1.(人B選必一1.2節(jié)習(xí)題改編)已知ABCD-A1B1C1D1是正方體,則直線A1D與直線BD1所成角的大小為　　　　.?
2.(人A選必一1.4.2節(jié)習(xí)題)如圖,在三棱錐O-ABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,OA=OC=3,OB=2,則直線OB與平面ABC所成角的正弦值為　　　　.?
3.(人B選必一1.2節(jié)習(xí)題改編)如圖所示,已知四棱錐S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,且SA=AB=BC=3AD,則平面SAB與平面SCD所成角的正弦值為　　　　.?
解析 依題意,AD,AB,AS兩兩垂直.以A為原點(diǎn),AD,AB,AS所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD的長為1,則A(0,0,0),S(0,0,3),C(3,3,0),D(1,0,0),
4.(人A選必一1.4.2節(jié)習(xí)題)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段DD1的中點(diǎn),F為線段BB1的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)A1到直線B1E的距離;(2)求直線FC1到直線AE的距離;(3)求點(diǎn)A1到平面AB1E的距離;(4)求直線FC1到平面AB1E的距離.
(4)因?yàn)锳E∥FC1,FC1?平面AB1E,AE?平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E,所以直線FC1到平面AB1E的距離等于點(diǎn)C1到平面AB1E的距離.
1.(2012·陜西,理5)如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,且CA=CC1=2CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為(　　)
解析 (方法一)設(shè)棱臺的高為h,三條側(cè)棱延長后相交于一點(diǎn)S.正三角形ABC與正三角形A1B1C1的中心分別是點(diǎn)O,O1.連接AO,SO,易知點(diǎn)O1在SO上.由AB=3A1B1,可知三棱錐S-A1B1C1的高為SO1= h,三棱錐S-ABC的高為SO= h,正三棱臺ABC-A1B1C1中,△ABC和△A1B1C1均為正三角形,AB=6,A1B1=2,
3.(2003·全國,理18改編)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,|AC|=|BC|=2,D,E分別是CC1和A1B的中點(diǎn),則點(diǎn)A1到平面AED的距離為　 .?
考點(diǎn)一 異面直線所成的角
例1如圖,已知點(diǎn)O是圓柱下底面圓的圓心,AA1為圓柱的一條母線,B為圓柱下底面圓周上一點(diǎn),OA=1,∠AOB= ,△AA1B為等腰直角三角形,則異面直線A1O與AB所成角的余弦值為(　　)
解析 (方法一)如圖,過點(diǎn)B作BB1∥AA1交圓柱的上底面于點(diǎn)B1,連接A1B1,B1O,則由圓柱的性質(zhì)易證四邊形A1B1BA為矩形,所以A1B1∥AB,所以∠B1A1O或其補(bǔ)角即異面直線A1O與AB所成的角.在△AOB中,OB=OA=1,
[對點(diǎn)訓(xùn)練1]如圖所示,已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4,則異面直線AQ與PB所成角的正弦值為　　　　.?
解析 由題設(shè)知,四邊形ABCD是正方形,連接AC,BD,交于點(diǎn)O,則AC⊥BD.連接OP,OQ,易知OP⊥平面ABCD,OQ⊥平面ABCD,故PQ⊥平面ABCD,則OA,OB,OP兩兩垂直,以O(shè)為原點(diǎn),CA,DB,QP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),A(2 ,0,0),Q(0,0,-2),
考點(diǎn)二 直線與平面所成的角
例2(2023·全國甲,理18)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC, ∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)證明:A1C=AC;(2)已知AA1與BB1距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.
(1)證明 ∵A1C⊥底面ABC,BC?平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC?平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC?平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如圖,過點(diǎn)A1作A1O⊥CC1交CC1于點(diǎn)O,
(2)解 (方法一)連接BA1.∵BC⊥A1C,BC⊥AC,∴在Rt△A1CB中有A1C2+BC2=在Rt△ACB中有AC2+BC2=AB2,又AC=A1C,∴AB=BA1.過點(diǎn)B作BD⊥AA1交AA1于點(diǎn)D,則D為AA1的中點(diǎn),且BB1⊥BD,則BD即為直線AA1與BB1的距離,∴BD=2.
(方法二　空間向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC兩兩垂直.
[對點(diǎn)訓(xùn)練2](2024·湖南婁底一模)如圖,四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=2,PB=CD=4,PD= AD,E為PB中點(diǎn),DE⊥PC.(1)求證:PD⊥平面ABCD;(2)已知點(diǎn)F為線段AB的中點(diǎn),求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.
(1)證明 連接BD.因?yàn)锳B=AD,且AB⊥AD,所以BD= AD.因?yàn)镻D= AD,所以PD=BD,故△PDB為等腰三角形.因?yàn)镋是棱PB的中點(diǎn),所以DE⊥PB.因?yàn)镈E⊥PC,PC,PB?平面PBC,且PC∩PB=P,所以DE⊥平面PBC.因?yàn)锽C?平面PBC,所以DE⊥BC.
