A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出，依題意陰影部分表示，再根據(jù)補集的定義計算可得；
【詳解】解：因為，，所以，由韋恩圖可知陰影部分表示；
故選：A
2. 已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為、，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的除法計算法則即可計算.
【詳解】由題可知，，，
，
則的共軛復(fù)數(shù)為：，其虛部為.
故選：A﹒
3. 已知向量，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量減法、模的坐標(biāo)運算列方程，化簡求得的值.
【詳解】，
，，
，
.
故選：A
4. 奧林匹克標(biāo)志由五個互扣的環(huán)圈組成，五環(huán)象征五大洲的團結(jié).五個奧林匹克環(huán)總共有8個交點，從中任取3個點，則這3個點恰好位于同一個奧林匹克環(huán)上的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出從8個點中任取3個點的所有情況，求出滿足條件的情況 即可求出.
【詳解】從8個點中任取3個點，共有種情況，這3個點恰好位于同一個奧林匹克環(huán)上有種情況，則所求的概率.
故選：A.
5. 等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，則以下結(jié)論正確的是（）
A. “q0”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件
B. “q1”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件
C. “q0”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件
D. “q1”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件
【答案】C
【解析】
【分析】等比數(shù)列為遞增數(shù)列，有兩種情況，或，從而判斷出答案.
【詳解】等比數(shù)列為遞增數(shù)列，則，或，
所以等比數(shù)列為遞增數(shù)列，
但時，等比數(shù)列不一定為遞增數(shù)列
所以“q0”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.
故選：C
6. 為了激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某學(xué)校開展利用數(shù)學(xué)知識設(shè)計LOGO的比賽，其中某位同學(xué)利用函數(shù)圖像的一部分設(shè)計了如圖的LOGO，那么該同學(xué)所選的函數(shù)最有可能是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究各函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性判斷函數(shù)圖象，即可得答案.
【詳解】A：，即在定義域上遞增，不符合；
B：，
在上，在上，在上，
所以在、上遞減，上遞增，符合；
C：由且定義域為，為偶函數(shù)，
所以題圖不可能在y軸兩側(cè)，研究上性質(zhì)：，故遞增，不符合；
D：由且定義域為R，為奇函數(shù)，
研究上性質(zhì)：，故在遞增，
所以在R上遞增，不符合；
故選：B
7. 已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，雙曲線的左頂點為，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于，兩點，其中點在軸右側(cè)，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由題意，得到以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為，求出點P，Q的坐標(biāo),結(jié)合條件求出，之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率的取值范圍．
【詳解】由題意，以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為，
由，解得或，
∴，．
又為雙曲線的左頂點，則，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，又，
∴.
故選：C.
8. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，，且在上恰有3個極大值點，則的值等于（）
A. 1B. 3C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件列不等式，從而求得的值.
【詳解】依題意，
的圖象關(guān)于對稱，，且在上恰有3個極大值點，
所以，其中，
所以， ，
所以.
故選：C
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選昤的得0分，部分選對的得2分.
9. 下列說法正確的有（）
A. 若隨機變量，則
B. 殘差和越小，模型的擬合效果越好
C. 根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)且犯錯誤的概率不超過0.05
D. 數(shù)據(jù)4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位數(shù)為8
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求出概率判斷A；利用回歸模型的擬合效果判斷B；利用獨立性檢驗思想判斷C；求出第70百分位數(shù)判斷D作答.
【詳解】對于A，隨機變量，由知，
，A正確；
對于B，因為殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，而殘差和小，殘差平方和不一定小，B錯誤；
C，由可判斷與有關(guān)且犯錯誤的概率不超過0.05，C正確；
對于D，對數(shù)據(jù)從小到大重新排序，即：，共8個數(shù)字，
由，得這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第6個數(shù)8，D正確.
