時間：120分鐘 滿分：150分鐘 命題人：龍仕滿 審題人：張丹丹
一、單選題（每題5分，共8題，滿分40分）
1． =（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，則中所有元素之和為（ ）
A．B．C．0D．2
3．若，α是第三象限的角，則=（ ）
A．B．C．D．
4．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（ ）
A．B．C．D．
5．“”是“函數(shù)有零點(diǎn)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
7．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說，數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，經(jīng)常用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì). 現(xiàn)有四個函數(shù):①，②，③;④的圖象(部分)如下，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應(yīng)的函數(shù)序號安排正確的一組是（ ）.
A．①②③④B．①③②④C．②①③④D．③②①④
8．函數(shù)有一個極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍( )
A．B．
C．或D．或
二、多選題（每題6分，共3題，滿分18分）
9．下列說法正確的有（ ）
A．在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB
B．等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，則公比為
C．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則＋的最小值為5＋2
D．在△ABC中，已知＝＝，則A＝60°
10．下列說法正確的是（ ）
A．在范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是
B．已知4弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長是
C．不等式的解集為
D．函數(shù)的定義域是
11．已知，則下列說法正確的有（ ）
A．函數(shù)有唯一零點(diǎn)
B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
C．函數(shù)有極小值
D．若關(guān)于x的方程有三個不同的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
三、填空題（每題5分，共3題，滿分15分）
12．函數(shù) 的極大值為 ；極小值為 .
13．已知，求
14．已知函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題（共5題，滿分77分）
15．（13分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其中左焦點(diǎn)為，長軸長為4．
(1)求橢圓C的方程；
(2)直線l：與橢圓C交于不同兩點(diǎn)P、Q，求弦長．
16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
17．（15分）已知函數(shù).
(1)求的最小正周期及函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)當(dāng)時，求的最大值和最小值.
(3)中，角所對的邊分別為，且為銳角.若，求.
18．（17分）某網(wǎng)購平臺為了解某市居民在該平臺的消費(fèi)情況，從該市使用其平臺且每周平均消費(fèi)額超過100元的人員中隨機(jī)抽取了100名，并繪制如圖所示頻率分布直方圖，已知中間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.
（1）求的值；
（2）分析人員對100名調(diào)查對象的性別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，消費(fèi)金額不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該網(wǎng)購平臺的消費(fèi)金額與性別有關(guān)？
（3）分析人員對抽取對象每周的消費(fèi)金額與年齡進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)他們線性相關(guān)，得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲，試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費(fèi)金額為多少.（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替）
列聯(lián)表
臨界值表：
，其中
19．（17分）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若，證明：當(dāng)時，.
男性
女性
合計(jì)
消費(fèi)金額
消費(fèi)金額
合計(jì)
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式可求出結(jié)果.
【詳解】.
故選：A
2．B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合A，進(jìn)而求即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得：，
可得，所以中所有元素之和為.
故選：B.
3．D
【分析】由已知求得，然后展開兩角差的正弦求解．
【詳解】解：∵，α是第三象限的角，
∴，
∴．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及兩角差的正弦，是基礎(chǔ)題．
4．C
【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值
【詳解】由，得，由，得或（舍去），
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，
故選：C
5．A
【詳解】試題分析：令，若有解，則，即；，
“”是“函數(shù)有零點(diǎn)”的充分不必要條件.
考點(diǎn)：1.函數(shù)的零點(diǎn)；2.充分條件、必要條件.
6．C
【分析】利用平方關(guān)系，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式，即可求解.
【詳解】，，，，，
，所以.
故選：C
7．D
【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判斷函數(shù)的對稱性、區(qū)間符號及是否成立，判斷各函數(shù)對應(yīng)的圖象即可.
【詳解】①由且定義域?yàn)镽，故為奇函數(shù)且，第三個圖象符合要求；
②由且定義域?yàn)镽，故為偶函數(shù)，第二個圖象符合要求；
③對于在上恒正且，第一個圖象符合要求；
④對于，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，在上恒正且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，第四個圖象符合要求.
綜上，序號安排為③②①④.
故選：D
8．B
【分析】因?yàn)楹瘮?shù)有一個極值點(diǎn),可得有一個解,即有一個正實(shí)數(shù)解,分別討論方程解情況,即可求得答案.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?(0,+∞)
又函數(shù)有一個極值點(diǎn)
有一個解
即有一個解
①當(dāng),解得:
又當(dāng)時, 的值恒為非負(fù)
此時沒有極值,故不符合題意.
②當(dāng),有兩個不同解,且一正一負(fù)時
根據(jù)韋達(dá)定理可得:,即
解得:.
③當(dāng),有兩個不同解,且一個解為:.
解得:.
可得:故
符合題意.
綜上所述,.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)極點(diǎn)求參數(shù)范圍,解題關(guān)鍵是掌握極點(diǎn)概念和根據(jù)一元二次方程根所在區(qū)間求參數(shù)的解法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.
9．ACD
【分析】對于A，利用大角對大邊和正弦定理判斷即可，對于B，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算判斷，對于C，利用基本不等式判斷，對于D，利用正弦定理判斷
【詳解】對于A，在△ABC中，當(dāng)A＞B，則，由正弦定理可得，所以A正確，
對于B，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，則，因?yàn)閍1、a3、a4成等比數(shù)列，所以，解得或，當(dāng)時，公比為1，當(dāng)時，公比為，所以B錯誤，
對于C，因?yàn)閍＞0，b＞0，a＋b＝1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以C正確，
對于D，因?yàn)椋剑?，所以由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以D正確，
故選：ACD
10．ABD
【分析】根據(jù)終邊相同角的表示判斷A，由銳角三角函數(shù)求出圓的半徑，再由弧長公式，即可判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式，即可判斷C，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域，即可判斷D.