由題意可得,BC=BD= AB,則BC2+BD2=4AB2=CD2,所以BC⊥BD.因?yàn)锽D,DE?平面PBD,且BD∩DE=D,所以BC⊥平面PBD.因?yàn)镻D?平面PBD,所以BC⊥PD.因?yàn)镻D=BD= AB,PB=2AB,所以PB2=PD2+BD2,所以PD⊥BD.因?yàn)锽D,BC?平面ABCD,且BD∩BC=B,所以PD⊥平面ABCD.
(2)解 以D為原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
考點(diǎn)三 平面與平面的夾角
例3(2024·全國甲,理19)如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形,EF∥AD,BC∥AD,AD=4, AB=BC=EF=2,ED= ,FB=2 ,M為AD的中點(diǎn).(1)證明:BM∥平面CDE;(2)求二面角F- BM-E的正弦值.
(1)證明 因?yàn)镸為AD的中點(diǎn),且AD=4,故MD=2=BC,又因?yàn)锽C∥AD,所以四邊形BCDM為平行四邊形,所以BM∥CD.因?yàn)锽M?平面CDE,CD?平面CDE,所以BM∥平面CDE.
(2)解 取AM的中點(diǎn)O,連接OF,OB,由題意,易知OF⊥AM,OB⊥AM,且OF=3,OB= ,故OF2+OB2=FB2,所以O(shè)F⊥OB.
[對點(diǎn)訓(xùn)練3](2023·新高考Ⅱ,20)如圖,三棱錐A-BCD中, DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點(diǎn).
(1)證明:BC⊥DA;
(1)證明 如圖1,連接AE,DE.∵DB=DC,E為BC的中點(diǎn),∴BC⊥DE.∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ABD,△ACD均為等邊三角形,且△ABD≌△ACD,∴AB=AC.又E為BC中點(diǎn),∴BC⊥AE.∵AE,DE?平面ADE,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.又DA?平面ADE,∴BC⊥DA.
(2)解 設(shè)BC=2,由已知可得DA=DB=DC= .DE為等腰直角三角形BCD斜邊BC上的中線,∴DE=1.∵△ABD,△ACD為等邊三角形,∴AB=AC= .∵AB2+AC2=BC2,∴△ABC為等腰直角三角形,∴AE=1.易知DE=1.
∵AE2+DE2=AD2,∴AE⊥DE.由(1)知,BC⊥DE,BC⊥AE,∴AE,BC,DE兩兩垂直.以E為坐標(biāo)原點(diǎn),ED,EB,EA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,1),B(0,1,0),C(0,-1,0),D(1,0,0),E(0,0,0),
例4(2024·廣東佛山二模)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D為上底面ABC上一點(diǎn).(1)在上底面ABC上畫一條經(jīng)過點(diǎn)D的直線l,該直線與B1D垂直,應(yīng)該如何畫線,請說明理由;(2)若BC=BB1=1,AB=2,∠A1B1C1= ,E為A1B1的中點(diǎn),求點(diǎn)B到平面AC1E的距離.
解 (1)連接BD,在平面ABC上過點(diǎn)D作l⊥BD.因?yàn)锳BC-A1B1C1為直三棱柱,所以BB1⊥平面ABC.又l?平面ABC,所以BB1⊥l.因?yàn)閘⊥BB1,l⊥BD,BB1∩BD=B,BB1,BD?平面BB1D,所以l⊥平面BB1D.又B1D?平面BB1D,所以l⊥B1D.
(2)因?yàn)椤螦1B1C1= ,所以B1A1,B1C1,B1B兩兩垂直.
以B1為原點(diǎn),B1A1,B1C1,B1B所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,1),A(2,0,1),E(1,0,0),C1(0,1,0),則
[對點(diǎn)訓(xùn)練4](2024·華南師大附中模擬節(jié)選)如圖,邊長為4的兩個(gè)正三角形ABC,BCD所在平面互相垂直,E,F分別為BC,CD的中點(diǎn),點(diǎn)G在棱AD上, AG=2GD,直線AB與平面EFG相交于點(diǎn)H.求直線BD與平面EFG的距離.
解 因?yàn)镋,F分別為BC,CD的中點(diǎn),所以EF∥BD.又BD?平面EFG,EF?平面EFG,則BD∥平面EFG,所以點(diǎn)B到平面EFG的距離即為BD與平面EFG的距離.連接EA,ED,由△ABC,△BCD均為正三角形,E為BC的中點(diǎn),得EA⊥BC,ED⊥BC.又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE?平面ABC,于是AE⊥平面BCD.又ED?平面BCD,則EA⊥ED.

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