內(nèi)角和為180度，鈍角為大于90度小于180度的角，據(jù)此即可選擇。
詳解：因為三角形的內(nèi)角和為180度，鈍角大于90度，所以鈍角三角形的兩個銳角和小于90度。
故答案為：A
3．A
分析：任意三角形的內(nèi)角和是180°，據(jù)此解答。
詳解：由分析可知，任意三角形的內(nèi)角和是180°，所以把一個大三角形分成兩個小三角形，每個小三角形的內(nèi)角和仍是180°；
故答案為：A
點睛：熟記三角形的內(nèi)角和是180°，是解答本題的關(guān)鍵。
4．B
分析：由三角形內(nèi)角和可知，三角形的內(nèi)角和是180度，根據(jù)銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的各個角的度數(shù)判斷。
詳解：三角形的內(nèi)角和是180度，銳角三角形的三個角都是銳角，直角三角形有一個角是直角，另兩個角是銳角，鈍角三角形有一個角是鈍角，另兩個角是銳角，所以在一個三角形中，至少有2個銳角。
故答案為：B
點睛：此題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的分類，三角形按角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。
5．B
分析：任意三角形的內(nèi)角和都是180°。把較大的三角形的三個角撕下來，拼在一起，∠1、∠2和∠3拼成一個平角。
詳解：A． ∠1、∠2和∠3拼成的角小于平角；
B． ∠1、∠2和∠3拼成的角是平角；
C． ∠1、∠2和∠3拼成的角大于平角。
如果把另一個較大的三角形的三個角也撕下來，拼在一起的圖是 。
故答案為：B
點睛：熟記三角形內(nèi)角和是180°是解題關(guān)鍵。
6．B
分析：三角形的內(nèi)角和等于180°，如果它的兩個內(nèi)角的度數(shù)之和等于第三個內(nèi)角的度數(shù)，那么第三個內(nèi)角就是最大角，是三角形內(nèi)角和的一半，即90°；如果其中任何兩個角的度數(shù)之和都大于第三個角的度數(shù)，那么任意一個角的度數(shù)都小于90°，是銳角。這個三角形的三個角都是銳角，是銳角三角形。
詳解：180°÷2＝90°
任意兩個角的度數(shù)之和都大于第三個角，那么這個三角形中最大的角小于90°，所以是銳角三角形。
故答案為：B
點睛：本題考查三角形的分類以及三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是明確三角形中任意一個角的度數(shù)都小于90°。
7．D
分析：三個角都是銳角的三角形是銳角三角形，有一個角是直角的三角形是直角三角形，有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形。任意三角形的內(nèi)角和是180°，用180°減去各選項中兩個角的度數(shù)，算出第三個角的度數(shù)，再進行選擇。
詳解：A．180°－60°－30°
＝120°－30°
＝90°
有一個角是直角，此三角形是直角三角形；
B．180°－75°－75°
＝105°－75°
＝30°
三個角都是銳角，此三角形是銳角三角形；
C．180°－40°－51°
＝140°－51°
＝89°
三個角都是銳角，此三角形是銳角三角形；
D．180°－45°－35°
＝135°－35°
＝100°
有一個角是鈍角，此三角形是鈍角三角形。
有2個內(nèi)角是45°和35°的三角形是鈍角三角形。
故答案為：D
點睛：熟記三角形內(nèi)角和是180°和三角形的分類是解題關(guān)鍵。
8． 50 100
分析：直角三角形兩個銳角和等于90°，90°減去已知銳角的度數(shù)等于另一個銳角的度數(shù)；等腰三角形的兩個底角相等，三角形的內(nèi)角和等于180°，180°減去兩個底角的度數(shù)和等于頂角的度數(shù)；據(jù)此即可解答。
詳解：90°－40°＝50°
180°－40°×2
＝180°－80°
＝100°
一個直角三角形，一個銳角是40°，另一個銳角是50°；一個等腰三角形，其中一個底角是40°，頂角是100°。
9． 70 銳角
分析：已知等腰三角形的三個內(nèi)角度數(shù)和是180°，一個底角是55°，因為兩個底角相等，則用180°減去2個55°即得到頂角的度數(shù)70°；再根據(jù)三個角都是銳角，確定這是一個銳角三角形。據(jù)此解答。
詳解：180°－55°×2
＝180°－110°
＝70°
所以，它的頂角是70°；
因為三個內(nèi)角的度數(shù)為55°、55°、70°，都是銳角，所以這是一個銳角三角形。
10．4
分析：等于180°的角是平角，多邊形的內(nèi)角和＝（多邊形的邊數(shù)－2）×180°，依此計算出六邊形的內(nèi)角和，然后用六邊形的內(nèi)角和除以三角形的內(nèi)角和即可。
詳解：（6－2）×180°
＝4×180°
＝720°
720°÷180°＝4（個）
