2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.
3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.
1. 已知向量，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算求得正確答案.
【詳解】.
故選：A
2. 圓的圓心和半徑分別為（）
A. ，2B. ，4C. ，2D. ，4
【答案】C
【解析】
【分析】
將圓的方程轉(zhuǎn)化為標準方程形式，直接判斷即可.
【詳解】由題可知：圓即
所以該圓的圓心為，半徑為
故選：C
3. 在長方體中，為棱的中點.若，則等于（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量線性運算法則，結(jié)合題意即可求解.
【詳解】因為長方體中，為棱的中點，
所以，
故選：A.
4. 若過點的直線與以，為端點的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】畫出圖形分析，結(jié)合直線的傾斜角以及斜率的關系即可求解.
【詳解】如圖所示：
當點從點向點運動時，則直線的傾斜角越來越大，
當點與點重合時，直線的傾斜角的最小值為，
由直線傾斜角與斜率的關系可知，
所以，
當點與點重合時，直線的傾斜角的最大值為，
由直線傾斜角與斜率的關系可知，
所以，
又注意到當點從點向點運動時，是連續(xù)變化的，
因此滿足題意的直線的傾斜角取值范圍為.
故選：D.
5. 已知直線：，：，若，則（）
A. 1B. －1或－3C. 1或3D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用兩直線平行一般式方程的系數(shù)關系求解即可.
【詳解】，，，
當，即時，，此時與不平行，
當，即時，有，解得，
經(jīng)檢驗符合題意.
.
故選：D.
6. 已知在正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點，點P在上運動，若異面直線，所成的角為，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設，表達出，換元后求出的最大值.
【詳解】以D為原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
設，則，，，
設，則，
所以．
令，則，因為，所以．
當時，；
當時，，
因為，所以當，即時，取得最大值，最大值為．
故選：B
7. 已知點在直線上的射影為點B，則點B到點距離的最大值為（）．
A. B. 5C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判斷直線l恒過點，根據(jù)題意知點B在以線段為直徑的圓上，再利用圓的幾何性質(zhì)求解即可,
【詳解】將直線l整理得到，
于是，解得，所以直線l恒過點，
因為點在直線上的射影為點B，
所以，則點B在以線段為直徑的圓上，該圓的圓心坐標為，
半徑大小為，
又，
所以點B到點距離的最大值為，
故選：C．
8. 已知圓O：和點，點，M為圓O上的動點，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出輔助線，由三角形相似得到，當三點共線時，取得最小值，利用兩點間距離公式求出最小值.
【詳解】取，連接，
則，又，
所以，
又，故∽，
故，從而，
所以，
當三點共線時，取得最小值，
最小值為.
故選：C
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯得或不選的得0分.
9. 已知直線：，下列說法正確的是（）
A. 若，則直線的傾斜角為B. 若直線在兩坐標軸上的截距相等，則
C. ，原點到直線的距離為5D. 直線與直線垂直，則
【答案】AD
【解析】
【分析】求出直線方程，即可求出斜率與傾斜角，即可判斷A，分直線經(jīng)過原點和不過原點，即可判斷B，求出直線過定點坐標，即可判斷C，由兩直線垂直斜率之積為，求出直線的斜率，即可判斷D.
【詳解】對于A，若，直線的方程為，即，
則斜率為，所以其傾斜角，故A正確；
對于B，當直線經(jīng)過原點時，即，解得，則直線方程為，在兩坐標軸上截距相等，都為，
當直線不經(jīng)過原點時，則，即，
若直線的在兩坐標軸的截距相等，必有，解可得，符合題意，
故或，即B錯誤；
對于C，直線，即，
令，解得，直線恒過點，
設，則，
所以原點到直線的距離，不存在滿足條件，故C錯誤；
對于D，若直線與直線垂直，則直線的斜率，則有，解可得，故D正確；
故選：AD．
10. 如圖，正方體的棱長為1，正方形的中心為，棱，的中點分別為，，則（）
A.
B.
C. 異面直線與所成角的余弦值為
D. 點到直線的距離為
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量逐項判斷；
【詳解】故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.
，，，，
，選項A正確；
，
所以
根據(jù)三角函數(shù)兩角正余弦關系解得：
，選項B正確；
，
選項C錯誤；
點到直線的距離為：，
而
所以選項D正確；
故選：ABD.
