1. 若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）
A. B. C. D. 與相交但不垂直
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行即可得.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?
故選：B
2. 設(shè)直線的方程為，直線的方程為，則直線與的距離為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行線間距離公式求解即可.
【詳解】直線的方程為，
.
故選：B
3. 美味可口的哈根達(dá)斯蛋筒冰激凌可近似看作半徑相等的一個(gè)半球和一個(gè)圓錐組成，如實(shí)物圖，已知冰激凌的表面積為，底部圓錐的母線為3，則冰激凌的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)球的表面積以及圓錐的側(cè)面積求得，再根據(jù)球、圓錐的體積運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)球的半徑為，
則冰激凌的表面積為，解得，
可得圓錐的高，
所以冰激凌的體積.
故選：A.
4. 設(shè)m，n，l是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若，，，，則
B. 若，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)面面平行的判定定理即可判斷A；
根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷B；
根據(jù)面面垂直的判定定理即可判斷C；
根據(jù)線面垂直的判定定理即可判斷D.
【詳解】解：對(duì)于A，若，，，
當(dāng)時(shí)，無(wú)法判斷與是否平行，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，，則或，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，，則，
又，所以，故C正確；
對(duì)于D，若，，，
當(dāng)時(shí)，無(wú)法判斷與是否垂直，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
5. 數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點(diǎn)，，且，則△的歐拉線的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題設(shè)條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結(jié)合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.
【詳解】由題設(shè)，可得，且中點(diǎn)為，
∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，
∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，
∴△的歐拉線的方程為.
故選：D
6. 如圖，在直三棱柱中，，，，M為AB的中點(diǎn).則A1到平面的距離為()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別以CA，CB，CC1所在的直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，用空間向量法求點(diǎn)到平面的距離．
【詳解】如圖，分別以CA，CB，CC1所在的直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，M(1,1,0).
則有，，
設(shè)平面的法向量為，
則 即
令，得平面的一個(gè)法向量為，又，
所以A1到平面的距離.
故選：D.
7. 已知是定義在上奇函數(shù)，且，若對(duì)任意的，，均有成立，則不等式的解集為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，則在上遞增，判斷也是是定義在上的奇函數(shù)，可得在上遞增，分類討論列不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，，均有成立，
不妨設(shè)，則，
所以，
構(gòu)造函數(shù)，則在上遞增，
因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以也是是定義在上的奇函數(shù)，
所以在上遞增，
不等式化為，
因?yàn)椋?br>則，
或；
時(shí)，，不合題意；
綜上不等式的解集為，
故選：D.
8. 已知圓是以點(diǎn)和點(diǎn)為直徑的圓，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題設(shè)可知圓：，在坐標(biāo)系中找到，應(yīng)用三角線相似將轉(zhuǎn)化到，再利用三角形的三邊關(guān)系確定目標(biāo)式的最大值即可.
【詳解】由題設(shè)，知：且，即圓的半徑為4，
∴圓：，
如上圖，坐標(biāo)系中則，
∴，即△△，故，
∴，在△中，
∴要使最大，共線且最大值為的長(zhǎng)度.
∴.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先求出圓方程，找到定點(diǎn)使，進(jìn)而將轉(zhuǎn)化到其它線段，結(jié)合三角形三邊關(guān)系求目標(biāo)式的最值.
二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的或不選的得0分）
9. （多選）下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若直線經(jīng)過(guò)第一?二?四象限，則點(diǎn)在第三象限
B. 直線過(guò)定點(diǎn)
C. 過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為
D. 斜率為，在軸上的截距為的直線的方程為
【答案】BC
【解析】
【分析】利用直線方程的斜截式、點(diǎn)斜式，以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.
【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)第一?二?四象限，
所以直線的斜率，截距.
故點(diǎn)在第二象限，所以A中說(shuō)法錯(cuò)誤.
由整理得.
所以無(wú)論取何值，都滿足方程.所以B中說(shuō)法正確.
由點(diǎn)斜式方程可知，
過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線的方程為.
所以C中說(shuō)法正確.
由斜截式方程可知，
斜率為，在軸上的截距為的直線的方程為.
所以D中說(shuō)法錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 已知，且，則（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】AB選項(xiàng)，兩邊平方得到，再結(jié)合得到，，得到AB正確；先求出的平方，結(jié)合角的范圍求出的值.