故選：ACD
10. 在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. 平面
C. 平面D. 與所成的角是
【答案】ABD
【解析】
【分析】A．利用三角形中位線進行證明；B．通過線面平行的定理證明；C．通過線面垂直的性質(zhì)進行判斷；D．通過平行的傳遞性找出即為與所成的角，即可求出答案．
【詳解】連接，則是的中位線，∴，故A正確；
連接，，則，平面，平面，
∴平面，即平面，故B正確；
連接，則平面即為平面，顯然不垂直平面，故C錯誤；
∵，∴或其補角為與所成的角，，故D正確．
故選：ABD．
11. 設(shè)點在圓上，圓方程為，直線方程為.則（）
A. 對任意實數(shù)和點，直線和圓有公共點
B. 對任意點，必存在實數(shù)，使得直線與圓相切
C. 對任意實數(shù)，必存在點，使得直線與圓相切
D. 對任意實數(shù)和點，圓和圓上到直線距離為1的點的個數(shù)相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系判斷．
【詳解】由題意，因此圓一定過原點，而直線總是過原點，A正確；
當(dāng)圓方程為時，過原點且與圓相切的直線是軸，不存在，B錯誤；
對任意實數(shù)，作直線的平行線與圓相切，切點為，此時到直線的距離為1，即直線與圓相切，C正確；
易知對任意實數(shù)，圓上到直線距離為1的點有兩個，作與直線平行且距離為1的兩條直線和，（注意：和與圓恒相切），
當(dāng)直線過點時，直線和都與圓相切，兩個切點到直線的距離為1，
當(dāng)直線不過點時，直線和中一條與圓相交，一條相離，兩個交點與直線距離為1，即只有2 個點，D正確．
故選：ACD．
12. 設(shè)隨機變量的分布列如下：
則（）
A. 當(dāng)?shù)炔顢?shù)列時，
B. 數(shù)列的通項公式可能為
C. 當(dāng)數(shù)列滿足時，
D. 當(dāng)數(shù)列滿足時，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)知，利用特殊值法可判斷A，由裂項相消法求和可知B正確；根據(jù)等比數(shù)列求和公式可判斷C，利用的關(guān)系，可判斷D.
【詳解】由題目可知；
對于選項A，若為等差數(shù)列，則不成立，比如公差為0時，，故選項A不正確；
對于選項B，顯然，又，
，因此選項B正確；
對于選項C，由，則，
所以，因此選項C正確；
對于選項D， 令，
則
即，，于是有
，解得，于是有
因此選項D正確.
故選：BCD
三?填空題：本大題共4小題，每小題5分.共20分.
13. 已知的展開式中第2項和第6項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中的常數(shù)項為____________.
【答案】60
【解析】
【分析】利用已知求出的值，然后再求出展開式的通項公式，
令的指數(shù)為零即可求解.
【詳解】由已知可得，第2項和第6項的二項式系數(shù)相等，
則，解得，
則的展開式的通項公式為
，
令，解得，
所以展開式的常數(shù)項為.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象過點，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出的值，由以及的取值范圍可求得的值，可得出函數(shù)的解析式，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.
【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，則，則，
因為，可得，，則，，
因此，.
故答案為：.
15. 已知A，B是曲線上兩個不同的點，，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】由曲線方程，結(jié)合根式的性質(zhì)求x的范圍，進而判斷曲線的形狀并畫出草圖，再由圓的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合法判斷的最值，即可得其范圍.
【詳解】由，得.
由，所以或
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
所以表示的曲線為圓的左半部分和圓的右半部分.
當(dāng)A，B分別與圖中的M，N重合時，取得最大值，為6；
當(dāng)A，B為圖中E，F(xiàn)，G，H四點中的某兩點時，取得最小值，為.
故的取值范圍是.
故答案為：.
16. 如圖，直三棱柱中，，點在棱上，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先設(shè)，利用垂直關(guān)系，可得，再結(jié)合基本不等式求面積的最值，以及等號成立的條件求，根據(jù)幾何體的特征，求外接球的半徑，即可求解外接圓的表面積.
