2023屆海南省?？谑泻Ｄ鲜∞r(nóng)墾實(shí)驗(yàn)中學(xué)等2校高三一模數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A．2 B．2或 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用純虛數(shù)的定義列式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：C2．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再利用集合的包含關(guān)系求解作答.【詳解】解不等式，得，于是，而，因?yàn)?/span>，則，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B3．已知，則（    ）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦公式，分子分母同除以余弦平方得到正切的式子，再將正切值代入即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：A.4．已知直線與圓：（）交于A，兩點(diǎn)，且線段關(guān)于圓心對稱，則（    ）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而列出關(guān)于的方程，解之即可求得的值.【詳解】圓：的圓心，由圓心在直線上，可得，解之得.故選：D5．家庭農(nóng)場是指以農(nóng)戶家庭成員為主要?jiǎng)趧?dòng)力的新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體．某家庭農(nóng)場從2019年開始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬元，2021年的收益為50萬元．照此規(guī)律，從2019年至2026年該家庭農(nóng)場的總收益為（    ）A．630萬元 B．350萬元 C．420萬元 D．520萬元【答案】D【分析】分析可知該家庭農(nóng)場的收益依次成等差數(shù)列，求出公差，利用等差數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】依題意，該家庭農(nóng)場每年收益依次成等差數(shù)列，設(shè)為，可得，，所以公差為，所以2019年至2026年該家庭農(nóng)場的總收益為，故選：D6．若函數(shù)，則的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性，排除A，C，再由在上函數(shù)值恒為正，排除D，可得答案為B.【詳解】因?yàn)?/span>定義域?yàn)?/span>，又，所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除A，C.又當(dāng)時(shí)，，可排除D.故選：B.7．如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成的角為45°，則點(diǎn)的軌跡長度為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用直線與平面所成的角為45°求得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求得點(diǎn)的軌跡長度.【詳解】若點(diǎn)P在正方形內(nèi)，過點(diǎn)P作平面于，連接.則為直線與平面所成的角，則，又，則，則，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心半徑為2的圓（落在正方形內(nèi)的部分），若點(diǎn)P在正方形內(nèi)或內(nèi)，軌跡分別為線段，因?yàn)辄c(diǎn)P不可能落在其他三個(gè)正方形內(nèi)，所以點(diǎn)的軌跡長度為.故選：A8．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，進(jìn)而比較，，的大小，即可得，，的大小關(guān)系.【詳解】令，則，，，由可得且，由可得；所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，所以，所以，故選：C. 二、多選題9．某網(wǎng)友隨機(jī)選取了某自媒體平臺(tái)10位自媒體人，得到其粉絲數(shù)據(jù)（單位：萬人）：1.7，2.3，1.9，2.1，2.2，2.1，1.9，1.7，2.2，1.9．若該平臺(tái)自媒體人的粉絲數(shù)（其中和分別為上述樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差），根據(jù)上述數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是（    ）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，A．這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.0B．這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.04C．這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為1.8D．用樣本估計(jì)總體，該平臺(tái)自媒體人的粉絲數(shù)不超過2.2萬的概率約為0.84135【答案】AD【分析】求得這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的平均數(shù)判斷選項(xiàng)A；求得這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差判斷選項(xiàng)B；求得這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)判斷選項(xiàng)C；求得該平臺(tái)自媒體人的粉絲數(shù)不超過2.2萬的概率判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.判斷正確；選項(xiàng)B：這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：將粉絲數(shù)據(jù)（單位：萬人）從小到大排列：1.7，1.7，1.9，1.9，1.9，2.1，2.1，2.2，2.2，2.3．，則這10位自媒體人粉絲數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為1.9. 判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：用樣本估計(jì)總體，該平臺(tái)自媒體人的粉絲數(shù)不超過2.2萬的概率約為.判斷正確.故選：AD10．已知拋物線的方程為，為焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，S表示面積，直線：與拋物線交于A，兩點(diǎn)，且A在第一象限，則下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】求得的值判斷選項(xiàng)A；求得的值判斷選項(xiàng)B，C；求得的值判斷選項(xiàng)D.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，由，可得或，則，，.選項(xiàng)A判斷正確；.選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C判斷正確；.選項(xiàng)D判斷錯(cuò)誤.故選：AC11．若函數(shù)（，，）的圖象如圖，且，，則下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)的周期為5B．函數(shù)的對稱軸為，C．函數(shù)在內(nèi)沒有單調(diào)性D．若將的圖象向左平移（）個(gè)單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為1【答案】BD【分析】根據(jù)給定的函數(shù)及圖象，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖，求出函數(shù)的解析式，再逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.【詳解】觀察圖象知，，而，解得，又，則，因?yàn)?/span>，由“五點(diǎn)法”作圖知，，解得，于是，對于A，函數(shù)的周期，A錯(cuò)誤；對于B，由，得，函數(shù)圖象的對稱軸為，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；對于D，將的圖象向左平移（）個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，依題意，，解得，因此，D正確.故選：BD12．如圖所示，在邊長為3的等邊三角形中，，且點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，若，則（    ）A． B．C．存在最大值 D．的最大值為【答案】ABC【分析】對于AB，將分別用表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷；對于CD，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷.【詳解】對于A，因?yàn)?/span>，且點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，所以，則，故A正確；，則，故B正確；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)辄c(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的單位圓上，且在軸的下半部分，設(shè)，則，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，故C正確；因?yàn)?