【點睛】關鍵點睛：構建空間直角坐標系，運用空間向量解題是本題的思維出發(fā)點和突破點；
11. 已知曲線的方程為，則（）
A. 曲線關于直線對稱
B. 曲線圍成的圖形面積為
C. 若點在曲線上，則
D. 若圓能覆蓋曲線，則的最小值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件逐一分析每一個選項，推理，計算判斷即可．
【詳解】曲線上任意點有：，該點關于的對稱點有，即由線上任意點關于直線的對稱點仍在曲線上，故選項A正確；
因為點在曲線上，點，點也都在曲線上，則曲線關于軸，軸對稱，當，時，曲線的方程為，
表示以點為圓心，為半徑的圓在直線上方的半圓（含端點），
因此，曲線是四個頂點為，，，的正方形各邊為直徑向正方形外作半圓圍成，如圖，
所以曲線圍成的圖形的面積是，故選項B正確；
點，在曲線上，則，，
，，解得，故選項C正確；
曲線上的點到原點距離最大值為，圓能覆蓋曲線，則，故選項D不正確．
故選：ABC．
12. 在正三棱柱中，，點P滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 當時，周長為定值
B. 當時，三棱錐的體積為定值
C. 當時，存在兩點P，使得
D. 當時，存在兩點P，使得平面
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A，由于等價向量關系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進而確定點的坐標；
對于B，將點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進而考慮體積是否為定值；
對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數(shù)；
對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數(shù)．
【詳解】易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．
對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；
對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．
對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C正確；
對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設，因為，所以，，所以，此時與重合，故D錯誤．
故選：BC
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13. 已知向量，，則在上的投影向量為______.（用坐標表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標運算以及投影向量的定義可求得在上的投影向量的坐標.
【詳解】因為，，則，
所以，，
所以，在上的投影向量為
.
故答案為：.
14. 已知直線：的傾斜角為，直線的傾斜角為，且直線在y軸上的截距為，則直線的一般式方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，利用倍角公式可求直線的斜率，根據(jù)斜截式求直線的方程并轉(zhuǎn)化為一般式.
【詳解】由題意可知：直線的斜率為，即，
則直線的斜率，
所以直線的方程為，即.
故答案為：.
15. 以三角形邊，，為邊向形外作正三角形，，，則，，三線共點，該點稱為的正等角中心．當?shù)拿總€內(nèi)角都小于120o時，正等角中心點P滿足以下性質(zhì)：
（1）；（2）正等角中心是到該三角形三個頂點距離之和最小的點（也即費馬點）．由以上性質(zhì)得的最小值為_________
【答案】
【解析】
【分析】由題可知，所要求的代數(shù)式恰好表示平面直角坐標系中三個距離之和，所以首先要把代數(shù)式中三個距離的對應的點找到，再根據(jù)題干所述找到相應的費馬點，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)題意，在平面直角坐標系中，令點，，，
則表示坐標系中一點到點、、的距離之和，
因為是等腰三角形，，
所以點在軸負半軸上，所以與軸重合，
令的費馬點為，則在上，則，
因為是銳角三角形，由性質(zhì)（1）得，
所以，所以，所以，
，到、、的距離分別為，，
所以的最小值，
即為費馬點到點、、的距離之和，則．
故答案為：．
【點睛】本題考查根據(jù)題給新定義的性質(zhì)解題，涉及三角形的性質(zhì)和兩點間的距離的應用，理解新定義是解題的關鍵，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.
16. 正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為AB的中點，點F滿足，動點M在側(cè)面AA1D1D內(nèi)運動，且MB∥平面D1EF，則|MD|的取值范圍是__________________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，表示所需點的坐標，求出平面D1EF的一個法向量，結(jié)合線面平行的向量表示可得動點M的坐標滿足的條件，即可得解.