【詳解】由余弦定理得：
設(shè)，則，
由得：，解得：，
因為，故
由基本不等式得：當(dāng)且僅當(dāng)，且時，即時取最小值.底面三角形外接圓半徑，
.
故答案為：
四?解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 已知的內(nèi)角所對的邊分別是
向量，，且．
（1）求角A；
（2）若，的面積為，求b、c．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算代入中，利用正弦定理邊化角的轉(zhuǎn)化及進行化簡得到，再利用輔助角公式得，根據(jù)條件求出；
（2）由及（1）求出的值，在利用余弦定理及，求出的值，聯(lián)立方程組解出結(jié)果.
小問1詳解】
，
根據(jù)正弦定理，即，
因為，得，由，
整理得，，即，，
或，得或（舍去），即
【小問2詳解】
，
根據(jù)余弦定理，得，
則，，
又，則或
18. 已知正項等比數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題可得，進而可得，，即得；
（2）由題可得當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，然后利用分組求和法即得.
【小問1詳解】
設(shè)數(shù)列的公比為，
∵正項等比數(shù)列滿足，
∴，兩式相除可得，
∴，，
∴.
【小問2詳解】
當(dāng)n奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，
∴
，
∴.
19. 如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，點為棱的中點，為邊的中點.
（1）求證：平面；
（2）若側(cè)面底面，且，，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，證明出四邊形為平行四邊形，，從而求出線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，利用空間向量求解兩平面夾角的余弦值.
【小問1詳解】
取線段的中點，連接，，
∵，分別為，的中點，
∴且，
∵底面是菱形，且為的中點，
∴且，
∴且.
∴四邊形為平行四邊形，
∴.
又∵平面，平面，
∴平面.
【小問2詳解】
連接，
由得是等邊三角形，
∴，
∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，底面，
∴側(cè)面，
因為，，
由余弦定理的：，
解得：，
以為原點建立空間坐標(biāo)系，如圖所示.
則，，，，
則，，，，
設(shè)平面的一個法向量，
則，即，令，則.
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，解得：，令，則，
故，
∴，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
20. 已知函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)，且對成立，求的最小值；
（2）若函數(shù)的圖象上存在一點與函數(shù)的圖象上一點關(guān)于軸對稱，求的長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由求的最小值；
（2）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，列等式化簡求出交點坐標(biāo)可得的長.
【小問1詳解】
，函數(shù)定義域為，
則，
由解得，解得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，由題意，則，
所以m的最小值為；
【小問2詳解】
由題意的圖象與函數(shù)的圖象有交點，
化為有解，設(shè)，則；
則由得，
由得，消去，得，顯然；
當(dāng)時，方程無解；
當(dāng)時，方程無解；
故此方程的解為，即，∴，，
則.
【點睛】方法點睛：函數(shù)的圖象上存在一點與函數(shù)的圖象上一點關(guān)于x軸對稱，可轉(zhuǎn)化為的圖象與函數(shù)的圖象有交點，列出等式，利用指數(shù)式和對數(shù)式的運算，化簡得到點縱坐標(biāo)，可得的長.
21. 為倡導(dǎo)公益環(huán)保理念，培養(yǎng)學(xué)生社會實踐能力，某中學(xué)開展了舊物義賣活動，所得善款將用于捐贈“圓夢困境學(xué)生”計劃.活動共計50多個班級參與，1000余件物品待出售.攝影社從中選取了20件物品，用于拍照宣傳，這些物品中，最引人注目的當(dāng)屬優(yōu)秀畢業(yè)生們的筆記本，已知高三1，2，3班分別有，，的同學(xué)有購買意向.假設(shè)三個班的人數(shù)比例為.