【詳解】AB選項(xiàng)，兩邊平方得，，
即，所以，B正確，
因?yàn)?，所以，故，所以，A正確；
CD選項(xiàng)，，
因?yàn)椋?，所以?br>故，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD
11. 如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點(diǎn)，且，．設(shè)，，，若，，，則下列說(shuō)法中正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量的線性運(yùn)算的幾何表示，向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，，
所以，
故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，?br>所以，
所以，故B正確；
因?yàn)椋?br>所以，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，
所以，故D正確.
故選：BD.
12. 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為側(cè)面（不含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，若直線與的夾角為，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 線段的長(zhǎng)度為
B. 的最小值為2
C. 對(duì)任意點(diǎn)P，總存在點(diǎn)Q，使得
D. 存在點(diǎn)P，使得直線與平面所成的角為
【答案】AC
【解析】
【分析】對(duì)選項(xiàng)A，直接通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，表示出線段，即可求得；對(duì)選項(xiàng)B，轉(zhuǎn)化為，然后通過(guò)坐標(biāo)表示出即可求得的最小值；對(duì)選項(xiàng)C，通過(guò)關(guān)系建立方程，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，得到關(guān)于的一元二次方程，再通過(guò)判別式即可判斷C；對(duì)選項(xiàng)D，通過(guò)先求平面的法向量，然后根據(jù)直線與平面所成的角為，建立方程即可判斷D.
【詳解】
建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，可得：，，，，，，，
設(shè)點(diǎn)，，由直線與的夾角為，則有：
，，
故有：，解得：，
為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則有：（），解得：，
對(duì)選項(xiàng)A，則有：，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)選項(xiàng)B，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，
因?yàn)?，則易知：，
故的最小值等價(jià)于求，
，
故有：，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，結(jié)合，可得此時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C，若，則有：，
，又，
則有：，則有：，
又，則有：，故對(duì)任意點(diǎn)，總存在點(diǎn)，使得，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)選項(xiàng)D，易知平面的法向量為，若直線與平面所成的角為，
即直線與平面的法向量成，則有：
解得：，矛盾，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決立體幾何問(wèn)題通常有兩種方法：
一、建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的運(yùn)算與性質(zhì)解決立體幾何的問(wèn)題，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量；
二、通過(guò)傳統(tǒng)的幾何方法，需要較高的空間想象力.
三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______．
【答案】
【解析】
【分析】方程表示圓，需要 計(jì)算得到答案.
【詳解】方程表示圓
則
【點(diǎn)睛】本題考查了二元二次方程表示圓的條件，屬于簡(jiǎn)單題.
14. 若對(duì)任意a＞0且a≠1，函數(shù)的圖象都過(guò)定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在角θ的終邊上，則tanθ＝__.
【答案】-2
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義即可求解.
【詳解】令x＋1＝0，求得x＝－1，y＝2，
可得函數(shù)（a＞0，a≠1）圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(－1,2)，
所以點(diǎn)P在角θ的終邊上，則tanθ＝＝－2.
故答案為：－2.
15. 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)____.
【答案】.
【解析】
【分析】由題意可建立分別以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用空間向量基本定理可得=λ+μ，從而可求出P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得AP的長(zhǎng)
【詳解】解：如圖，建立分別以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AB=a，P(0，0，b)，則A(0，0，0)，B1(a，0，1)，D(0，1，0)，E.
于是=(a，0，1)，=(0，-1，b).
∵DP∥平面B1AE，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ，使=λ+μ，
即(0，-1，b)=λ(a，0，1)+μ=.
∴
∴b=λ=，即AP=.
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查在空間幾何體中確定點(diǎn)的位置，利用了空間向量基本定量，屬于中檔題.
16. 已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為且，，若，則__________.
【答案】
【解析】
【詳解】由題意，令，解得.
∵函數(shù)的最小正周期為，，
∴當(dāng)時(shí)，可得第一個(gè)對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，可得.
∴函數(shù)在上有條對(duì)稱軸
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知：函數(shù)與的交點(diǎn)有9個(gè)點(diǎn)，即關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，…，即，，…，.
∵
∴
∴
故答案為.
點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，三角函數(shù)的考查重點(diǎn)是性質(zhì)的考查，比如周期性，單調(diào)性，對(duì)稱性等，處理抽象的性質(zhì)最好的方法結(jié)合函數(shù)的圖象，本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱性找到與的數(shù)量關(guān)系，本題有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是，會(huì)算錯(cuò)定義域內(nèi)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這就需結(jié)合對(duì)稱軸和數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，防止出錯(cuò).