六邊形的6個角合起來能拼成4個平角。
點睛：解答此題的關(guān)鍵是要熟練掌握平角的特點，以及應掌握多邊形的內(nèi)角和的計算方法。
11． 70 銳角
分析：三角形的內(nèi)角和是180度，利用180度減去已知的兩個角即可求出第三個角，根據(jù)角的特征判斷三角形的種類。代入數(shù)據(jù)計算即可。
詳解：180°－40°－70°＝140°－70°＝70°
被擋住的角是70度，三個角都是銳角，那么這個三角形是銳角三角形。
點睛：本題考查了三角形內(nèi)角和的應用及三角形的分類方法。
12．直角
分析：由題意可知，∠1、∠2、∠3分別是一個三角形的三個內(nèi)角，而三角形的內(nèi)角和是180°，那么∠1＋∠2＋∠3＝180°，還已知∠1＋∠2＝∠3，兩個角的和等于第三個角，那么第三個角的度數(shù)占內(nèi)角和的一半，是90°，據(jù)此可以判定此三角形的類型。
詳解：由題意得：
∠1＋∠2＝∠3
∠1＋∠2＋∠3＝∠3＋∠3＝180°
∠3＝180°÷2＝90°
所以這個三角形是直角三角形。
點睛：熟練掌握三角形的內(nèi)角和以及三角形按角分類的標準是解答本題的關(guān)鍵。
13． 不對 見詳解
分析：最小的角大于45°，最小的角最小是46°，若其中兩個內(nèi)角都是46°，求出46°與46°的和，再用180°減這個和，看差是多少度，比較差與90°的大小關(guān)系，來確定這個三角形是什么三角形。當三角形的兩個銳角都45°時，這個三角形的第三個角是90°，所以當三角形的三個角中最小的角大于45°時，那么最大的角必然小于90°，據(jù)此來填寫理由。
詳解：46°＋46°＝92°
180°－92°＝88°
88°＜90°
小明說：“一個三角形中，最小的角大于45°，這個三角形一定是鈍角三角形?！蹦阏J為他說的對嗎？（不對）。你的理由是（其中較小的兩個角的和一定大于90°，那么第三個角必然小于90°）
點睛：根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°來計算解答。
14．×
分析：根據(jù)三角形三個內(nèi)角度數(shù)和是180°，而鈍角三角形中鈍角大于90°小于180°，所以兩個銳角度數(shù)的和一定小于90°。據(jù)此判斷。
詳解：根據(jù)分析可知：鈍角三角形中兩個銳角的和一定小于90°。所以原題說法錯誤。
故答案為：×
點睛：本題主要考查三角形內(nèi)角和的理解運用。要牢記三角形三個內(nèi)角度數(shù)和是180°，以及鈍角大于90°小于180°的特點。
15．×
分析：直角三角形的兩個銳角的和是90°，90°減34°即可求出另一個銳角的度數(shù)。
詳解：90°－34°＝56°
另一個銳角是56°，原說法錯誤。
故答案為：×
點睛：本題考查了三角形的內(nèi)角和以及直角三角形的特征，注意直角三角形中的直角是90度。
16．√
分析：有一個角是直角的三角形是直角三角形，三角形內(nèi)角和是180°，用180°減去90°再減去43°，即可算出另一個銳角是（180°－90°－43°）。
詳解：180°－90°－43°
＝90°－43°
＝47°
故答案為：√
點睛：熟記直角三角形特征和三角形內(nèi)角和是180°是解題關(guān)鍵。
17．√
分析：根據(jù)等腰三角形的特征：兩個底角相等；三角形的內(nèi)角和是180°，用180°－56°，求出兩個底角的和，再除以2，求出一個底角的度數(shù)，再進行比較，即可解答。
詳解：（180°－56°）÷2
＝124°÷2
＝62°
在一個等腰三角形中，已知頂角是56°，它的一個底角是62°
原題干說法正確。
故答案為：√
點睛：熟練掌握三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的特征是解答本題的關(guān)鍵。
18．×
分析：先根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，用180°－30°－60°＝90°，就是第三個角的度數(shù)，然后再依據(jù)銳角三角形的特征，三個角都是銳角的三角形是銳角三角形，據(jù)此即可判斷。
詳解：180°－30°－40°
＝150°－40°
＝110°
110°是鈍角，所以一個三角形，其中兩個內(nèi)角分別是30°和40°，這個三角形是鈍角三角形。所以原題說法錯誤。
故答案為：×
點睛：此題主要依據(jù)銳角三角形的意義以及三角形的內(nèi)角和定理解決問題。
19．√
分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，解答此題即可。
詳解：180°－90°－46°
＝90°－46°
＝44°
所以在一個直角三角形中，其中一個銳角是46°，則另一個銳角是44°，這句話是正確的。
故答案為：√
點睛：熟練掌握三角形內(nèi)角和知識，是解答此題的關(guān)鍵。
20．40°；30°；80°