（1）現(xiàn)從三個班中隨機抽取一位同學(xué)：
（i）求該同學(xué)有購買意向的概率；
（ii）如果該同學(xué)有購買意向，求此人來自2班的概率；
（2）對于優(yōu)秀畢業(yè)生的筆記本，設(shè)計了一種有趣的“擲骰子叫價確定購買資格”的競買方式：統(tǒng)一以0元為初始叫價，通過擲骰子確定新叫價，若點數(shù)大于2，則在已叫價格基礎(chǔ)上增加1元更新叫價，若點數(shù)小于3，則在已叫價格基礎(chǔ)上增加2元更新叫價；重復(fù)上述過程，能叫到10元，即獲得以10元為價格的購買資格，未出現(xiàn)叫價為10元的情況則失去購買資格，并結(jié)束叫價.若甲同學(xué)已搶先選中了其中一本筆記本，試估計其獲得該筆記本購買資格的概率（精確到0.01）.
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）0.75.
【解析】
【分析】（1）設(shè)事件“該同學(xué)有購買意向”，事件“該同學(xué)來自班”.根據(jù)全概率公式即可求解，根據(jù)條件概率公式即可求解；
（2）由題意可得每次叫價增加1元的概率為，每次叫價增加2元的概率為.設(shè)叫價為元的概率為，叫價出現(xiàn)元的情況只有下列兩種：①叫價為元，且骰子點數(shù)大于2，其概率為；②叫價為元，且骰子點數(shù)小于3，其概率為.于是得到，構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合累加法可求解.
【小問1詳解】
（i）設(shè)事件“該同學(xué)有購買意向”，事件“該同學(xué)來自班”.
由題意可知，
，
所以，由全概率公式可得：
.
（ii）由條件概率可得.
【小問2詳解】
由題意可得每次叫價增加1元的概率為，每次叫價增加2元的概率為.
設(shè)叫價為元的概率為，叫價出現(xiàn)元的情況只有下列兩種：
①叫價為元，且骰子點數(shù)大于2，其概率為；
②叫價為元，且骰子點數(shù)小于3，其概率為.
于是得到，易得，
由于，
于是當(dāng)時，數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，
故.
于是
于是，甲同學(xué)能夠獲得筆記本購買資格的概率約為0.75.
【點睛】關(guān)鍵點睛：
第二問中關(guān)鍵是設(shè)叫價為元的概率為，利用叫價為元是在叫價為元的基礎(chǔ)上再叫價1元或在叫價為元的基礎(chǔ)上再叫價2元，從而確定與的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)列中的構(gòu)造法和累加法即可求解.
22. 已知橢圓的離心率為，點在上，從原點向圓作兩條切線，分別交橢圓于點，
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線的斜率記為，求的值；
（3）若，直線與在第一象限的交點為，點在線段上，且，試問直線是否過定點？若是，求出該定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）過定點，定點為
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)的離心率求得，得出橢圓的方程；
（2）因為直線和直線都與圓相切,得出是方程的兩根，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出結(jié)果；
（3）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，得到關(guān)于的方程，是方程的根.方程與直線方程聯(lián)立，求出，由，求出為定值，得出結(jié)果.
【小問1詳解】
因為橢圓離心率所以，解得
所以橢圓方程為
【小問2詳解】
因為直線和直線都與圓相切
所以，即是的兩根，
將兩邊平方，可得
所以.
又因為點在上，
所以點，即，
所以.
【小問3詳解】
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，
整理可得，
因為點在直線上，所以且，
所以
整理得：①
聯(lián)立，可得所以，
又因為所以，
因為點在上所以，代入上式繼續(xù)化簡得，
所以.
由①可知，，
所以解得所以（此時點在第三象限，不合題意，舍去），
所以直線過定點.
【點睛】圓錐曲線中直線斜率之積為定值方法點睛：本題中的兩條直線與圓相切，根據(jù)關(guān)系得出關(guān)于的方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出結(jié)論.
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