【詳解】對于A：與角終邊相同的角為，
令，此時，故A正確；
對于B：設(shè)圓的半徑為，則，所以，
所以弧長為，故B正確；
對于C：不等式，則，
即不等式的解集為，故C錯誤；
對于D：對于函數(shù)，則，解得，
即函數(shù)的定義域?yàn)?，故D正確；
故選：ABD
11．AD
【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義判斷，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷B,C,D．
【詳解】由得：，即，故函數(shù)有唯一零點(diǎn)，故A正確；
由題意可知：，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減，
則此時的極大值為；
當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞減，
由此可作出的圖象如下：

觀察圖象可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，錯，
函數(shù)在時有極大值錯誤，
若關(guān)于x的方程有三個不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，正確，
故選：．
12．
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)判定的單調(diào)性，進(jìn)而可求出極值.
【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)镽，
，
令得或，列表：
由上表看出，當(dāng)時，取得極小值，為；當(dāng)時，取得極大值，為，
故答案為：；.
13．-6
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本公式化簡求值即可.
【詳解】原式=.
故答案為：-6.
14．
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)且在上遞減，
即，即，即
，所以即恒成立，所以，所以
，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
15．(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，由題意可得，，即可和橢圓方程；
（2）把直線與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，結(jié)合弦長公式求解即可.
【詳解】（1）由題意可設(shè)C:x2a2+y2b2=1a>b>0，
則，即，且，可得，
所以橢圓方程為.
（2）設(shè)，
將直線與橢圓聯(lián)立，得，解得或
所以弦長.
16．(1)證明見解析
(2).
【分析】(1)利用坐標(biāo)法或幾何法利用線面垂直的判定定理證明；(2)利用空間向量計(jì)算面面角.
【詳解】（1）證明：由題平面，底面為矩形，以為原點(diǎn)，直線，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則，，，，，，
，，，
∵∴，
∵，∴，
∵,且平面，∴平面.
（法二）證明：由題平面，底面為矩形，以為原點(diǎn)，直線，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則，，，，，，
設(shè)是平面的一個法向量.
，.
取，有
∴，，
則，.
∴平面.
（法三）證明：連接
∵平面，平面,∴.
在中，，.
∵，∴，且，
∴平面，
又∵平面，∴.
∵，又∵，
∴，∴.
且，且平面，∴平面.
（2）（接向量法）由（1）可知平面的法向量為（也可為）.
平面的一個法向量為.
.
∴平面PAM與平面PDC的夾角的余弦值為.
（法二）延長AM，DC，交于點(diǎn)N，連接PN.
∵，∴平面，∵，∴平面.
∴平面平面.
過D做于，連接.
∵平面，∴.
又，，
∴平面，又平面，∴.
又∵，，平面,
∴平面，∴，
∴為二面角的平面角.
在中，，
∴.
∴平面與平面的夾角的余弦值為.
17．(1)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)最大值為，最小值為；（3）.
【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡原式得到，再利用正弦型函數(shù)的周期公式即可求出周期，再由的單調(diào)增區(qū)間，整體代入即可求解；
令，從而得到，再利用的圖象與性質(zhì)，即可求解.
由
【詳解】（1）因?yàn)?br>所以最小正周期為，
由，得到，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由（1）知，令，則，
又時，，得到，
的最大值和最小值分別為，.
（3）由（1）可得，又因?yàn)樗?，所以，?所以
18．（1），（2）詳見解析（3）395元
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得，結(jié)合可得的值.
（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得，再根據(jù)臨界值表可得依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為該網(wǎng)購平臺的消費(fèi)金額與性別有關(guān).
（3）由頻率分布直方圖可得調(diào)查對象的周平均消費(fèi)，從而得到，利用線性回歸方程可計(jì)算年齡為25歲的年輕人每周的平均消費(fèi)金額.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，，
由中間三組的人數(shù)成等差數(shù)列可知，
可解得，
（2）周平均消費(fèi)不低于300元的頻率為，因此100人中，周平均消費(fèi)不低于300元的人數(shù)為人.
所以列聯(lián)表為
零假設(shè)為該網(wǎng)購平臺的消費(fèi)金額與性別別相互獨(dú)立（即無關(guān)聯(lián)）.
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為消費(fèi)金額與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.010.
（3）調(diào)查對象的周平均消費(fèi)為
，
由題意，∴
.
∴該名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費(fèi)金額為395元.
【點(diǎn)睛】（1）頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為1，注意直方圖中，各矩形的高是；
（2）兩類變量是否相關(guān)，應(yīng)先計(jì)算的值，再與臨界值比較后可判斷是否相關(guān).
（3）線性回歸方程對應(yīng)的直線必經(jīng)過.
19．(1) (2)答案見解析 (3)證明見解析
【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其切線斜率，即可得其切線方程；
（2）分及，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論即可得；
（3）構(gòu)造函數(shù)，多次求導(dǎo)研究其單調(diào)性即可得.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，
，則，
即曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，
即；
（2），
當(dāng)時，f′x

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