分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°可知，分別用180°減去已知兩個角的度數(shù)，求出各個圖形中第三個角的度數(shù)。
詳解：180°－90°－50°＝40°
180°－115°－35°－30°
180°－52°－48°＝80°
21．（1）1440°
（2）14
分析：（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，十邊形的內(nèi)角和為（10－2）×180°，計算出結(jié)果即可。
（2）多邊形的內(nèi)角和是三角形內(nèi)角和的12倍，這個多邊形的內(nèi)角和是12×180°，這個多邊形的邊數(shù)為（12＋2）條。
詳解：（1）（10－2）×180°
＝8×180°
＝1440°
答：十邊形的內(nèi)角和是1440°。
（2）12＋2＝14（條）
答：這個多邊形有14條邊。
點睛：熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵。
22．（1）小號紅領(lǐng)巾的周長是多少厘米？
（2）30度
分析：（1）紅領(lǐng)巾是等腰三角形，兩條腰的長度相等，在小號紅領(lǐng)巾中100厘米是底邊的長度，60厘米是腰的長度，100＋60×2表示小號紅領(lǐng)巾的周長是多少厘米。
（2）三角形的內(nèi)角和是180度，等腰三角形的兩個底角相等，先用三角形的內(nèi)角和減去頂角的度數(shù)，求出兩個底角的和，再除以2，即可求出紅領(lǐng)巾的另外兩個的角分別是多少度。
詳解：（1）算式“100＋60×2”解決的問題是：小號紅領(lǐng)巾的周長是多少厘米？
（2）（180－120）÷2
＝60÷2
＝30（度）
答：紅領(lǐng)巾中另外兩個的角都是30度。
點睛：解決本題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的特點，以及三角形的內(nèi)角和定理。
23．70°，70°或40°，100°
分析：三角形的內(nèi)角和等于180°，等腰三角形的兩個底角相等，該題主要分兩種情況，一種情況是頂角是40°，用180°減去頂角的度數(shù)，再除以2即可求出底角的度數(shù)；另一種情況是當?shù)捉鞘?0°，用180°減去兩個底角的度數(shù)，即可求出頂角的度數(shù)，據(jù)此解答即可。
詳解：當頂角是40°時：
（180°－40°）÷2
＝140°÷2
＝70°
當?shù)捉鞘?0°時：
180°－40°－40°
＝140°－40°
＝100°
答：其它兩個角都是70°或一個角是40°，另一個角是100°。
點睛：解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和的知識以及等腰三角形的性質(zhì)。
24．20°、60°和100°。
分析：由題意可得，先把最小的角看作1倍的量，則最大角為5倍的量，另一個角是3倍量，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180度，再根據(jù)和倍公式，用180°除以倍數(shù)和（1＋3＋5），可以求出最小的角，最后分別用最小的角度數(shù)乘5和3，即可求得最大角和另一個角，據(jù)此解答即可。
詳解：180°÷（1＋3＋5）
＝180°÷9
＝20°
最大角：20°×5＝100°
另一個角：20°×3＝60°
答：這塊三角形菜地三個角的度數(shù)分別為：20°、60°和100°。
點睛：此題考查了三角形內(nèi)角和以及和倍問題的應用，關(guān)鍵是明確：三角形內(nèi)角和為180°。
25．80°
分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°可知，用180°減去已知兩個角的度數(shù)和，即可求出∠1的度數(shù)。
詳解：180°－（60°＋40°）
＝180°－100°
＝80°
答：∠1是80°。
點睛：本題考查三角形的內(nèi)角和定理，需熟練掌握。
26．∠1＝20°，∠2＝60°，∠3＝100°
分析：由題意可知：∠2＝3∠1，∠3＝5∠1，又因三角形的內(nèi)角和是180°，據(jù)此代入數(shù)據(jù)即可求解。
詳解：∠1＋∠2＋∠3＝180°
即∠1＋3∠1＋5∠1＝180°
9∠1＝180°
∠1＝180°÷9＝20°
∠2＝3×20°＝60°
∠3＝5×20°＝100°
答：∠1＝20°，∠2＝60°，∠3＝100°。
點睛：此題考查了三角形內(nèi)角和定理的靈活應用，解答此題的關(guān)鍵是理清它們之間的倍數(shù)關(guān)系。

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小學數(shù)學北師大版（2024）四年級下冊電子課本

探索與發(fā)現(xiàn)（一）三角形內(nèi)角和

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