四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）
17. 在三角形ABC中，已知點(diǎn)A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2)．
（1）求BC邊上中線的方程；
（2）若某一直線過(guò)B點(diǎn)，且x軸上截距是y軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求得線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)，由直線的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程；
（2）分兩類：①當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為y＝kx，代入點(diǎn)B（－3，4），求出k的值；②當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均不為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為1，代入點(diǎn)B（－3，4），求得m的值，得解.
【小問(wèn)1詳解】
∵B（－3，4），C（1，2），
∴線段BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－1，3），
又BC邊上的中線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），
∴y（x－4），即3x+5y－12＝0，
故BC邊上中線的方程.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)直線在x軸和y軸上的截距均為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為y＝kx，
代入點(diǎn)B（－3，4），則4＝－3k，解得k，
所以所求直線的方程為yx，即4x+3y＝0；
當(dāng)直線在x軸和y軸上截距均不為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為1，
代入點(diǎn)B（－3，4），則，解得m，
所以所求直線的方程為1，即x+2y－5＝0，
綜上所述，該直線的一般式方程為4x+3y＝0或x+2y－5＝0．
18. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.
（1）求角的大??；
（2）若為線段上的一點(diǎn)，且滿足，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，利用正弦定理結(jié)合輔助角公式可得，從而可得答案；
（2）利用正弦定理求得，可得，從而得，再由三角形面積公式可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
因
由正弦定理可得，
因?yàn)椋裕?br>則，即，
因?yàn)?
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
，
所以，
.
19. 如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）求平面與平面的夾角的大??；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明；
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面與平面夾角的大??；
（3）求出平面的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．
【詳解】解：（1）證明：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，
過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，2，，，1，，
，2，，，1，，
，
；
（2）平面的法向量，0，，
，2，，，1，，
設(shè)平面的法向量，，，
則，取，得，1，，
設(shè)平面與平面夾角的大小為，
則，，
平面與平面夾角的大小為；
（3），0，，，0，，
平面的法向量，1，，
點(diǎn)到平面的距離為：
．
20. 已知圓經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn).
（1）求圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，求的方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出圓的方程即可；
（2）設(shè)，利用得到點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)代入圓，化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)的軌跡方程.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)圓的方程為，
將三點(diǎn)，，分別代入方程，
則，解得，，，
所以圓的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，，
因?yàn)辄c(diǎn)滿足，，
所以，，
則，所以.
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，
所以，
所以，所以，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
21. 已知函數(shù)為偶函數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)的值;
（2）解關(guān)于的不等式;
（3）設(shè)，若函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義及性質(zhì)直接化簡(jiǎn)求值；
（2）判斷時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性可得函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，解不等式即可；
（3）由函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，可得有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再利用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個(gè)根，利用判別式求參數(shù)范圍.
【小問(wèn)1詳解】
函數(shù)的定義或?yàn)椋?br>函數(shù)為偶函數(shù).
，即，
，
；
【小問(wèn)2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集為；
【小問(wèn)3詳解】
函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，
，
即，，
設(shè)，則，即，
又在上單調(diào)遞增，
所以方程有兩個(gè)不等的正根；
，
解得，即的取值范圍為.
22. 如圖，在四棱錐中，平面平面，平面平面.
（1）求證：平面；
（2）若平面與平面的夾角，求的最小值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在平面內(nèi)，任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理求解即可；
（2）解法一：結(jié)合題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)二面角的向量求解方法得點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的直線上，進(jìn)而分別討論點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)求解即可；
解法二：延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，過(guò)作直線垂線，連接，進(jìn)而得是平面與平面夾角的平面角，再根據(jù)對(duì)稱性求得點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)結(jié)合余弦定理求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
解：證明：在平面內(nèi)，任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，即
平面平面，平面平面，平面，
平面
又∵平面
同理平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∵平面
∴
∵平面
平面
【小問(wèn)2詳解】
解：方法一：由（1）知平面，故如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
，
平面的法向量，設(shè)平面的法向量；
則有，即，令得，
所以，；
因?yàn)槠矫媾c平面的夾角，
所以，，解得：；
所以點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的直線上；
當(dāng)點(diǎn)直線時(shí)，可求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).
所以，“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線；
當(dāng)直線時(shí)，同理可求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).
所以；
綜上，的最小值為.
方法二：延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)?br>所以，，
過(guò)作直線垂線，連接，即
由（1）知，平面，平面，
所以，
因?yàn)槠矫?br>所以，平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，即是平面與平面夾角的平面角；
因?yàn)槠矫媾c平面的夾角，
所以；
所以；
記點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，.
所以，
所以，“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線；
所以的最小值為

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