【詳解】因為ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，
以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
設M（x,0,z），B（2,2,0），D1（0,0,4），E（2,1,0），
因為，所以F是CC1四等分點（靠近C），
所以F（02,1），所以，
設平面D1EF的一個法向量為，
則，即，
令c＝2，則，故，
又，平面D1EF，
所以，即，
所以，所以，
故，
因為0≤x≤2，0≤z≤4，所以，故，
因為，所以|MD|在上單調(diào)遞減，
所以當x＝時，|MD|取最大值，
所以|MD|的最大值為，
當x＝2時，|MD|取最小值，所以|MD|的最小值為，
所以|MD|的取值范圍是．
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17已知三角形三頂點，求：
（1）邊上的高所在的直線方程；
（2）邊的中線所在的直線方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)高與所在邊垂直關系求斜率，再由點斜式寫出直線方程；
（2）中點公式寫出中點坐標，應用兩點式寫出中線所在直線方程.
【小問1詳解】
邊所在直線的斜率為，
邊上的高所在的直線的斜率為2.
邊上的高所在的直線方程為，即.
【小問2詳解】
易知邊的中點為，則邊的中線過點和.
所以邊的中線所在直線方程為，即.
18. 在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，，，點為棱的中點.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)得到，然后利用線面平行的判定定理證明即可；
（2）利用空間向量的方法求線面角的正弦值即可.
【小問1詳解】
連接交與點，連接，
∵為矩形，∴為的中點，
∵為的中點，∴，
∵平面，平面，
∴∥平面.
【小問2詳解】
如圖，以為原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，
，，，，，
，，，
設平面的法向量為，
，令，則，，所以，
設直線與平面所成角為，則.
19. 設直線l的方程為
（1）求證：不論a為何值，直線l必過一定點P；
（2）若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點，，當面積為12時，求的周長；
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）將直線方程整理成關于的式子，再令其系數(shù)為0，解關于和的方程組，即可；
（2）易知，，由，求出參數(shù)的值，從而可得的坐標，即可求出答案.
【小問1詳解】
證明：將整理成，
令，解得，，
所以定點為，
故不論為何值，直線必過一定點；
【小問2詳解】
解：由題意知，，由，
當時，，當時，，
由，得，
所以面積，解得，
此時，，，
所以的周長為，
故當面積為12時，的周長為.
20. 已知圓C過點，，且圓心C在直線l：上.
（1）求圓C的方程；
（2）若從點發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓C的圓周，求反射光線所在直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由條件確定圓心與半徑后求解，
（2）轉(zhuǎn)化為求關于直線的對稱點，與圓心連線的直線方程．
【小問1詳解】
的斜率為，中點坐標為，
由題意得圓心在的垂直平分線上，
，解得，故，半徑為，
圓C的方程為；
【小問2詳解】
如圖所示，過與直線垂直的直線方程為，
由得，兩直線交于點，
則關于直線的對稱點為，
由題意得反射光線過圓心，直線的斜率為，
故直線的方程為，即.
21. 如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點，是線段上的一點.
（1）求證：平面平面；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，且點不是線段的中點，求三棱錐體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由線面垂直判定可證得平面，由中位線性質(zhì)知，從而得到平面，由面面垂直判定可得結(jié)論；
（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，設，，由線面角的向量求法可構造方程求得，結(jié)合垂直關系可得平面的距離為，利用棱錐體積公式可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
連接，
分別是線段的中點，，
底面四邊形為正方形，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
，平面，
又平面，平面平面.
【小問2詳解】
以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
設，，
則，，，
設平面的一個法向量為，
則，令，解得：，，；
設直線與平面所成角為，
，
解得：或（舍），，
平面，平面，；
，，平面，平面，
到平面的距離為，
.
22. 如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，D，E分別是線段AC，的中點，在平面ABC內(nèi)的射影為D．
（1）求證：平面BDE；
（2）若點F為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明；
（2）利用空間向量坐標運算求出二面角的余弦值求解.
小問1詳解】
連接,
因為為等邊三角形，D是線段AC的中點，所以，
又因為平面，平面，所以,
,平面,所以平面,
平面,所以，
由題設可知，四邊形為菱形，所以,
因為D，E分別是線段AC，的中點，所以,
所以，
又因為平面BDE,所以平面BDE.
【小問2詳解】
以為軸建立如圖所示空間直角坐標系，
則,
設，
則所以
平面的一個法向量,
設平面的一個法向量為,
所以，設，則，
所以，
設，
所以，
因為，所以二次函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以銳二面角的余弦值的取值范圍．

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