/span>，所以，即，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC. 三、填空題13．已知向量，，定義，則______．【答案】3【分析】根據(jù)向量數(shù)量積夾角公式，以及模的公式，即可求解.【詳解】由題意可知，，，，所以，則，那么.故答案為：314．已知6名同學(xué)國慶假期相約去珠海野貍島游玩，途中6名同學(xué)排成一排照相留念，若甲、乙、丙3人互不相鄰，則不同的排法共有______種．【答案】144【分析】根據(jù)給定條件，利用插空法列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，先排除甲、乙、丙外的另外3人，有種，再在形成的4個(gè)間隙中插入甲、乙、丙3人，有種，所以不同的排法種數(shù)是.故答案為：14415．在平面內(nèi)，設(shè)一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)，的距離差的絕對值等于（），若動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線，則曲線的離心率的最小值為______．【答案】4【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得，從而利用離心率公式和基本不等式即可求解.【詳解】在平面內(nèi)，設(shè)一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn), 的距離差的絕對值等于 ，所以，可得曲線的離心率為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以曲線的離心率的最小值為.故答案為：.16．已知母線的長為的圓錐，其側(cè)面積為，是該圓錐內(nèi)切球球面上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】/0.125【分析】先利用題給條件求得圓錐內(nèi)切球球半徑，再利用向量數(shù)量積定義即可求得的最大值.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓心為O，圓錐內(nèi)切球球球心為，中點(diǎn)為S，圓錐的母線長為，其側(cè)面積為，則圓錐的底面半徑為則，則圓錐內(nèi)切球球半徑為 ，，又，則，則的最大值為故答案為： 四、解答題17．已知等差數(shù)列中，，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記求數(shù)列的前20項(xiàng)的和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先求得等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差的值，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；利用數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)的和．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得解得，，∴．∵，∴，兩式相減，得，即，當(dāng)時(shí)，，解之得 ，∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴．（2）根據(jù)題意，∴．18．在圓內(nèi)接四邊形中，已知，，，為銳角．(1)求及的長；(2)求四邊形周長的最大值．【答案】(1)，；(2)5. 【分析】（1）在中利用正弦定理及勾股定理求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合余弦定理及均值不等式求出的最大值作答.【詳解】（1）在中，由正弦定理，得，即，而為銳角，解得，因此為直角三角形，則，所以，.（2）因?yàn)樗倪呅?/span>為圓內(nèi)接四邊形，且，則，在中，由余弦定理，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以四邊形周長的最大值為.19．某商場對，兩類商品實(shí)行線上銷售（以下稱“渠道”）和線下銷售（以下稱“渠道”）兩種銷售模式．類商品成本價(jià)為120元件，總量中有40%將按照原價(jià)200元/件的價(jià)格走渠道銷售，有50%將按照原價(jià)8.5折的價(jià)格走渠道銷售；類商品成本價(jià)為160元/件，總量中有20%將按照原價(jià)300元/件的價(jià)格走渠道銷售，有40%將按照原價(jià)7.5折的價(jià)格走渠道銷售．這兩種商品剩余部分促銷時(shí)按照原價(jià)6折的價(jià)格銷售，并能全部售完．(1)通過計(jì)算比較這兩類商品中哪類商品單件收益的均值更高（收益＝售價(jià)－成本）；(2)某商場舉行讓利大用賣活動(dòng)，全場，兩類商品走渠道銷售，假設(shè)每位線上購買，商品的顧客只選其中一類購買，每位顧客限購1件，且購買商品的顧客中購買類商品的概率為．已知該商場當(dāng)天這兩類商品共售出5件，設(shè)為該商場當(dāng)天所售類商品的件數(shù)，為當(dāng)天銷售這兩類商品帶來的總收益，求的期望，以及當(dāng)（）時(shí)，可取的最大值．【答案】(1)類商品單件收益的均值更高(2)；可取的最大值為4 【分析】（1）結(jié)合期望公式由單件總盈利減去成本即可得出結(jié)果；（2）類商品的銷售件數(shù)符合二項(xiàng)分布，先列出這5件衣服總收益關(guān)于的關(guān)系式，得，結(jié)合化簡即可求解；再求出對應(yīng)的概率值，可確定可取的最大值，【詳解】（1）設(shè)類，類商品單件收益分別為元，元，則元，元，，故類商品單件收益的均值更高.（2）由題意可知，，元，又元，所以元，，，，，，，，，所以當(dāng)（）時(shí)，可取的最大值為4．20．如圖所示的多面體由正四棱柱與正四棱錐組合而成，與交于點(diǎn)，，，．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)詳見解析；(2) 【分析】（1）利用面面平行判定定理即可證得平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法即可求得平面與平面夾角的余弦值．【詳解】（1）正四棱錐中，連接交于O，則平面則，又，，則，又，則四邊形為菱形，則，又平面，平面，則平面，又，平面，平面，則平面，又，平面，平面，則平面平面；（2）中，，，則，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為x，y，z軸空間直角坐標(biāo)系：則則設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則，令，則，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則，令，則，則則平面與平面夾角的余弦值為21．已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用題給條件列方程求得的值，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先求得的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到表達(dá)式，再化簡即可求得的值．【詳解】（1）由題意得，則，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，，設(shè)，，，則．直線的方程為，令，得，從而，直線的方程為．令，得，從而，所以.所以．22．已知函數(shù)，．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，證明：；(3)對于任意正整數(shù)，，求的最小正整數(shù)值．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)3 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及對參數(shù)進(jìn)行討論即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系即可求解；（3）將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，根據(jù)（2）的結(jié)論及不等式放縮，再利用對數(shù)不等式求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以， 若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以，即，所以當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，，∴．又，即，故．（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，即， 則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴. 一方面：,即.另一方面：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∵，,∴t的最小正整數(shù)值為3．【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵第一問利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系注意參數(shù)的討論，第二問，根據(jù)第一問的結(jié)論及函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系即可；第三問，將橫成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，利用不等式（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）及不等式放縮即可. 

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